报童问题订购费对最优订货量的影响

□ 毛克宁

(广东理工学院 经济管理学院,广东 肇庆 526070)

1 引言

报童问题既有寻求期望“总损失”或期望经济成本最小化的提法，又有寻求期望“盈利”或期望利润最大化的提法，这皆为经济管理中经常要面对的问题,如在零售商的订货量决策、生产单位的产出量决策[1]中都会遇到。因此，报童问题对于经济管理的理论与实践都有重要意义，学者们对此从不同视角展开了广泛而深入的研究。不少关于报童问题的阐述或研究不涉及订购费[2-4]，而客观上，报童问题订购费是有可能对订货量决策产生影响的，这正是本文所要阐述的主题内容，并将经过创新性地严谨分析论证给出明确的结果。在存储理论中，订购费的多少与订货的批量无关，而与订购的次数有关；订购费不同于进货费，后者不仅包含前者还包含所购订货物本身的价值等[2]。有的文献所述的订购成本或订购费用实际上相当于企业购进货物的费用而不同于存储理论中所定义的订购费[5-6]；有的文献明确给出了一次性订购费为恒定常数的报童模型，得出的模型最优解与订购费无关，即订购费金额对最优订货量无影响[7]。为使报童问题更具一般性，可以加入固定成本(如设备折旧、租金、利息等)[8-9]，若将单周期的订货费作为一笔与订货量无关的固定费用，则可将订购费纳入到固定成本中，或将两者合并起来形成单周期新的固定成本。报童问题的研究可能涉及更为复杂的情形，如商品零售价格为随机变量的模型等[10]。本文所涉及的报童模型的零售价格既定，这与传统的存储模型相同，并且本文的订购费金额也是既定的。基于会计利润与经济利润的不同含义和经济利润在经济管理中的重要性，本文分别建立涉及订购费的期望会计利润模型和期望经济利润模型，分不同情形就报童问题的订购费对最优订货量的影响进行分析，得出明确的决策方法和量化结论。

2 问题描述与假设

需说明的是，有的文献[8]给出的报童问题的离散型随机需求量r可能取值的个数为n≥3，根据其推导过程可知，最优订货量关系式对于n=2依然成立，故本文将r可能取值的个数设为n≥2。

3 订购费恒定的期望利润

这里的E(r)为随机需求量r的期望(下同)。

(1)

(2)

式(1)的证明与参考文献[8]中式“(2)”的推导同理并相似。

4 若不订货则不产生订购费用的期望利润

若商业企业在周期T不订购货品，则不发生订购费用(如企业在先决定了不订货的情况下有可能不发生订货费用)；但若商业企业订购货品，则无论货品数量为多少都发生金额为K0的订购费用。将该情形下订货量为Q的期望会计利润和期望经济利润分别记为ω(Q)和ωE(Q)，则

现在分析推导订购费金额K0(>0)对ω(Q)和ωE(Q)最大化订货量的影响：

对于r1=0，由“3”中式(1)求出期望会计利润ω0(Q)最大化订货量rAm(0=r1≤rAm≤rn)，于是ω0(rAm)≥ω0(rj)(j=1,2,…,n)。若rAm>0(=r1)，由于当Q>0时ω(Q)=ω0(Q)，则ω(rAm)=ω0(rAm)≥ω0(rj)=ω(rj)(j=2,…,n)，即ω(rAm)≥ω(rj)(j=2,…,n)，进而ω(0)与ω(rAm)中较大者对应的Q值(0或rAm)就是期望会计利润ω(Q)(Q∈{rj|1≤j≤n,r1=0})最大化的订货量；若ω(0)=ω(rAm)，则Q=0与Q=rAm都是ω(Q)最大化的订货量。

在rAm>0(=r1)的情况下，令ω1(Q)=ω0(Q)+Cf+K0，可知ω1(Q)不含Cf与K0两项。因为ω(rAm)=ω0(rAm)=ω1(rAm)-Cf-K0，并且ω(0)=-Cf，所以ω(rAm)≥ω(0)的充分必要条件为ω1(rAm)≥K0；ω(rAm)<ω(0)的充分必要条件为ω1(rAm)0且ω1(rAm)>0时，订购费金额K0对最优订货量(0或rAm)有影响：若ω1(rAm)>K0则最优订货量为Q=rAm，若ω1(rAm)=K0则最优订货量为Q=rAm或Q=0，若0<ω1(rAm)0且ω1(rAm)≤0时，订购费金额K0对最优订货量Q=0无影响，因为此时必有ω1(rAm)

若rAm=0(=r1)，则ω(0)=-Cf>Cf-K0=ω0(0)≥ω0(rj)=ω(rj)(j=2,…,n)对于正数K0取任何值都成立。故订购费金额K0对最优订货量Q=0无影响。

5 结语

本文以商业企业在单周期“无论是否购订都发生订购费用”这一情形下期望会计利润最大化的订货量关系式和期望经济利润最大化的订货量关系式为基础，着重给出了商业企业在单周期“若不购订则不发生订购费用，但若商业企业购订货品则无论订购量为多少都发生固定订购费用”这一情形下的最优订货量决策方法和量化结果，明确了在各种情况下订购费金额对于两类期望利润最大化订货量的影响。此外，随机需求量各可能取值的相应概率可能随商品销售价格的变动发生变动，这对于决策者是重要的，在进行订货量决策时要特别注意。本文的研究结果对丰富存储理论或对存储理论的进一步完善有正向作用。