引导学生建立无理数的数感
——以的教学为例

●郜青林 (温岭市第九中学 浙江温岭 317500)

从有理数到实数，是人类对“数”的认识的一个巨大飞跃，其中无理数的发现功不可没.“有多大”是人教版八年级上册中的内容，引导学生认识“有多大”既能够帮助学生建立无理数的概念，也有助于建立学生的数感.

理解数感、让学生在数学学习过程中建立数感，是数学课程标准十分强调和重视的问题.所谓数感，狭义的理解就是数字感，是指人脑对于数字或数字运算的直觉，即对于数字或数字运算的洞察与领悟;而广义的理解就是数学感，是指人脑对数学对象的直觉，即对于数学对象的洞察与领悟［1］.在关于数学学习内容的说明中，《课程标准》描述了数感的主要表现，包括“理解数的意义;用多种方法来表示数;能在具体的情境中把握数的相对大小关系;能用数来表达和交流信息;能为解决问题而选择适当的算法;能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释”.并且对无理数的教学提出了如下的要求，“了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应;能用有理数估计一个无理数的大致范围”［2］.那么，对“有多大”的教学，教师该如何设计才能有效地引导学生理解无理数，并建立数感呢?以下是笔者的一点尝试，供参考.

1 创设情境，感知的存在

做一做 用2个边长为1的正方形(事先准备好的)剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形(分小组，放手由学生自己去实践，教师掌握各组的进程，并作指导).

学生的几种方案如下：

图1

生1：把2个小正方形都沿着对角线剪开，得到4个等腰直角三角形.把它们的直角的顶点重合按顺序拼接，如图1所示.

生2：把一个小正方形沿着2条对角线剪开，得到4个等腰直角三角形，把他们的斜边与另一个小正方形的边重合拼接，如图2所示.

图2

生3：把2个小正方形的某条边重合排列在一起，沿着如图3所示的虚线剪开(其中剪开点分别为中点)，并按照如图4所示拼接.

图4

图3

师：大家拼得很好，这样得到了一个面积是多少的正方形?

生：面积为2.

师：已知这个正方形的面积是2，那么它的边长怎么表示呢?

生4：设边长为x，则x2=2!

师：那x可能是整数吗，可能是分数吗，可能是有理数吗?

生5：不可能.

师：我们以前学习的数平方后都不会等于2，而要知道哪个数的平方等于2，那就必须引入一个新的符号来表示它，这就是根号.于是，用这样的记号来表示面积为2的正方形的边长.

设计意图通过拼图活动以及师生的共同探究，让学生感受无理数产生的实际背景，经历无理数的发现过程，感知生活中确实存在着这样的不同于有理数的数.

2 逐步逼近，体会的大小

引导学生通过如下推理：

追问：x是1点几呢?

由 1.52=2.25，1.42=1.96，得

继续追问：x是1.4几呢?

设计意图引导学生借助计算器逐步探索“究竟有多大”，渗透用有理数近似表示无理数和用有理数逼近无理数的思想.在利用“双面夹”方法无限逼近的过程中，培养学生的演绎推理能力.

3 熟悉定义，加深理解

得出无限不循环小数叫做无理数这一概念后，引导学生归纳总结无理数的2个基本特征：一是小数位数是无限的;二是不循环的.并通过一个游戏来加深学生对“无限不循环小数”的认识.请一位同学在讲台上掷骰子，另一位同学在小数点后面写上骰子掷出点数.随着骰子一次一次地掷，点数一次一次地记，黑板上出现了一个不断延伸的小数0.315 426 512 3….

师：如果骰子不断地掷下去，点数不停地记下去，那么在黑板上得到的是一个什么样的小数呢?

生6：能得到一个有无限多位的小数.

师：是循环小数吗?

生7：不是.

师：为什么?

生8：点数是掷骰子掷出来的，并没有规律.

设计意图无理数的概念是八年级数学教学的难点，学生理解的难点就在于“无限不循环”的意义.通过游戏活动来产生一个具体的、位数可以不断延伸的小数，这为学生提供了一个可以真实感知的无理数模型，使得学生能够结合生活经验来体会无理数这一抽象概念的特征.

4 回顾历史，拓展知识

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的一个门徒希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实：一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，即一个正方形的边长是1，其对角线的长不是一个有理数.这一发现与毕氏学派“万物皆数”(指有理数)的哲理大相径庭，希勃索斯最后竟遭到沉舟身亡的惩处.但是，这一发现第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”.而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”.于是，数学史上出现了第一次危机［3］.这对以后2 000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽.

然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀了真理才是“无理的”.人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把“不可公度量”取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来.

设计意图介绍无理数的由来，在课堂中渗透数学文化，可以让学生体会到数学发展的艰辛，认识到无理数的价值，并激发学生追求真理的精神.

数学的教学设计应该结合具体的教学内容，从学生已有的生活经验出发，创设恰当的问题情境，让学生在观察、操作、猜测、论证、反思等活动中体会数学知识产生、形成和发展的过程，这样才能逐步提高学生的数学素养.

［1］ 詹国樑.数感的内涵［J］.苏州教育学院学报，2005，22(1)：69-71.

［2］ 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)［M］.北京：北京师范大学出版社，2001.

［3］ D.E.Smith，History of Mathematics［M］，New-York，Ginnand Company，1925.