竞赛中代数式求值的九种常用方法

☉江苏省扬州市江都区实验初级中学 李芳菲

在近几年全国各地初中数学竞赛中经常出现代数式的求值问题，这类问题涉及的知识面广，技巧性强，方法灵活多样，倍受命题者的青睐．解决这类问题的关键是理清已知条件与所求代数式之间的关系，然后选择适当的方法求解．笔者结合近几年各类竞赛试题，归纳总结出解决这类问题的几种常用方法，供读者参考．

一、直接代入法

直接代入法就是将已知字母的值直接代入所求值的代数式中，通过化简求得代数式值的方法．

点评：直接代入法是代数式求值中常用的方法之一，若已知代数式中所含字母的值，且直接代入后易求值时，可考虑利用直接代入法求解.

二、参数法

点评：参数法是解决这类问题的有效方法之一，利用这种方法求代数式值的关键是根据已知设出合理的参数．本题还可将x看作常数，然后用含有x的代数式表示y、z，直接代入所求值的代数式中化简求值即可，但这种方法运算量比较大，没有参数法简便快捷．

三、整体代换法

若已知代数式中所含字母的值，但直接代入后不易求值时，可考虑利用整体代换法求解.

所以3a3+12a2-6a-12=3a（a2+2a）+6a2-6a-12=6a2+12a-12=6×6-12=24.故选A.

点评：整体代换法是解决这类问题最有效的方法，利用整体代换法求代数式值的关键是对已知条件和所求值的代数式进行适当的变形，然后整体代入求值即可．

四、利用非负数的性质

A.-1 B.0 C.1 D.2

解析：由二次根式中被开方数的非负性可知，（a-3）b2≥0，即a≥3.

五、利用一元二次方程根与系数的关系

A.5 B.7 C.9 D.11

解析：由已知a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则a、b可以看作一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根.由一元二次方程根与系数的关系，知a+b=3，ab=1.

点评：利用一元二次方程根与系数的关系解决这类问题的关键是根据已知条件找出合理的一元二次方程，然后利用一元二次方程根与系数的关系列出相关字母之间的关系，再整体代入所求值的代数式中化简求值即可.若直接根据已知条件求出相关字母的值直接代入所求值的代数式中，运算量会非常大，而且容易出错.

六、利用方程组

例9（“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛）若x2+xy-2y=1，y2+xy-2x=1，则x+y的值为______.

由①+②可得，x2+2xy+y2-2（x+y）=2，

即（x+y）2-2（x+y）-2=0.

由①-②可得，x2-y2+2（x-y）=0，即（x-y）（x+y+2）=0.

所以x-y=0或x+y+2=0.

当x+y+2=0时，x+y=-2.由①知x（x+y）-2y=1，从而-2x-2y=1，即-2（x+y）=1，将x+y=-2代入得，-2×（-2）=1，这是不可能的，故x+y+2≠0.

七、利用折项相消法

八、利用整体设元法

九、利用主元法

解析：以c为主元，则b=10c，a=20b=200c.

点评：当已知条件和所求值的代数式中字母较多时，可选定其中一个字母为主元，然后用这一主元的代数式表示其他字母，最后代入所求值的代数式中化简约分，即可求得代数式的值．