几何画板：“折线上的动点”制作方法

☉江苏省海安县胡集初级中学 夏宏运

动态探究性试题是近几年中考的热点题型，这类试题往往以动点问题为载体，对学生的空间想象能力要求较高.在这类试题的教学中，完全依赖于教师抽象的描述和学生的想象往往难以达到理想的教学效果.如果教学中能够利用几何画板进行动态演示的话，可以将抽象问题变得直观而形象，在降低问题的抽象度的同时，有利于学生分解运动过程，在直观与抽象的反复对比中提高空间想象能力.

在教研活动中，笔者发现很多老师在制作“折线上的动点”时存在困难.笔者在此以一道中考题的具体情境为例，谈一谈此类课件的制作方法，希望能对大家有所帮助.

例题 （2010年湖北咸宁）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6.动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时，两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t（秒）.

图1

（1）当t=0.5时，求线段QM的长.

（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值.

（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究CQ RQ是否为定值.若是，试求这个定值；若不是，请说明理由.

一、制作分析

本题是一个典型的动态探究性试题.题中M点与P点同时同速运动，教学中教师往往希望演示课件能实现M点任意位置的情景呈现.这时，可以将M点作为一个可拖动的动点.当然，在拖动M点时，P点的位置也应当具有相应的变化.也就是说，我们就可以将M点当作“主动点”，P点作为它的“从动点”在折线C—D—A上运动.一旦两个动点设置完成，本题的其他点与线的构造就不存在难度了.因此，笔者在此重点介绍M点及其从动点P的制作过程.

二、具体制作

先按题中数据与数量关系制作直角梯形.因为梯形的各顶点固定不变，因此制作直角梯形时，仅以A作为原始对象（父对象），其余各顶点通过平移来获得（即为A点的子对象）.

步骤1：选择“点工具”，在平面内任意构造一点A，选中，用“变换”菜单下的“平移”工具将A点向上平移4cm得到D点；向右“平移”6cm得到B点；选中D点，向右“平移”2cm得到C点.

步骤2：依次选中上述四个点，用“构造”菜单下的“线段”工具构造线段AD、AB、BC、CD，这时，直角梯形完成.

步骤3：选中线段AB，用“构造”菜单下的“线段上的点”的工具构造线段AB上的一个点M.这样，鼠标选中并按住点M是可以在线段AB上实现随意拖动的.“主动点”设置完成.

步骤 4：选中M点与A点，“构造”线段AM，选中线段AM，用“度量”菜单下的“长度”度量工具，度量线段AM的长度备用，如图2.

图2

说明：构造并度量线段AM的长度是为“从动点”P的运动提供运动参数.

接下来，就是在折线C-D-A上设置“从动点”P了.由题意可知，P点在折线上离开C点的速度与M点的速度相同，而题中的折线C-D-A的长度等于线段AB的长，这说明，当M点从A点运动到B点时，P点应当恰好沿折线到达A点.

步骤5：选择“多边形工具”，依次点取C、D、A点和梯形内任意一点T，收于C点.这样，就构造了四边形CDAT（如图3）.

说明：在几何画板中，直角梯形中的折线C-D-A是两条线段，无法实现一个点在折线上连续运动.然而，用“多边形工具”制作的四边形CDAT可以通过“构造”“边界上的点”的方法构造一个可以在边界上连续运动的点.也就是说，我们最终是将折线转化为多边形的“边界”.

图3

图4

步骤7：在四边形CDAT内部任意位置点击鼠标以选中四边形，然后选择“绘图”菜单下的“在四边形上绘制点”工具，在其中点参数栏中选择第6步中计算的值（如图5）.

图5

图6

这时，我们可以发现在四边形的边界上出现了一个点，这个点的位置会随着M点的位置变化而变化，它就是我们所需要的P点（如图6）.

说明：在第6步中，我们计算0.5×AM/6cm，其中AM/6cm是线段AM长度与线段AB长度的比值.第7步中，“在四边形上绘制点”工具，是在选中的四边形的边界上，按给定的“点值”绘点.需要进一步说明的是，在几何画板中，四边形上的“点值”是将四边形整个周长作为单位1，然后从起始点开始按四边形构造顺序计量而得.比如，图5中我们的“点值”为0.25，那么，绘制的点就会在四边形CDAT周长上的四分之一处（按C-D-A-T的顺序）.显然，随着M点位置的移动，“点值”会变化，那么生成的P点在四边形边界上的位置必定也会随之变化.由题意知，我们不需要这个P点从C点出发绕四边形CDAT一周回到C点，我们只需它在M点的控制下从C点运动到A点即可，所以，我们在AM/6cm这个比值的基础上乘以0.5.这样，当M点被我们拖动到B点时，这个P点也只能到达四边形周长的一半处（不一定是A点处）.

步骤8：选中D点和T点，选择“编辑”菜单下的“合并点”工具，这时，图6中的D点与T点合并到了一起，到此，动点与从动点全部构造完成.

说明：第8步合并D和T，实质上是让四边形变成了两条重合的折线.这样，不管之前构造四边形是什么形状（A点的“点值”可能不是0.5），但是D、T两点合并之后A点的位置一定是周长的一半（即“点值”为0.5）；除此以外，第8步带来的另一个好处是，原先的那个四边形不可见了（其实还是存在的）.

这时，我们拖动AB上的M点，会发现，在折线CD-A上有一个P点跟随它运动.并且，当M点处于A点时，P点位于C点，当M点被拖动到B点时，P点也沿折线运动到了A点.（图7）

图7

本例中接下来的构图工作相对简单，读者可自行完成，在此不再赘述.