基于迭代加权最小二乘的基扩展模型信道估计

田 玮，钟子发，张 玉

（1.解放军电子工程学院，安徽 合肥 230037；2.安徽省电子制约技术重点实验室，安徽 合肥 230037）

0 引言

接收机在高速移动环境下，信道的快速时变会引起OFDM系统载波间干扰，给准确的信道估计带来挑战。传统的方法是通过统计的多普勒频谱来描述信道抽头响应［1］，但信道的快时变会导致信道待估计参数的增加，传统信道估计方法无法求解，因此如何减少待估计参数，并准确估计出快时变信道状态信息成为当前研究的热点。

为减少信道的待估计参数，文献［2］首先提出利用基扩展模型来拟合信道的快速时变特性，即利用实际信道的多普勒频率扩展具有有限带宽的性质，把一个块内的时变多径信道用数量很少的块内时不变的参数来表示。此外，由于信道快速时变破坏了子载波间的正交性，频域信道矩阵不再是一个对角阵，信道估计在受到噪声影响的同时还受到了来自其他数据子载波的干扰，这些为信道估计带来了新的难题。文献［3］针对信道的时变BEM模型，给出了时频双选信道的估计方法以及优化训练序列，但所用估计算法性能受吉布斯效应影响较大，随着多普勒频移的增大，性能逐渐恶化。文献［4—5］在采用基扩展模型的基础上，提出一种基于统计信道信息的LMMSE估计方法，吉布斯效应得到明显的遏制，但该方法需要信道的统计先验信息，这在快时变信道环境下往往难以获取。为更好的适应快时变信道环境，本文在不需要先验信道信息的前提下，提出基于迭代加权最小二乘的基扩展模型信道估计方法。

1 快时变信道系统模型及现有估计方法

在慢衰落信道下，由于多普勒频移较小，信道状态在一个OFDM符号内往往是不变的，与慢衰落信道不同，快时变信道往往需要考虑的多普勒频移较大，这会导致载波间干扰等一系列问题，符号内的信道参数也较慢衰落信道大大增加。针对快时变信道的特点，本节主要给出时变状态下的系统模型和基于基扩展模型的时变信道展开模型，此外还对当前经典的快时变信道估计算法进行了简单介绍。

1.1 时变信道的OFDM系统模型

如图一所示，对于一个具有N个子载波的OFDM系统，第k个OFDM符号s（k）经过傅里叶逆变换成时域矢量，为消除OFDM符号干扰（ISI），每个符号发送到信道之前添加长度为Lcp的循环前缀（CP）作为保护，在接收端去CP后将信号通过一个时域窗口Γ＝ ［Γ0，…，ΓN－1］T的整形以减少多普勒效应的影响，得到接收符号为y（t）（k），再经过FFT解调恢复得到频域接收符号y（k）。其中N点离散傅里叶变换矩阵可以表示 为 ［F］m，n＝1／exp（－j2πmn／N）。

图1 时变信道下的OFDM模型Fig.1 The time－varying channel model

由图1可以得出频域接收向量为：

其中

当信道为慢衰落是，信道状态在一个OFDM符号内不发生变化，H（t）（k）是一个循环的 Toeplitz矩阵；但在快变信道情形下，随着多普勒频移的增大，H（t）（k）不再是一个循环的 Toeplitz矩阵，因此对应频域信道响应H（k）也不再是一个对角矩阵，意味着子载波间存在ICI，H（k）存在（L＋1）N非零的参数需要估计，即使符号s（k）是已知的，也无法求解。基扩展模型用相互正交的基函数逼近信道，使单个可分径待估计量从符号长度减小到基函数的个数，从而达到减少待估计参数的效果。因此需要通过BEM模型将信道估计参数减小到小于N。

1.2 基于基扩展模型的时变信道模型

若将第l个信道抽头在第k个OFDM符号中的变化写成一个N×1维向量（k）＝，…，h］T，用 BEM 形式可以表示为（k）＝Bcl（k）＋εl（k），其中B表示BEM 矩阵，cl（k）为BEM 系数，εl（k）为建模误差。把第k个OFDM符号中的抽头对叠成一个向量，可以得到

通过最小化MSE，可以得到BEM系数：

常用的BEM模型有Karhuen－Loéve基扩展模型［5］（KL－BEM）、多项式基扩展模型［7］（Polynomial－BEM，P－BEM）、复指数基扩展模型［8］（Complex exponential BEM，CE－BEM）及 其 改 进 模 型［9］。KL－BEM实质上是多普勒功率谱的降秩分解，在基于 最 小 均 方 误 差 （Minimum mean square error，MSE）的意义上是最优的，但该方法依赖于信道的统计特性；P－BEM模型采用多项式插值逼近的方法，但该方法不是基于多普勒频移展开的，性能波动比较大；CE－BEM模型构造简单，但该方法存在严重的吉布斯（Gibbs）效应，近似误差较大。

通过分析各种BEM模型的优缺点，本文采用过采样 CE－BEM 模型［5］，基函数 可以表 示bq＝ej2πn（q－Q／2）／N／2，过 采 样 CE－BEM 模 型 作 为 改 进 CE－BEM模型的一种，它在CE－BEM模型的基础上通过提高采样精度，能够明显降低CE－BEM模型的展开误差。该模型构造相对简单，且对多普勒频移不敏感，对快时变信道环境有很强的适应性。由于讨论算法仅基于一个OFDM符号，可以省略符号下标k，把（2）代入（1）式可得到：

1.3 现有快时变信道估计方法

目前针对快时变信道的估计方法主要有LS算法和LMMSE算法。LS算法由于其计算简单，且不需要任何信道状态和噪声的统计信息，在实际中应用最为广泛。然而本文中对于快速时变信道，由于ICI的存在，接收导频信号不仅仅受到系统噪声的影响，还受到其他非导频子载波的干扰。随着干扰的增大LS方法性能逐渐恶化，出现了明显的吉布斯效应。针对LS算法的不足，如何提高信道估计的精度，降低误差平底成为我们要解决的关键问题，因此一种适用于时变信道环境的LMMSE算法被提出［10］。

两种算法具体描述如下：令Θ为一个线性滤波器，待估计的BEM系数为，满足＝Θy（ρ），通过最小化BEM系数c的方法，针对公式（4）得出的数据模型，可得出LS估计的表达式为：

LMMSE估计的表达式如下：

LMMSE方法对比LS算法能够有效提高信道估计的性能。但该方法是基于统计和先验信息的基础上，并假设信道参数与噪声和数据符合互不相关，在实际中这些都是很难成立的，尤其在信道严重恶化的快速时变信道环境下，子载波间的正交性遭到破坏，信道抽头与噪声和数据符号不相关难以保持，这导致该算法在实际应用中受到一定的限制。

2 基于迭代加权最小二乘的基扩展模型信道估计算法

2.1 改进算法的导频数据模型

快速时变信道往往采用导频辅助的方法，到目前为止，如何设置快时变信道环境下的最优导频仍然是未知的，为了跟踪信道各径在一个符号间隔内的变化，本文采用文献［10］给出的导频簇的导频设计方法，假设系统有M个导频簇，每一组的长度为dρ，记作，m＝0，1，…，M－1，如图2所示，对于第m个导频簇，数据符合也可以组成一个符号向量。此外，由于ICI的影响，导频能量扩展到整个频带上，接收端需要决定利用哪部分来估计信道，观测数据的选取将有利于提高信道的估计性能。

图2 OFDM导频结构Fig.2 OFDM pilot structure

由于信道的时变性，信道响应矩阵近似带状结构，假设Aq是严格带限的，即仅在2R＋1个对角线上非零，根据这一特征，可以得到由导频向量s（ρ）确定的 最 大 接 收 数 据 向 量 为 y（ρ）m ＝［［y］ρm＋R，…，［y］ρm＋dρ－R－1］T。由上一 节 中 式 （4）可以得出：

实际中由于Aq不是严格带限的［11］，因此ξd项通常不为0，这给信道估计带来了新的困难，把变量h代入上式，可以得到：

其中，

2.2 改进的迭代加权最小二乘估计算法

针对LS算法和LMMSE算法的不足，本文提出了一种基于基扩展模型的迭代加权的最小二乘方法（简称IWLS算法），该算法将信道矩阵h看作一个确定性的变量，将ICI干扰和噪声看作一个干扰量ξ，然后通过该干扰量的协方差Rξ对LS估值滤波器进行加权，最后通过迭代获得较为精确的估计值。具体步骤如下：

1）计算干扰量的协方差。

这里将信道矩阵h视为一个确定性的变量，并将式（11）中的噪声干扰量ξn和数据干扰量ξd相加作为一个统一的干扰量ξ，然后通过协方差定义计算干扰量的协方差Rξ。由于噪声干扰量ξn和数据干扰量ξd相互独立，互协方差为0，干扰协方差Rξ可以通过分别计算出对应的自协方差得到。

2）对LS估值滤波器加权。

将（9）中的接收数据模型代入式（5）中求出LS的估值滤波，并将之前得出的干扰量协方差Rξ求出后对其进行加权。由此可以得出本文IWLS算法估计值滤波器的递归表达式：

其中κ表示迭代次数。

3）迭代过程初始化。

3 仿真验证

为了验证本文提出的信道估计方法的有效性和实用性，在OFDM系统环境下进行仿真验证。设置OFDM系统的仿真参数如下：子载波个数N＝256，循环前缀CP＝16，导频数目占整个子载波数目的1／4，如图2所示，采用插入均匀导频簇的方式，每组导频数目为dρ＝8，BEM模型基函数个数Q＝4，时变信道多径数目L＝5，信道的抽头系数为满足Jakes多普勒频谱、延时功率服从指数分布的复高斯随机过程。采用归一化的多普勒频移fD来描述时变信道的多普勒扩展。仿真结果为500次蒙特卡罗仿真实验得到的信道估计MSE，定义如下：

在采用本文仿真参数的前提下，图3给出了几种常见的BEM模型的误差性能比较，为评价模型参数与实际信道参数不匹配造成的影响，实验在归一化多普勒频移fD从0变化到0.5的条件下，得到几种模型的 MSE，P－BEM和KL－BEM模型误差性能总体上虽然较优，但其受多普勒频移的影响较为严重，且构造不如CE－BEM简单；CE－BEM其误差较高，实际应用中难以满足估计性能的要求。综合分析几种模型的优缺点，本文采用的过采样CEBEM模型可以获得远远优于CE－BEM模型的误差性能，且构造较为简单，受多普勒频移的影响较小，能够很好地拟合高速移动信道环境下的快时变特性。

图3 BEM模型误差性能比较Fig.3 BEM model error performance comparison

图4、图5分别给出了归一化多普勒频移fD为0.2和0.5条件下，本文所提的IWLS算法、LS算法与LMMSE算法的MSE性能随信噪比变化的比较曲线。对比可以看出，LS算法始终存在较高的误差平底，尤其在高信噪比的条件下，性能明显劣与其他两种方法。当多普勒频移较小时，LMMSE算法优于另外两种算法，但IWLS算法由于克服了LS算法较高误差平底的缺陷，性能上已接近LMMSE算法；当多普勒频移较大时，LMMSE算法受影响较大，性能出现恶化，而IWLS算法依然保持较为理想的估计性能，明显降低了LS算法的误差平底。因此，在快时变信道下，IWLS算法具有更强的鲁棒性。

图4 归一化多普勒频移fD＝0.2时MSEFig.4 MSE when normalized Doppler shift fD＝0.2

图5 归一化多普勒频移fD＝0.5时MSEFig.5 MSE when normalized Doppler shift fD＝0.5

图6、图7分别给出在SNR为10dB和40dB时，归一化多普勒频移fD在0到1之间变化时，三种算法MSE性能比较。对比可以看出：随着多普勒频移的增大，三种算法性能都受到不同程度的影响，LS在多普勒频移较大时，存在较高的误差平底；由于LMMSE依赖于信道统计状态信息，可以看出其性能受多普勒频移影响最为严重；IWLS算法不依赖于统计信道信息，对比可以看出，其MSE性能受多普勒频移影响最小，当多普勒频移较大时，其性能优于LMMSE算法，在信噪比较高时，这种现象尤为明显。

图6 SNR＝10dB时随多普勒频移变化的MSEFig.6 MSE changes with Doppler shift when SNR＝10dB

图7 SNR＝40dB时随多普勒频移变化的MSEFig.7 MSE changes with Doppler shift when SNR＝40dB

4 结论

本文提出了一种基于迭代加权最小二乘的基扩展模型信道估计算法。首先通过一种过采样的CE－BEM模型拟合信道的快时变特性；然后把信道看作一个确定性的变量，在最小二乘估计算法的基础上利用噪声和ICI干扰量的协方差对最小二乘估计器进行加权迭代，从而获取更为精确的信道估计值。该方法在不需要信道统计先验信息的前提下能够获取较为准确的信道状态。仿真结果表明，该方法能有效降低信道估计的误差平底，且受多普勒频移影响较小，能有效抵抗快时变信道环境带来的吉布斯效应。但该方法在实际也存在当OFDM系统子载波数较多时运算量较大的问题，因此如何在实际中降低计算复杂度是下一步研究的重点。

［1］Thoen S，Perre L V d，M Engles.Modeling the channel time－variance for fixed wireless communications［J］.IEEE Commun.Lett.，2002，6（8）：331－333.

［2］Giannakis G B，Tepedelenlioglu C.Basis expansion models and diversity techniques for blind identification and equalization of time varying channels［J］.Proc.IEEE，1998，86：1969－1986.

［3］Ma Xiaoli，Gannakis G B，Ohno S.Optimal training for block transmissions over doubly selective wireless fading channels［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（5）：1351－1366.

［4］Zijian Tang，Rocco Claudio Cannizzaro，Geert Leus，Paolo Banelli.Pilot－assisted time－varying channel estimation for OFDM systems［J］.IEEE Transaction on signal processing，2007，55（5）：2226－2238.

［5］Barhumi I，Leus G，Moonen M.Estimation and direct equalization of doubly selective channels［J］.Eurasip Journal on Applied Signal Processing，2006，189－98.

［6］Visintin M，Karhuen－Loéve expansion of a fast Rayleigh fading process［J］.IEEE Electron.Lett.，1996，32（8）：1712－1713.

［7］Tomasni S，Gorokhov A，Yang H，Iterative interference cancellation and channel estimation for mobile 0FDM［J］.IEEE Transactions on wireless Communications，2005，4：238－245.

［8］M K Tsatsanis，G B Giannakis.Modeling and equaliza－tion of rapidly fading channels ［J］.International Journal of Adaptive Control and Signal Processing，1996，10：159－176.

［9］Cui T，Tellambura C，Wu Y.Low－complexity pilot－aided channel estimation for OFDM systems over doubly－selective channels［C］／／IEEE International Conference on Communications.［C］.Seoul，Korea：ICC，2005：1980－1984.

［10］Rocco Claudio Cannizzaro，Paolo Banelli，Geert Leus.Adaptive Channel estimation for OFDM systems with doppler spread［J］.IEEE workshop on signal processing advances in wireless Communications，2006，8（6）：3597－3607.

［11］Qi Jiang，Speidel J，Zhao Chunming.Pilot－Assisted OFDM channel estimation and ICI cancellation for double selective channel［C］／／IEEE 2007Global Telecommunications Conference.Washington，DC：IEEE，2007：4150－4154.