百慕大期权定价的离散模型

刘福国

(昌吉学院数学系 新疆 昌吉 831100)

百慕大期权定价的离散模型

刘福国

(昌吉学院数学系 新疆 昌吉 831100)

本文给出离散市场模型下百慕大期权定价公式。对我国的上海权证市场中的百慕大式权证的实际数据利用离散(二叉数方法)模型下的百慕大期权定价公式进行数学模拟，并给出实证分析，从而为百慕大期权定价理论的证明提供了现实根据。

百慕大期权;二叉树;实证分析

1 前 言

期权按照交易时间的不同，期权有欧式期权和美式期权之分，标准美式期权可在其有效期内任何时间均可行使期权，它比欧式期权应用得更为普遍，国际金融衍生市场交易的大多数期权都是美式期权，但实际中交易的美式期权不一定总是具备这些标准特征，尤以股票期权市场最为突出。有一种非标准的美式期权称为百慕大(bermudan)期权，在这种期权中，提前行使只限于期权有效期内特定日期，即其具备路径依赖特征。例如现在一些公司发行的某些认购权证和认沽权证实质上就是百慕大期权，他们提前执行只能在有效期内的部分时间进行，而不是有效期内的所以时间都可以，所以对其定价，就显得比较复杂，这也是购买者最关心的问题。在金融衍生市场中交易的大部分权证都是百慕大式的，所以对百慕大期权的定价就显得尤为重要。由于其路径依赖特征的复杂性使得对百慕大期权的定价比较有难度，关于该问题研究的文献比较有限，林建伟采用偏微分方程方法讨论了带跳扩散项的永久百慕大期权定价问题［1，2］，但他仅解决作为周期解的连续的数学模型。所以百慕大期权的定价一直是国内外众多学者研究的热点之一。

2 百慕大期权定价方法—离散模型

定义2.1［3］按和约规定，提前实施只限于期权有效期内的一些特定时间才可以进行，在其他时间与其它欧式期权一样不能提前实施，此类期权称之为百慕大期权。

二叉树模型为百慕大式期权定价原理

设t1，t2，……，tN为百慕大期权可以行权的时刻，把［0，T］分为N段:0＜t1＜t2

＜…… ＜tN=T，实际中不同百慕大期权N不同，即在不同时刻行权其价值不同，在每个可行权点ti可以选择立即行权，也可以选择在以后的行权点行权，如下图:

图中Y表示执行期权，N表示不执行期权

设V(s，t)表示t时刻期权的价值，则

对于百慕大期权二叉树模型首先解决的就是股价走势的问题，虽然不知道未来某个时点的股价具体是多少，但是二叉树模型认为在较短的时间间隔内，股票价格S只有两种运动方向，以概率P向上增长为Su，或以概率1－P下降为Sd，根据股价的历史波动率，可推算u、d，并设定如下:

二叉树描绘出的股价路径如下图所示:

单步二叉树示意图

多步二叉树示意图

描绘出股价路径之后，则需判断每个节点处的期权价值。由于股票和期权的风险源相同，因此通过构建一个股票和期权的无风险组合，便可求解P，f。在单步二叉树中，它们满足如下关系:

公式2.2显示的是期权的时间价值，从经济意义上很好理解，将未来股价上涨时的期权价值和股价下跌时的期权价值分别以其概率为权重相加后按无风险利率贴现回来即为其现值，也就是现在不行权而在将来行权的价值。实际上，每个节点处的期权可能还存在另一个价值，就是选择立即行权而不是将来行权的价值，对于看跌期权而言，即max(X－S(T)，0)。欧式期权由于只在期末有行权的权利，所以除最后一层节点外，不存在第二种价值;美式期权

由于在期权的有效期内任一天均可行权，因此除最后一层节点外，每个节点处期权均存在两种价值;百慕大期权由于期权有效期内只有某段时间可行权，因此部分节点处期权存在两种价值，部分节点处只有第一种价值。

在给期权定价时，实务界一般认为采用20步二叉树就能取得较好的定价效果，并且我们通过适当调整步长使行权点刚好与二叉树分层点重合，对于看跌期权而言，由于最后一层节点处为期末，期权的价值仅为立即行权的价值max(X－S(T)，0)，然后根据公式(2.2)不断的往前回溯，如果该节点处有行权的权利，则期权价值为:

如果该节点处无行权的权利，则期权价值为:e－rT［Pfu+(1－P)fd］，回溯到第一个节点时则为百慕大期权价值。

3 实证研究

定义3.1［4］权证，是指标的证券发行人或其以外的第三人发行的，约定持有人在规定期间内或特定到期日，有权按约定价格向发行人购买或出售标的证券，或以现金结算方式收取结算差价的有价证券。

权证本质上是期权的一种，百慕大式权证实质就属于百慕大期权，在我国的上海权证市场中大部分的权证是百慕大式的，百慕大权证吸收了欧式权证和美式权证的灵活性，更加满足市场的需求，对其定价就显得更加重要。本文对中国上海权证市场中的所有百慕大式认沽权证和认购权证的实际数据以MATHLAB作为数学模拟工具对二叉树模型进行模拟，并与实际进行比较，部分结果如下图:

首创JTB1模拟图

国安JTB1模拟图

雅戈尔QCB1模拟图

邯钢JTB1模拟图

对所有的百慕大式认沽权证和认购权证都使用该方法进行实证模拟对比，二叉树定价结果比较接近实际，权证是指标的证券发行人或其以外的第三人发行的，反映的是发行人与持有人之间的一种契约关系，发行人也以追求经济利益为目的，而且权证的价格往往还要受到权证的市场供求、发行人业绩等因素影响，所以造成对于百慕大式认沽权证和认购权证的理论价值有时与实际价格存在一定的差距。

本文对于百慕大期权定价是在标的资产不存在分红和利率、波动率是时间t的连续函数的假设条件下进行的，标的资产存在分红和利率、波动率是随机情形还有待继续研究。

［1］林建伟.带跳扩散项的永久百慕大期权定价［J］.莆田学院学报.2005，(4).

［2］林建伟.永久百慕大期权的定价公式［J］.同济大学学报，2008，(10).

［3］姜礼尚.期权定价的数学模型和方法［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［4］［美］John C.Hull.期权，期货和其它衍生产品［M］.北京:华夏出版社，2000.

［5］钱敏平，龚光鲁.随机过程论［M］.北京:北京大学出版社，2004.

O212.7

A

1671－6469(2011)05－0091－03

2011－10－11

昌吉学院教研课题(2010YJYB007)

刘福国(1978－)，男，新疆呼图壁人，昌吉学院数学系，讲师，研究方向:数理金融。

(责任编辑:马海燕)