基于Korteweg–de Vries方程解析解的海洋内波模拟研究

李娟，顾行发，余涛，孙源，郭丁，徐京萍，董文

（1.中国科学院遥感应用研究所 遥感科学国家重点实验室，北京100101；2.国家航天局 航天遥感论证中心, 北京100101）

基于Korteweg–de Vries方程解析解的海洋内波模拟研究

李娟1,2，顾行发1,2，余涛1,2，孙源1,2，郭丁1,2，徐京萍1,2，董文1,2

（1.中国科学院遥感应用研究所 遥感科学国家重点实验室，北京100101；2.国家航天局 航天遥感论证中心, 北京100101）

主要是利用非线性发展方程丰富的解析解，基于含有散射项和微扰项的Korteweg-de Vries方程对台湾东北部东海海域内波的传播特性进行研究，并着重分析海洋内波在SAR图像上的信号特征，进而讨论耗散项和微扰项对海洋内波所引起的表层流速变化的影响。

海洋内波；Korteweg-de Vries方程；解析解

Abstract: Utilizing the abundant analytical soliton solutions of nonlinear evolution equation, the propagation characteristics of the internal waves in the northeast of Taiwan in the East China Sea have been investigated based on the Korteweg-de Vries equation including the dissipative and perturbed terms.In a two-layer ocean system, the variation of signature characteristics for the internal wave on SAR image have been discussed.The effects of dissipative and perturbed terms on internal waves and horizontal velocity of the ocean surface current has been presented.

Keywords: ocean internal wave; Korteweg-de Vries equation; analytical solutions

在稳定层化的海洋与大气地球流体中，流体由于受到扰动可激发内波，故内波一般都发生在流体内部。密度稳定层化不仅是内波存在的必要条件，而且其强度对内波的频率和速度均有影响，一般强度越小，频率越低，传播速度越小。据研究资料表明，尽管海洋内波产生于海洋内部分层界面，但与表面波相比它具有更大的破坏力，对海洋运输、潜艇、石油钻井机和水下通讯均有很大影响。

在过去的几十年间，世界各国的科学家利用各种不同的方法对海洋内波特性进行了较广泛的研究，并取得丰硕成果，包括海洋内波的激发、传播和消衰。1992年在Long Island 附近海域进行了美-俄联合内波实验（Joint U.S.-Russia Internal Wave Experiment，JUSREX），获取了丰富的同步机载和星载卫星数据[1]。1979年Maxworthy通过实验室水槽实验，对Lee波激发机制进行了验证[2]。通过在Korteweg–de Vries（KdV）方程中增加地形效应、旋转分量、径向传播等效应，Liu等人对Sulu海与New York湾的海洋内波的传播特征进行了研究[3-4]。利用数百幅海洋内波遥感图像，Liu和Zhao等人绘制出中国南海北部海洋内波的空间分布图，发现这些海洋内波大都是由吕宋海峡激发并向西传播[5-6]。

目前，大多是采用实测资料分析、实验室实验、数值模拟和遥感图像分析等方法对海洋内部进行研究，而在此方面取得的丰硕解析成果却没有引起人们的重视，特别是在海洋内波的数值模拟研究中，基本是采用数值解和基于海洋内波的 SAR成像过程开展研究，即流体动力学调制、波致流场对表面微尺度波的调制、雷达波与表面微尺波的相互作用[7-9]。KdV方程作为孤子理论中的一个重要的模型，通过有效的研究方法，如逆散射方法、Painlevé 分析、AKNS 方法、Bäcklund 变换、Darboux 变换、Hirota 方法、齐次平衡法、Tanh 函数展开法和Jacobi椭圆函数展开法等，关于该方程的解析研究已取得丰硕成果[10-11]。

本文将研究带有耗散项与微扰项的广义变系数KdV模型，其形式如下：

式中：u(x, t)表示非线性波的振幅，是变量x和t的解析函数，f(t)≠0，g(t)≠0，l(t)和 h(t)为实的解析函数，分别对应于非线性项、色散项、耗散项和微扰项。该模型在浅水波、动脉机制、不可压缩玻色气体和玻色爱因斯坦凝聚中均有着广泛应用。如文献[10]所示，方程（1）在满足一定的约束条件下是可积的，即在Painlevé约束条件

下具有自-Bäcklund变换、双线性变换、多孤子解和Lax对等性质，其中c1和c2是两个任意的实常数且满足+≠0。利用丰富解析解，本文将基于方程（1）对海洋内波进行模拟研究，并着重分析海洋内波在 SAR图像上的信号特征和由内波所引起的海洋表层流速变化。

1 变系数KdV方程

需要注意的是，约束条件（2）中的 c2是否为零，对模型（1）的解及 Lax对具有较大影响。当f(t)=α，g(t)= β，l(t)=κ和h(t)=0时，方程（1）则退化为：

方程（3）可用于描述分层水体结构中海洋内波的传播，其中 α=3κ(h1-h2)/2h1h2，β=κh1h2/6 和κ={gΔρh1h2/[ρ0(h1+h2)]}1/2分别是非线性项、色射项和线性波速的系数，g是重力加速度，ρ0是海水的平均密度，Δρ是上下分层的密度差。在h1＜h2时，方程（3）具有下降型孤子，而在 h1＞h2则为上升型孤子。

在约束条件（2）下，关于方程（1）的众多可积性质已被广泛研究，包括多孤子型解。如文献[10]所示，在c2=0和c1=1/δ时，变系数KdV模型（1）的单孤子型解为：

式中：12η2e-∫h(t)dt/δ和1/η分别代表孤波的振幅和波宽，δ为不为零的常数，孤波的速度是不断变化的，而波形在传播中却保持不变。由（2）式可知，方程（3）同样满足 Painlevé约束条件，因此具有多孤子解。

2 海洋内波仿真模拟

尽管微波只能穿透海面以下几厘米的海水深度，而且海洋内波一般都发生在深度为几十米的海洋内部，但由其引起的海洋内部流场及表层流速的变化可在海洋表面可形成辐聚和辐散现象，而变化的流场又对海洋表面微尺度波产生调制，进而SAR通过雷达波与表面微尺度波的相互作用进行观测，并能探测浅海海底地形等。基于海洋内波的 SAR成像机理：流体动力学调制、波致流场对表面微尺度波的调制、雷达波与表面微尺波的相互作用[12-15]，下面将给出基于方程（3）的海洋内波SAR成像模拟算法。

在密度稳定层化的海洋中，方程（3）的上升型海洋内波所引起的海洋表面波的水平流速为：

式中：下标i=1,2表示内波数，而j=1,2则分别对应层化流体上层和下层的水平流速。从（5）式可以看出，上层的表面波流速与内波的传播方向相反，而下层流速则与内波传播方向相同。同理，可以得到由下降型海洋内波引起的海洋表面波的水平流速，并且具有和（5）式同样的性质。对于入射角在200-700范围内的典型的SAR而言，海面的雷达后向散射以Bragg散射为主，因此Δσ0和的关系可表示为：

上式即为海洋内波进行SAR成像模拟的公式。

2.1 分层海域内波SAR仿真模拟

对于方程（3），在台湾省东北部东海海域，假定海水的层化结构参数为：海洋平均密度常数∆ρ/ρ=10-3，最初的海水深度 h=160 m，混合层深h1=60 m, 最初的底层深h2=100 m，最终的底层深为40 m[5].如图1（a）所示，在初始海区，下降型海洋内波随时间的发展可保持波形和速度的不变，图1（b）则给出该海洋内波在SAR图像上的信号特征，即明暗相间的条纹。作为对比，在最终的海域则可以看到上升型海洋内波的传播过程（见图2），同样可保持振幅、波形和速度不变，而其在SAR图像上的信号特征则是暗亮相间的条纹。

图1 （a）下降型海洋内波（参数为η=4 m, h1=60 m和h2=120 m）（b）下降型海洋内波在SAR图像上的信号特征（参数为γ=0.5, μ=0.025 s-1和φ=600）Fig.1 (a)The depression internal wave profile with η=4 m, h1=60 m and h2=120 m, (b) the signature characteristic of the depression internal wave in SAR image with γ=0.5, μ=0.025 s-1and φ=600

图2 上升型海洋内波和其在SAR图像上的信号特征（其中参数除h1=60 m和h2=40 m外其它全部和图1的参数一致）Fig.2 The elevation internal wave profile and signature characteristic of this wave in SAR image with the same parameters as in figure 1 except that h1=60 m and h2=40 m

2.2 非行波海洋内波仿真模拟

当方程（1）中的系数全为常数时，可得到波形与速度都不发生变化的海洋内波如图1和 2所示。当解中的参数与系数函数不都取常数时，可得到波形或速度变化的非行波解。

2.2.1 耗散项 l(t)ux对海洋内波波形的影响 当η=0.5 m，δ=6，g(t)=1，l(t)=3/8sin(t/8)和h(t)=0时，方程（1）具有非行波解，即非行波海洋内波。图3（a）展示了耗散项l(t)ux对上升型海洋内波速度的影响，从中可以看出，此时的速度是随着内波的传播而不断变化。关于非行波的海洋内波 SAR成像机制研究尚未成熟，故无法较精确地描述其在SAR图像上的信号特征。借鉴行波海洋内波的研究理论，本文只对由非行波海洋内波引起的海洋表层流速的变化进行模拟。如图3（b）所示，海洋内波的振幅一直保持不变，而速度则随时间发生周期性变化，由于只是上升型内波所引起的表层流速变化的模拟，故图3（b）上的信号特征则是明暗相间的条纹，与在SAR图像上的特征相反。图4则描述了耗散项对下降型海洋内波传播特征的影响，传播速度随时间变化，引起的表层流速的变化为暗亮相间的条纹。

图3 上升型非行波海洋内波和所引起的海洋表层流速变化的模拟Fig.3 The elevation non-traveling internal wave profile and horizontal velocity of the ocean surface current

图4 下降型非行波海洋内波和所引起的海洋表层流速的模拟，其中除δ=-6外其它参数与图3中的一致Fig.4 Depression internal wave profile and horizontal velocity of the ocean surface current with the same parameters as those in figure 3 except that δ=-6

2.2.2 微扰项 h(t)u对海洋内波波形的影响 当h(t)≠0时，微扰项将影响海洋内波的振幅。图5（a）和 6（a）分别给出微扰项h( t) u对上升型和下降型内波振幅的影响，即内波的振幅随时间不断发生周期性变化。图5（b）和 6（b）同样描述了由上升型和下降型内波所引起的海洋表层流速的变化特征，即分别为亮暗相间和暗亮相间条纹。从图5和 6可以看出，在振幅最大时，条纹最亮，而振幅最小时条纹最暗。

图5 上升型非行波海洋内波和所引起的海洋表层流速的模拟，其中参数为η=0.5 m，δ=6，g(t)=1，l(t)=0和h(t)=sin(t/8)/8Fig.5 Elevation non-travelling internal wave profile and horizontal velocity of the ocean surface current with η=0.5 m，δ=6，g(t)=1，l(t)=0 and h(t)=sin(t/8)/8

图6 下降型非行波海洋内波和所引起的海洋表层流速的模拟，其中除δ=-6外其它参数与图5中的一致Figure 6 Depression non-travelling internal wave profile and horizontal velocity of the ocean surface current with the same parameters as those in figure 5 except that δ=-6

3 总 结

本文主要是基于含有耗散项和微扰项的变系数 KdV方程对海洋内波的传播特征进行了模拟研究。当方程（1）中的系数全为常数时，基于解析孤子解对台湾东北部东海海域的上升型和下降型海洋内波及其在SAR图像上的信号特征进行模拟，同时讨论了耗散项和微扰项对海洋内波波形和速度及所引起的海洋表层流速变化的影响。可以看出模拟的海洋内波在 SAR图像上的特征同已有卫星数据比较一致，但由于实测数据和海洋环境参数，故只能对海洋内波进行定性分析而无法量化讨论。希望本文的研究能够对 SAR图像的分析提供一定的参考，为进一步的海洋内波定量模拟奠定基础。

[1]Todd D S，George S Y, Hampton N S.Estimating Convective Atmospheric Boundary Layer Depth from Microwave Radar Imagery of the Sea Surface [J].Journal of Applied Meteorology,1997, 36(7): 833-845.

[2]Maxworthy T.A note on the internal solitary waves produced by tidal flow over a three-dimensional ridge [J].Journal of Geophysical Research, 1979, 84(c1): 338-346.

[3]Liu A K, Apel J R, Holbrook J R.Nonlinear internal wave evolution in the Sulu Sea [J].Journal of Physical Oceanography, 1985, 15(12): 1613-1624.

[4]Liu A K.Analysis of nonlinear internal waves in the New York Bight [J].Journal of Geophysical Research, 1988, 93(c10): 12317-12329.

[5]Liu A K, Chang Y S, Hsu M K, et al.Evolution of nonlinear internal waves in China Seas [J].Journal of Geophysical Research, 1998, 103(c4): 7995-8008.

[6]Zhao Z X, Klemas V, Zheng Q A, et al.Remote sensing evidence for baroclinic tide origin of internal solitary waves in the northeastern South China Sea [J].Geophysical Research Letters, 2004, 31(1): 1-4(L06302).

[7]Alpers W.Theory of radar imaging of internal waves [J].Nature, 1985, 314(6008): 245-247.

[8]Shen H, He Y J.SAR imaging simulation of horizontal fully two-dimensional internal waves [J].Journal of Hydrodynamics Series B, 2006, 18(3): 294-302.

[9]Meng J M, Zhang Z L, Zhao J S.The simulation of the SAR image of internal solitary waves in Alboran Sea [J].Journal of Hydrodynamics Series B, 2001, 13(3): 88-92.

[10]Li J, Xu T, Meng X H, et al.Symbolic computation on integrable properties of a variable-coefficient Korteweg–de Vries equation from arterial mechanics and Bose-Einstein condensates [J].Physica Scripta, 2007, 75(3): 278-284.

[11]Ablowitz M J, Clarkson P A.Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering [M].Cambridge University Press, 1991: 25-86.

[12]蔡树群, 甘子钧, 龙小敏.南海北部孤立子内波的-些特征和演变 [J].科学通报, 2001, 46(15): 1245-1250.

[13]李海艳.利用合成孔径雷达研究海洋内波 [D].中国海洋大学, 2004: 1-18.

[14]杨劲松.合成孔径雷达海面风场、海浪和内波遥感技术 [M].北京: 海洋出版社，2005: 75-87.

[15]申辉.海洋内波的遥感与数值模拟研究 [D].中国科学院海洋研究所, 2005: 77-89.

Simulation investigation on the internal wave via the analytical solution of Korteweg-de Vries equation

LI Juan1,2, GU Xing-fa1,2, YU Tao1,2, SUN Yuan1,2, GUO Ding1,2, XU Jing-ping1,2, DONG Wen1,2

(1.State Key Laboratory of Remote Sensing Science, Jointly Sponsored by the Institute of Remote Sensing Applications of Chinese of Sciences Academy and Beijing Normal University, Beijing 100101, China，2.Demonstration Centre，Spaceborne Remote Sensing National Space Administration, Beijing 100101, China)

P731.24

A

1001-6932(2011)01-0023-06

2010-02-04；收修改稿日期：2010-05-22

中国科学院遥感应用研究所、北京师范大学遥感科学国家重点实验室开放基金资助项目（编号：O8Y01563KZ）；中国科学院知识创新工程重要方向项目∶ 航天遥感图像仿真模拟关键技术研究（kzcx2-yw-303）；中国博士后科学基金（编号：2008-0440555）。

李娟(1978-),女,山东,博士后,助理研究员,主要从事海洋内波传播特性研究。电子邮箱：jlirsa@gmail.com。