客观题讲评应重视“对而不懂”现象

☉江苏省扬州市江都区杨庄中学 肖世兵

数学离不开解题，数学教学离不开习题讲评.习题评讲课是数学教学中的重要课型，也是数学巩固教学的重要环节.

关于试卷评讲，已有不少老师做过研究：重点关注了错题的讲解与变式；主要集中于评讲课课型模式、试卷评讲的现状、讲评课的流程、讲评要点等的研究.当然，这些是评讲研究的重点，但我们也应重视对一些正确题的点评.

在实际练习中，学生的客观题（选择题和填空题）的答案有不少是对的，细细追问，可以发现他们获取答案的方式是多样的，或看出来的，或量出来的，或折出来的，或用特殊值代出来的，或用排他法筛出来的……对客观题的评讲，不少老师也只偏重于答案的获得，大有“不管白猫黑猫，只要逮住老鼠都是好猫”之意.

值得肯定的是，在考试中使用这些技巧求解也不失为一种省时高效的方法.但一旦改变题型，将客观题改为解答题，原有的技巧方法将随之失效，学生的“问题”将暴露无疑，这时势必导致部分学生纷纷“落马”.因而，一些客观题表面上看学生是做对了，但实质上，还有不少学生不知道、不了解或不清楚问题解答的数学原理.这就是在学生练习中，客观存在的“对而不懂”现象.这也就需要教师重视客观题中的“对而不懂”现象，重视对此类试题的评讲.

一、“对而不懂”现象分析

1.“看出来的”答案

例1 如图1，△ABC中，D为AB的中点，将△ABC沿DE所在直线翻折，使点A恰好落在BC上F处，若∠B=50°，则∠ADE=______.

图1

教学片断：

教师：此题怎么解答？

学生1（不屑的说道）：“这题太简单了，看看答案就出来了.”（一句话逗得全班大笑）

教师：眼见不一定为实的，具体说说你怎么看到的.

学生1：显然DE∥BC，所以∠ADE=∠B=50°.

教师：为什么DE∥BC？条件“D为AB的中点，将△ABC沿DE所在直线翻折”有什么用？

学生1（支支吾吾）：恩，还是看出来的.

教师：几何上，我们不能将“看上去的”作为条件直接使用.对于猜想的结论，往往是需要论证的.大家一起想想，怎么解决？

（经过一段时间的思考，两位学生给出了如下的解题思路）

学生2：连接AF，由翻折知DE⊥AF.由AD=DB=DF，可得AF⊥BC.故DE∥BC.

学生3：设AF与DE的交点为G，则由翻折可知G为AF的中点，而D又为AB的中点，故由中位线性质也可得到DE∥BC.

教师：还有其他方法吗？抓住“中点”和“翻折的性质”，将条件产生有效关联.

学生4：由翻折知：△ADE≌△FDE，可得DF=AD，∠ADE=∠FDE.因为D为AB的中点，所以DA=DB，所以DF=DB，所以∠B=∠DFB.又因为∠ADF=∠FDE+∠ADE=2∠ADE，∠ADF=∠B+∠DFB=2∠B，所以，∠ADF=∠B=50°.

案例分析：

此题的正确率虽然很高，但通过课堂调查，发现真正理解会做的不到25%.许多学生都是借助直观感受看出来的，忽视对条件的充分应用，忽略了“轴对称性质”的运用.在几何练习中，一些学生常常将这种“看上去的”作为条件使用，把看似等边三角形的就当等边三角形用，看似等腰直角三角形的就当等腰直角三角形用，不是依据题意，而是凭“图”捏造条件，按“图”索解.初学几何时，学生常常因畏难偷懒，不愿思考，懒于思考.如若不做讲评，极易养成学生的解题侥幸心理，只注重结果而不重视过程，不求甚解，这样不利于发展推理能力和培养严谨的科学探究精神.

因此，几何习题讲评时，谨防学生按“图”索解，谨防因直观猜想而造成的“对而不懂”.

2.“特殊来的”答案

教学片断：

教师：解决此题时，我们应先根据题意，画出草图.请同学们说说你的解法.

学生1：我是这样画图的：直线l取的是y=2，此时，点A（-3，2）、B（1，2），则AB=4，点P到AB的距离就是平行线间的距离，即△CBP的边AB上的高，所以，△ABP的面积是4.

教师：将直线l特殊化为y=2，不错的想法！还有没有其他解法？

学生2：我是这样画图的：将点P取在原点O，如图2.设AB与y轴交于点C，则利用反比例函数的面积性质，得△CBP的面积是1，△ACP的面积是3，所以，△ABP的面积是4.

图2

（在询问了几个学生都是取特殊情形解答之后，我又追问一句）

教师：除了取特殊位置解法外，在一般位置的情形下，又如何解决？

（一时间，学生陷入沉思中……）

学生3：当点P在除原点以外的其他位置时，利用“平行线间的距离”和“同底等高的三角形面积相等”，可知△ABP的面积等于△ABO的面积，再利用反比例函数的面积性质得解.

教师：很好！学生3很好地运用了转化思想，将一般化为特殊，再转化为基本图形，解决此题.

解决此类面积问题，一种方法，就是化基本形；另一种方法，就是回到数学的“根”上，此题是坐标系下的三角形面积问题，确定三角形的三个顶点的坐标，即可表示三角形的面积.

教师：同学们给出了不少的解法，大家都在积极开动脑筋.仔细想想，这些解法不外乎特殊解法与一般解法两种，特殊解法能有助于我们快速求解，但不利于我们对问题本质的把握，对问题的研究浅尝则止，研究不深入、不彻底.一般解法更能让我们体会到此类问题的通解通法，值得重视.

案例分析：

反比例函数背景下的面积问题是中考热点问题，此题涉及两个反比例函数的图像，试题新颖，同时试题中的两个动态条件使此类问题的解决更具有一般性和普适性.考虑试题很有研究价值，虽正确率高，教学时，还是做了评讲.评讲时，发现绝大多数学生在画图时，都选取了特殊情形（一种是将直线l的位置特殊化，另一种是将点P的位置特殊化，第三种是将直线l和点P的位置都特殊化），基本符合备课时的预见.当然，值得鼓励的是学生能利用特殊与一般的关系进行解题也算是不错的，但此法功利性强、应试味儿浓，不利于引导学生对数学知识的深入理解和数学本质的关注.因此，教师评讲时，重点引导对一般方法的探究，突出对通解通法的掌握，同时，深刻感受一般解法与特殊解法之间的共同点和不同点.

因此，习题评讲中既注重答题技巧的讲解，更要关注对通解通法的讲解，避免因特殊而造成的“对而不懂”.

3.“排出来的”答案

例3（2012年威海）下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）.

图3

教学片断：

学生1：采用排除法解题，选项A、B、D是课堂中研究的一些基本图形，它们的面积都等于2，故面积最小的一定是C.

教师：通过排除法，对简单问题作出解答，避开复杂的问题，选出正确答案，这是选择题中常用的解题技巧之一，用于应试那绝对是省事高效的妙招.但若将选项C单独出来，作为填空题或解答题来考查，你能避开吗？

学生1（一边抓耳挠腮，一边忙于思考）：嗯……

教师：在平时练习中，我们应以弄懂问题为目标，而不应满足于得到一个答案.事实上，这位同学虽得出正确答案，但对问题的理解还是不够全面、到位的.一旦改变题型，即会造成不懂的现象.

（经过一段思考后，学生们陆陆续续地给出了不同的解法）

学生2：如图4，过点M、N作MA⊥x轴，NB⊥x轴，垂足分别为A、B.

由反比例函数的k的几何意义，可知：△MOA的面积等于△NOB的面积，从而，可得△MNO的面积等于直角梯形MABN的面积.

由点M（1，2）、N（2，1），可知MA=2，NB=1，AB=1.

图4

教师：该法利用反比例函数的性质，将“斜”三角形转化为直角梯形求解，转化得好！

学生3：如图5，设直线MN与x、y轴分别交于点B、A.

由M（1，2）、N（2，1）求出直线MN的解析式为y=-x+3.

再求出点A（0，3）、B（3，0）.

图5

教师：通过延长MN，舍用反比例函数，利用一次函数的知识，运用“补”的策略，进行转化，此法跳出背景，抓住本质，不失一般.

学生4：分别过点M、N作x轴、y轴的平行线，如图6所示.

易知点C的坐标为（2，2）.

图6

教师：通过“补”成矩形，转化求解.此法与上法异曲同工，但此法更为简洁，值得推广.

（正当笔者要讲下一题时，一位男生举手示意，说自己还有其他解法）

（鉴于课堂时间原因，笔者要求该男生说出了解题的思路，没做具体求解）

教师：该同学利用几何性质探究了三角形的面积，也是一种很好的思路.坐标系下的面积求解，除了用坐标知识、函数知识外，利用几何解答，也是值得思考的角度.同学们积极思考，真的很棒，大家把热烈的掌声送给他们.

教师：反思总结一下，求“斜”三角形的面积的方法有哪些？其中，哪种方法最为简洁？哪些解法更具有通用性？这些解法中体现了什么数学思想？

（出示一道变式训练题，加强巩固）

题目：已知在平面直角坐标系下，点A（-1，-2）、B（4，3），求△AOB的面积.

案例分析：

排除法作为解题技巧，用于应试教学无可厚非.如若改变题型，将选项C的情形，放置于填空题或解答题中，还会有如此高的正确率吗？因此，作为平时的习题评讲，应注重对数学思想方法、解题能力的训练.笔者评讲此题时，用了一节课的时间，重点探讨了选项C中的“斜”三角形的面积的求法.课堂上，学生积极思考，给出了不同的解答方式，通过变式反思，学生较好地掌握了这一类型的三角形面积的基本求法，真正达到了做一题、会一类、通一片的效果，消除了此题中的对而不懂的隐患.

所以，在平时的习题评讲中，对于采用排除法获得正确答案的试题，不应忽视其的正面解决方法，谨防因用排除法而造成的“对而不懂”.

二、几点思考

（1）因解题方法、解题技巧、学习习惯、学习心理等因素的作用，“对而不懂”现象是普遍、客观存在的.其成因是多样的、复杂的.既有答题技巧方面的，也有数学学习心理方面的.对于答题技巧方面，通过让学生说解法，说思路，可以及时发现，及时弥补；对于学习心理方面，习题评讲时，以激励表扬为主，捕捉每位学生解答的闪光点，从而调动学生学习的兴趣、情感等积极因素，激发勤奋好学的愿望.

（2）在平时习题评讲教学中，既要关注错题的评讲，也不忽视对正题的分析研究.教师应学会讲前质疑，学生真的懂了？学生可能会犯什么错误？学生会用哪些解法？习题是否可以变式拓展？通过教师提前预设，也能够有效避免“对而不懂”现象.

（3）在客观题的解答中，因题制宜，对学生技巧性的解答（如度量法、排除法、特殊法，直观感受等）应给予充分肯定.同时，鼓励学生尝试从正面解答，使学生的解答更丰满，解法更多样，引导学生对数学本质的思考，积极培养学生“求原理、究根底”的学习作风和科学严谨的探究精神.

1.王道勇.浅谈数学测试卷的讲评［J］.中小学数学，2008（3）.

2.陶家友.精“讲”巧“评”打造高效的试卷讲评课［J］.中学数学（下），2013（2）.

3.陆祥雪.如何上好数学试卷讲评课［J］.中小学数学，2009（7-8）.