原型启发——对2011年江苏高考物理第9题的分析

平功远

(深圳市光明新区高级中学,广东深圳 518106)

2011年江苏高考物理第9题,是一道选择题,物理情景新颖,觉得很陌生,又似曾相识,分析时有一定难度,很容易得到错误的答案.如果能巧妙地借鉴熟悉的物理情景,化陌生为熟悉,就能使人有柳暗花明又一村的感觉.

图1

题目.如图1所示,倾角为α的等腰三角形斜面固定在水平面上,一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧,绸带与斜面间无摩擦.现将质量分别为M、m(M＞m)的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上.两物块与绸带间的动摩擦因数相等,且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等.在α角取不同值的情况下,下列说法正确的有

(A)两物块所受摩擦力的大小总是相等.

(B)两物块不可能同时相对绸带静止.

(C)M不可能相对绸带发生滑动.

(D)m不可能相对斜面向上滑动.

1 初解遇阻

设两物块与绸带间的动摩擦因数为 μ,假想先将绸带按住,在 mgsinα＜μ mgcosα,即 α＜tan-1μ的条件下,有 M与绸带间的静摩擦力为 f1=Mgsinα,m与绸带间的静摩擦力为f2=mgsinα.

将绸带放开后,因为静摩擦力与重力沿斜面的分力平衡,M、m都将处于平衡状态,又 f1、f2都小于各自的最大静摩擦力,所以 M、m都将与绸带保持相对静止.

对绸带,由于 f1＞f2,放手后,绸带将沿斜面向左侧加速滑动.

上面的分析得到了3个结论:(1)M、m都将处于平衡状态;(2)M、m都将与绸带保持相对静止;(3)绸带将沿斜面向左侧加速滑动.但这几个结论是矛盾的,显然上面的分析存在问题.这种分析错在哪里,应该怎样分析呢?

2 原型启发

图2

M、m与绸带间的摩擦力大小是否相等?M、m与绸带间的相对运动是怎样的?M、m相对斜面的运动又是怎样的?下面,我们来看一个熟悉的物理情景.

如图2所示,轻绳跨过定滑轮两端,质量分别为 M、m(M＞m)的甲、乙两人用力握住绳,他们与绳间的最大静摩擦力与他们的重力成正比,且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等.滑轮质量、滑轮与绳之间的摩擦忽略不计.

由于是轻绳,绳中张力处处相等,绳两端受到的力总是大小相等,即两人与绳子之间的摩擦力总是大小相等.

甲与绳间的最大静摩擦力为 fm甲=kMg,乙与绳间的最大静摩擦力为 fm乙=kmg.

(1)假设 k＜1,则乙与绳间的摩擦力 f＜mg.

此时,绳中的张力 F=f＜mg,乙将加速下降,甲与绳一起加速下降,因此,乙相对于绳加速下滑.

(2)假设 k=1,则乙与绳间的摩擦力 f=mg.

此时,绳中的张力 F=f=mg,乙将静止在空中,甲与绳一起加速下降,因此,乙相对于绳加速下滑.

(3)假设k＞1,设乙与绳间的摩擦力为 f,则绳中的张力F=f.

对乙:由牛顿第二定律有kmg-mg=ma1.

对甲:由牛顿第二定律有Mg-kmg=Ma2.

从上面的分析,可以得到以下几个结论:

(1)两人与绳之间的摩擦力总是大小相等,且等于乙与绳之间的摩擦力;

(2)甲与绳一定保持相对静止,且一定是加速下降;

(3)乙可能与绳保持相对静止,此时乙加速上升;也可能相对绳加速下滑,此时乙可能静止、可能加速上升、也可能加速下降.

3 原型过渡

受到上面原型的启发,可以将原型进一步转化,接近原题的模型.

如图3所示,倾角为α的等腰三角形光滑斜面固定在水平面上,斜面顶端有一个定滑轮,一根足够长的轻绳跨过定滑轮,质量分别为 M、m(M＞m)的甲、乙两人站在斜面两侧,都紧握着绳,甲与绳间的最大静摩擦力 fm1=μ Mgcosα,乙与绳间的最大静摩擦力 fm2=μ mgcosα,且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等.

图3

这里,人与绳之间的摩擦力相当于原题中物体与绸带间的摩擦力,人与绳之间的相对运动相当于物体与绸带间的相对运动.

从上面的分析知道,两人与绳之间的摩擦力总是大小相等,且等于乙与绳之间的摩擦力.由此得到结论,M、m与绸带间的摩擦力大小总是相等,且等于 m与绸带间的摩擦力.故原题选项(A)正确.

4 问题解决

通过上面的原型启发和原型过渡,下面来分析原题的情景.

设两物块与绸带间的摩擦力大小为 f,下面分3种情况来讨论.

(1)mgsinα=μ mgcosα,即 α=tan-1μ.

m将静止在右侧斜面上,物块与绸带间的摩擦力大小为 f=mgsinα.

对 M,由牛顿第二定律有 Mgsinα-f=Ma,得到

此时,M将与绸带保持相对静止,一起沿左侧斜面加速下滑,m将静止在右侧斜面上,相对绸带加速下滑.

(2)mgsinα＜μ mgcosα,即 α＜tan-1μ

假设m沿右侧斜面以加速度a上滑,M沿左侧斜面以加速度a下滑,设物块与绸带间的摩擦力大小为 f.

对 m,由牛顿第二定律有 f-mgsinα=ma.

(3)mgsinα＞μ mgcosα,即 α＞tan-1μ

物块与绸带间的摩擦力大小为 f=μ mgcosα,m将沿右侧斜面以加速度a1下滑,M沿左侧斜面以加速度a2下滑.

对 m,由牛顿第二定律有 mgsinα-f=ma1,解得 a1=g(sinα-μ cosα).

此时,M与绸带保持相对静止,沿左侧斜面加速下滑;m沿右侧斜面加速下滑,相对绸带加速下滑.

从以上分析可知,M总是与绸带保持相对静止,故选项(C)正确.

综上所述,本题答案是(A)、(C).

本题给我们的启示是,在碰到陌生的物理情景时,可以根据头脑中熟悉的物理模型,通过类比和适当的模型转换,建立类似的物理情景,从而取得突破,达到求解的目的.