引导学生用“数学的方式”学数学

【编者按】2013年10月24日至27日，江苏省“星海杯·教海探航”征文颁奖大会暨首届“苏派”教学国际研讨会在苏州工业园区星海小学举行。颁奖大会期间，分语文、数学、英语、体育、音乐5个学科举行了主题为“为儿童的生长而教”的教学观摩活动，邀请了苏派名师和全国著名特级教师为与会教师做了课堂教学展示和讨论。本期《课例评析》栏目，我们为大家呈现的是苏派名师许卫兵老师的《分数的初步认识》和全国著名特级教师林良富老师的《分数的意义》，希望两篇课例及其思考能给您带来一些启迪。

【设计理念】

学习方式的变革是当前课程改革的重点之一，对“学习方式”的理解不能只局限在自主、合作、探究等形式特征上，还要有“学科”视角。在数学课堂上，如何让学生用“数学的方式”学数学呢？我以为，数学本身是抽象的、逻辑的、理性的、系统的、思辨的……（当然，并不排除形象、直观、感性，恰恰相反，就小学数学教学而言，往往形象、直观、感性的特征更明，效用更大）。不同的数学知识都会程度不等地对上述特征有所表现，挖掘数学知识内在的“数学内涵”并和学生的学习现实有效地结合起来，可以让数学学习有更好的“数学味道”。

本课是小学阶段第一次认识分数，在数系中，整数、小数、分数都属于“数”。当我们从系统的角度来思考分数的初步认识时，就自然会想到：是否有一根“红线”能贯通所有的“数”呢？我想到了数学大师华罗庚的话：“数起源于数。”的确，以单位“1”为标准量度量，结果如果满了若干个单位“1”，即可用整数表示；如果不满一个单位“1”，即可用真分数来表示；如果超过了一个或几个单位“1”，剩余的又不再满一个单位“1”，此时可以用假分数或带分数来表示。也就是说：整数是1的“积”，而分数是1的“分”。这样的理解，能将整数与分数很好地勾连，体现出了数学的严谨逻辑和整体结构。

当然，从学生学习的基础来看，他们此前对数的认识都仅限于自然数（整数），认识逻辑是：有一个“东西”（如实物、图形、一米长度等），记为“1”，几个这样的“1”记为“几”。相对说来，这种由“1”到“几”的递增思维几乎进入了自动化的阶段，而分数的认识，需要建立的是将“1”均分到“几分之一”反向思考。三年级学生需要突破原有的思维框架，完成新的建构。

从教学的角度来看，三年级学生对分数的感知也并非一张白纸。有些学生在日常生活中听到、看到过分数，甚至有意无意地使用过分数。故而，教学要贴近学生的知识基础和生活经验，通过有关联性的学习素材和研究主题，帮助他们把握分数的本质，建立整体思维，渗透模型思想。课堂力求简约而又深刻，数学而又儿童，“好吃”又有“营养”。

【教学目标】

1.初步认识分数，会读、写分数，能用分数表示出一个图形的几分之一。

2.经历“举例——解释——建模——应用”的学习过程，了解“先分后数”的分数实质，建立整数和分数之间的联系，感悟数学的学习方式，渗透模型思想。

3.在富有情趣又层层推进的学习中，感受数学的逻辑魅力和思维力量，激发良好的学习热情。

【教学过程与意图】

一、复习，引入

1.说“整数”。

学数学离不开和“数”打交道。（屏幕上出现一个大大的字——“数”）关于“数”，数学家华罗庚爷爷说了这样一句话：“数起源于数。”（屏幕显示华罗庚的照片和文字：数起源于数。）

来，读一读。（由于没加拼音，不少学生把最后一个字读错了。教师笑而不语，给两个“数”字分别加上拼音，让学生再读：“数（shù）起源于数（shǔ）。”）

同学们会数数吗？请看屏幕。

屏幕上依此出现1个苹果、2个苹果、4个苹果，1米长度、3米长度，学生一边数着，屏幕上就同步出示相应的数。

正如华罗庚爷爷所言，我们这一数，就数出了1、2、3、4这些数了（板书1、2、3、4）。这样的数还有吗？再说几个。（接着板书5、6、7……）这样的数通常用来表示物体的个数，在数学上我们叫做“整数”。（板书）

2.说“分数”。

历史上，人们也曾像我们今天这样，通过数一数来表示数。当然，数的“大家庭”的成员也不少，除了整数，还有其他的数。今天，我们一起来学习一种新的数——“分数”。（板书）

【对每一节数学课来说，寻找学习的起点很重要。本课开始倒回到“整数”的计数、读写，生动、具体、形象，低起点，难度小，但是学生参与广、热情高。不但有趣、幽默，也有浓浓的数学味儿。站到数系的高度来引出“分数”，可以打开学生的学习视野，拓展其思维空间，也为本课后半段的整体建构奠定了基础。】

二、探究，新授

当“分数”这两个字出现在你的眼前时，老师想你们脑子里一定有很多疑问，（屏幕上显示很多的“？”）都有些什么问题呢？

（学生发言后，教师提示解决问题的方法有很多种，从生活中学习就是很好的一条路。）

1.研究“ ”。

在日常生活中，同学们见过或听到过分数吗？你能不能说出一个分数？

（学生举例后，教师在黑板上写下“二分之一”。）

（1）说一说。你能联系生活，举个例子说说什么是“二分之一”吗？

（学生可能联想到切一个苹果、一块蛋糕等，讲述时，教师紧扣“怎么切？”“切成几份？”“哪一部分是它的二分之一？”等关键点追问，并在黑板上画下平均分和不平均分的图示辅助学生的讲述，同时，板书“平均分”“共2份”“其中的1份”。）

概括：通过大家的举例，可以看出一样东西，只要平均分成2份，其中的1份就是它的二分之一。

（2）折一折。拿出长方形纸，想办法找出它的二分之一。

（学生完成操作后，交流折法，屏幕动态呈现：左右对折，上下对折，斜着折）

思考：这三种表示“二分之一”的方法，看起来并不相同，共同点是什么？

再次回顾板书：平均分→共2份→其中的1份。

（3）写一写。刚才我们说了“二分之一”，也动手做了“二分之一”，但是“二分之一”这个分数怎么写呢？你能创造出一种写法，把我们刚才说的、做的这些注意点都包含进去吗？

学生集体创造写法，然后交流不同的写法是如何体现“平均分”“共2份”“其中的1份”的，最后统一写法。介绍分数线、分子、分母。再在纸上规范地写下“ ”。

（4）拓一拓。表示这张纸的二分之一，屏幕上的三种方法其实是有联系的，也可以看成一种。动画演示三根折痕相交的中心点，然后一根横线绕着中心点旋转，变化成左右对折、上下对折、对角线斜着折、任意角度梯形分割等多种平均分成2份的图示。

凸显：只要平均分成2份，其中的1份就是它的 。

【 虽然是一个分数，表示分的“结果”，但每个分数都是“过程”和“结果”的统一。结果的意义就在过程之中。因此，本环节注重让学生联系日常生活经验，尝试着用自己的语言来讲述 的产生过程，从生活的、直观的、朴素的理解中提取分数的本质内涵。在学生对分数的感觉逐步加强后，再通过创造写法来凸显分数的本质，使得分数的形式特征和内在意义实现了有机统一，有因有果，有理有据，形神兼备，形象融合抽象，感性伴着理性，教学的过程就丰满了，学生的认识也更加清晰了。】

2.联想“ ”。

观看老师操作“左右对折”产生 后，再对折一次。打开后数一数，平均分成了几份？其中的1份是多少？为什么？

指明：平均分，共4份，其中的1份。

四分之一怎么写就能把这些意思都包含进去呢？试着写一写。

每个数都有大小，分数也不例外，对照两个分数的图形（见下左图），说一说大小关系。

3.类推“ ”。

将长方形纸对折三次，其中的1份可以用多少来表示？（屏幕显示图形，并写上分数）

对照表示 和 的图形（见上右图），说一说大小关系。你还能想出一个比 小的分数吗？

尝试解释：为什么分子是1，分母越大时分数就越小了？（比如，一张纸，平均分的份数越多，每一份就越小；一块蛋糕，吃的人越多，每人分到的就越小；一间教室，学生越多，每个人的空间就越小。）

【郑毓信教授说，真正的数学学习都存在着一个对教师组织下所学内容的“理解”或“消化”过程。这里的“理解”并非只是指弄清楚教师的“本意”，而首先是指学习者必须依据自身已有的知识和经验去对教师的话语做出“解释”，使其对他们自身来说是有意义的；这里的“消化”则是学生把新的学习内容纳入已有的认知框架，使其成为他们整个结构的有机组成部分。对三年级学生而言，图像、直观、生活化的理解是数学学习的重要支撑， 和 的学习与 因学材（一张长方形纸）相同而连成一体，因思路相同而顺理成“章”，简约，凝练，丰富而深刻。】

三、深化，巩固

1.用分数表示涂色部分。

动态呈现每个图形（如上图）从整体到均分再到涂色的过程，让学生边数份数边写分数。最后一幅图从不平均分为2份→添加两根虚线引申出 。

2.寻找联系。

回忆华罗庚爷爷的话——“数起源于数”，分数和“数”（shǔ）有关联吗？刚才写分数的过程中，你们数了吗，数了什么？（数的是份数——平均分的份数、涂色的份数）

因为份数是平均分后产生的，所以也有人说，分数就是先“分”再“数”的数。

3.整体建构。

（1）观看月饼图。先把1个月饼叠加，1个、3个、4个，得到更多整数。再把1个月饼平均分为2份、4份、6份，用分数表示其中的1份。

（2）观察米尺图。从1米到3米，得到整数。如果想得到分数，怎么办呢？均分1米，分别得到 、 、 这三个分数，并比较大小。

（4）发挥想象，尝试为分数“ ”画一幅图。学生画完后交流。教师出示“冰山一角”图（如右图），介绍：冰山露在海面上的部分通常只占整座冰山的 。

【一个“数”（shǔ）字，将分数和整数紧密地联系了起来，将动作、过程、变化、意义等串联起来。学生感悟到的是数学的整体、联系、逻辑，而不是孤独的分数。此外，分数和整数一样，每一个分数都具有模型意义，即每个分数都有丰富多样的表现形式，让学生尝试为 画图，可以将这种丰富多样性展示出来，凸显模型思想。尽管学生想到的大多是均分一个长方形、一个圆形、一根线段等，“冰山一角”为均分一个整体的单位“1”（小学阶段第二次认识分数）做了很好的渗透。使得整节课前伸后展，大气又开阔，数学又儿童。】

四、总结，激疑

让学生回顾本节课，思考：最大的收获是什么？最棒的表现是什么？还对分数的哪些方面感兴趣？简要介绍分数的历史，结束全课。

【下课不是画句号。让学生总结收获，盘点得失，肯定自我，增强自信，带着更多的疑问走出课堂，走向课后的自主探究，是课堂教学的大境界。也只有这样，课堂教学的三维目标才能得到有效的落实。】

（作者单位：江苏省海安县城南实验小学）

思考：这三种表示“二分之一”的方法，看起来并不相同，共同点是什么？

再次回顾板书：平均分→共2份→其中的1份。

（3）写一写。刚才我们说了“二分之一”，也动手做了“二分之一”，但是“二分之一”这个分数怎么写呢？你能创造出一种写法，把我们刚才说的、做的这些注意点都包含进去吗？

学生集体创造写法，然后交流不同的写法是如何体现“平均分”“共2份”“其中的1份”的，最后统一写法。介绍分数线、分子、分母。再在纸上规范地写下“ ”。

（4）拓一拓。表示这张纸的二分之一，屏幕上的三种方法其实是有联系的，也可以看成一种。动画演示三根折痕相交的中心点，然后一根横线绕着中心点旋转，变化成左右对折、上下对折、对角线斜着折、任意角度梯形分割等多种平均分成2份的图示。

凸显：只要平均分成2份，其中的1份就是它的 。

【 虽然是一个分数，表示分的“结果”，但每个分数都是“过程”和“结果”的统一。结果的意义就在过程之中。因此，本环节注重让学生联系日常生活经验，尝试着用自己的语言来讲述 的产生过程，从生活的、直观的、朴素的理解中提取分数的本质内涵。在学生对分数的感觉逐步加强后，再通过创造写法来凸显分数的本质，使得分数的形式特征和内在意义实现了有机统一，有因有果，有理有据，形神兼备，形象融合抽象，感性伴着理性，教学的过程就丰满了，学生的认识也更加清晰了。】

2.联想“ ”。

观看老师操作“左右对折”产生 后，再对折一次。打开后数一数，平均分成了几份？其中的1份是多少？为什么？

指明：平均分，共4份，其中的1份。

四分之一怎么写就能把这些意思都包含进去呢？试着写一写。

每个数都有大小，分数也不例外，对照两个分数的图形（见下左图），说一说大小关系。

3.类推“ ”。

将长方形纸对折三次，其中的1份可以用多少来表示？（屏幕显示图形，并写上分数）

对照表示 和 的图形（见上右图），说一说大小关系。你还能想出一个比 小的分数吗？

尝试解释：为什么分子是1，分母越大时分数就越小了？（比如，一张纸，平均分的份数越多，每一份就越小；一块蛋糕，吃的人越多，每人分到的就越小；一间教室，学生越多，每个人的空间就越小。）

【郑毓信教授说，真正的数学学习都存在着一个对教师组织下所学内容的“理解”或“消化”过程。这里的“理解”并非只是指弄清楚教师的“本意”，而首先是指学习者必须依据自身已有的知识和经验去对教师的话语做出“解释”，使其对他们自身来说是有意义的；这里的“消化”则是学生把新的学习内容纳入已有的认知框架，使其成为他们整个结构的有机组成部分。对三年级学生而言，图像、直观、生活化的理解是数学学习的重要支撑， 和 的学习与 因学材（一张长方形纸）相同而连成一体，因思路相同而顺理成“章”，简约，凝练，丰富而深刻。】

三、深化，巩固

1.用分数表示涂色部分。

动态呈现每个图形（如上图）从整体到均分再到涂色的过程，让学生边数份数边写分数。最后一幅图从不平均分为2份→添加两根虚线引申出 。

2.寻找联系。

回忆华罗庚爷爷的话——“数起源于数”，分数和“数”（shǔ）有关联吗？刚才写分数的过程中，你们数了吗，数了什么？（数的是份数——平均分的份数、涂色的份数）

因为份数是平均分后产生的，所以也有人说，分数就是先“分”再“数”的数。

3.整体建构。

（1）观看月饼图。先把1个月饼叠加，1个、3个、4个，得到更多整数。再把1个月饼平均分为2份、4份、6份，用分数表示其中的1份。

（2）观察米尺图。从1米到3米，得到整数。如果想得到分数，怎么办呢？均分1米，分别得到 、 、 这三个分数，并比较大小。

（4）发挥想象，尝试为分数“ ”画一幅图。学生画完后交流。教师出示“冰山一角”图（如右图），介绍：冰山露在海面上的部分通常只占整座冰山的 。

【一个“数”（shǔ）字，将分数和整数紧密地联系了起来，将动作、过程、变化、意义等串联起来。学生感悟到的是数学的整体、联系、逻辑，而不是孤独的分数。此外，分数和整数一样，每一个分数都具有模型意义，即每个分数都有丰富多样的表现形式，让学生尝试为 画图，可以将这种丰富多样性展示出来，凸显模型思想。尽管学生想到的大多是均分一个长方形、一个圆形、一根线段等，“冰山一角”为均分一个整体的单位“1”（小学阶段第二次认识分数）做了很好的渗透。使得整节课前伸后展，大气又开阔，数学又儿童。】

四、总结，激疑

让学生回顾本节课，思考：最大的收获是什么？最棒的表现是什么？还对分数的哪些方面感兴趣？简要介绍分数的历史，结束全课。

【下课不是画句号。让学生总结收获，盘点得失，肯定自我，增强自信，带着更多的疑问走出课堂，走向课后的自主探究，是课堂教学的大境界。也只有这样，课堂教学的三维目标才能得到有效的落实。】

（作者单位：江苏省海安县城南实验小学）

思考：这三种表示“二分之一”的方法，看起来并不相同，共同点是什么？

再次回顾板书：平均分→共2份→其中的1份。

（3）写一写。刚才我们说了“二分之一”，也动手做了“二分之一”，但是“二分之一”这个分数怎么写呢？你能创造出一种写法，把我们刚才说的、做的这些注意点都包含进去吗？

学生集体创造写法，然后交流不同的写法是如何体现“平均分”“共2份”“其中的1份”的，最后统一写法。介绍分数线、分子、分母。再在纸上规范地写下“ ”。

（4）拓一拓。表示这张纸的二分之一，屏幕上的三种方法其实是有联系的，也可以看成一种。动画演示三根折痕相交的中心点，然后一根横线绕着中心点旋转，变化成左右对折、上下对折、对角线斜着折、任意角度梯形分割等多种平均分成2份的图示。

凸显：只要平均分成2份，其中的1份就是它的 。

【 虽然是一个分数，表示分的“结果”，但每个分数都是“过程”和“结果”的统一。结果的意义就在过程之中。因此，本环节注重让学生联系日常生活经验，尝试着用自己的语言来讲述 的产生过程，从生活的、直观的、朴素的理解中提取分数的本质内涵。在学生对分数的感觉逐步加强后，再通过创造写法来凸显分数的本质，使得分数的形式特征和内在意义实现了有机统一，有因有果，有理有据，形神兼备，形象融合抽象，感性伴着理性，教学的过程就丰满了，学生的认识也更加清晰了。】

2.联想“ ”。

观看老师操作“左右对折”产生 后，再对折一次。打开后数一数，平均分成了几份？其中的1份是多少？为什么？

指明：平均分，共4份，其中的1份。

四分之一怎么写就能把这些意思都包含进去呢？试着写一写。

每个数都有大小，分数也不例外，对照两个分数的图形（见下左图），说一说大小关系。

3.类推“ ”。

将长方形纸对折三次，其中的1份可以用多少来表示？（屏幕显示图形，并写上分数）

对照表示 和 的图形（见上右图），说一说大小关系。你还能想出一个比 小的分数吗？

尝试解释：为什么分子是1，分母越大时分数就越小了？（比如，一张纸，平均分的份数越多，每一份就越小；一块蛋糕，吃的人越多，每人分到的就越小；一间教室，学生越多，每个人的空间就越小。）

【郑毓信教授说，真正的数学学习都存在着一个对教师组织下所学内容的“理解”或“消化”过程。这里的“理解”并非只是指弄清楚教师的“本意”，而首先是指学习者必须依据自身已有的知识和经验去对教师的话语做出“解释”，使其对他们自身来说是有意义的；这里的“消化”则是学生把新的学习内容纳入已有的认知框架，使其成为他们整个结构的有机组成部分。对三年级学生而言，图像、直观、生活化的理解是数学学习的重要支撑， 和 的学习与 因学材（一张长方形纸）相同而连成一体，因思路相同而顺理成“章”，简约，凝练，丰富而深刻。】

三、深化，巩固

1.用分数表示涂色部分。

动态呈现每个图形（如上图）从整体到均分再到涂色的过程，让学生边数份数边写分数。最后一幅图从不平均分为2份→添加两根虚线引申出 。

2.寻找联系。

回忆华罗庚爷爷的话——“数起源于数”，分数和“数”（shǔ）有关联吗？刚才写分数的过程中，你们数了吗，数了什么？（数的是份数——平均分的份数、涂色的份数）

因为份数是平均分后产生的，所以也有人说，分数就是先“分”再“数”的数。

3.整体建构。

（1）观看月饼图。先把1个月饼叠加，1个、3个、4个，得到更多整数。再把1个月饼平均分为2份、4份、6份，用分数表示其中的1份。

（2）观察米尺图。从1米到3米，得到整数。如果想得到分数，怎么办呢？均分1米，分别得到 、 、 这三个分数，并比较大小。

（4）发挥想象，尝试为分数“ ”画一幅图。学生画完后交流。教师出示“冰山一角”图（如右图），介绍：冰山露在海面上的部分通常只占整座冰山的 。

【一个“数”（shǔ）字，将分数和整数紧密地联系了起来，将动作、过程、变化、意义等串联起来。学生感悟到的是数学的整体、联系、逻辑，而不是孤独的分数。此外，分数和整数一样，每一个分数都具有模型意义，即每个分数都有丰富多样的表现形式，让学生尝试为 画图，可以将这种丰富多样性展示出来，凸显模型思想。尽管学生想到的大多是均分一个长方形、一个圆形、一根线段等，“冰山一角”为均分一个整体的单位“1”（小学阶段第二次认识分数）做了很好的渗透。使得整节课前伸后展，大气又开阔，数学又儿童。】

四、总结，激疑

让学生回顾本节课，思考：最大的收获是什么？最棒的表现是什么？还对分数的哪些方面感兴趣？简要介绍分数的历史，结束全课。

【下课不是画句号。让学生总结收获，盘点得失，肯定自我，增强自信，带着更多的疑问走出课堂，走向课后的自主探究，是课堂教学的大境界。也只有这样，课堂教学的三维目标才能得到有效的落实。】

（作者单位：江苏省海安县城南实验小学）