基于学生差异与发展需要整体构建“意义”

林良富

【设计理念】

1.基于教材、学情与研究现状，提出自己的思考。

“分数的意义”是数意义的一次拓展，虽然各种版本的教材都采取了分段编排的原则，但真正实现对分数意义的深度理解需要一个漫长的过程。人教版五年级《分数的意义》一课，先呈现了5幅表示 的直观图示，意在让学生通过直观表征与语言表达，从“过程分数”的视角建立分数的概念；然后通过“分糖果”的活动，让学生体会分数的分子、分母的含义，进一步从抽象的角度理解分数的概念。由于分数的意义内涵丰富，常常被很多名师从不同的视角展开经典的演绎。我想：学生心目中的“分数”经过两年的自然生长能达到怎样一个层次呢？学生整体理解分数的意义需要经历怎样的数学化过程、积累哪些数学活动经验呢？分数的意义是否可以从整体建构的视角让学生展开学习？通过前测和相关教学实践研究，我找准了学生的现实起点，把握了学生的差异与知识自然增长的规律，在教学设计上大胆前置了学生的表征活动；基于学生发展的需要，从单元整体出发，铺设了更多元的概念生长点，让学生对概念的认识更丰满、更全面。

2.基于“过程分数”的理解，设计丰富的活动。

理解分数的意义，对小学生来说，第一个层次就是对过程的理解，教师应该通过“圈、均分、涂色、表达”这样一系列的活动体现作为过程的分数，以利于学生去构建他们心中的“过程分数”。为了体现这一原则，本节课设计了四次活动，让学生在活动中理解、感悟、优化、积累经验……真正体现“做数学”的过程。

3.基于学生理解水平的提升，精心设计大问题。

活动是一个载体，活动后的感知是一种表象或具象，如果概念学习仅仅停留在这一水平，对概念的理解只能处于表层。学生活动以后需要教师的大问题引领他们去思考具体表象后面的数学本质，将概念不断抽象化、符号化。

【教学目标】

1.借助学生的差异资源，在学生已有经验的基础上进一步认识分数，理解分数的意义。

2.理解单位“1”，理解分数单位。

3.沟通分数、单位“1”、整数之间的关系，能在数直线上表示分数，为后续学习积累经验。

【教学过程与意图】

一、基于学生差异，初步理解分数的意义

（一）基于学生经验，自主表征

1.关于分数，你已经知道了什么？请同学们静静想一想。

2.请同学们尝试用不同的方法表示出心中的 ，可以画图或用语言描述，鼓励与众不同的表示方法。

3.学生尝试表征，教师巡视指导并指派学生板演。

4.同桌相互交流：我是这样表示出 的。

【本环节主要是通过一个问题和一次独立表征 的尝试活动，唤醒每一个学生对分数意义个性理解的经验基础和认知基础，让学生把经验通过静思默想、语言或图画展现出来，为课堂提供多元、丰富的学习资源。这样开放的设计，是基于对学生前测数据的分析，是基于学生认知经验的自然生长，是基于学生对分数画图表征的超前现实基础。在前测中，有96.5%的学生能用一个物体、一个计量单位作单位“1”来准确地表示出自己喜欢的分数；有15%左右的学生能用几个中的一个来表示几分之一；还有5.5%的学生能用一些物体作单位“1”表示其中几个物体占这个整体的几分之一；只有3.5%左右的学生在独立画图表征分数的过程中有一点瑕疵。基于学生这样的认知基础，我认为：分数的产生可以安排在三年级初步认识时学习，而对分数的意义的学习则可以直奔主题，从学生的自主表征开始。从多次教学实践来看，这样的导入设计是真正从学生的最近发展区出发，学生的现实创新能力要高于教材，高于教师的经验预期。】

（二）唤醒学生的已有认知，理解一个物体的

1.整体展示下面几种学生作品：

一个苹果的 一个图形的

一条线段的 4个物体的

师：指着前3幅图，请你来说一说你是怎么表示出 的。

生（结合自己的图示表达）：把**平均分成4份，其中的1份就是它的 。

2.教师小结：一个苹果、一个图形、一条线段等我们都可以称为一个物体。（板书：一个物体）

3.师：刚才几位同学都正确地表示出了一个物体的 ，它们有没有相同的地方？（根据学生的回答板书：平均分成4份，表示这样的1份）

（三）基于生活经验与知识的自然增长，理解4个物体的

1.学生自主表达自己理解的 。

师：涂色的明明是一个圆，应该用1来表示，怎么可以用 来表示呢？

生1：4个圆中的1个，就是 。

生2：把4个圆平均分成4份，1份就是 。

生3：把4个圆看成一个整体，平均分成4份，其中的1份就是这个整体的 。

2.教师根据学生的回答不断补充板书，引导所有的学生规范表达，并形成如下板书：

把这个整体平均分成4份，其中的1份就是这个整体的 。

师：这里把4个圆看成了一个整体，（板书：一个整体）用椭圆来表示，用虚线表示平均分成的份数。这样的表示与前面的表示相比，最大的不同是什么？

【前测后的交流中，大部分学生认可几个中的一个就是几分之一，但学生是凭直觉和生活经验去理解的，并没有和规范的分数意义理解挂钩。在学生展示原有个性理解的基础上，如何把学生从直观的理解引向对概念本质的理解？这需要教师的点拨与适时的追问、质疑，引领学生进一步从直觉、直观走向作为“过程分数”的动态学习——把谁看成一个整体？怎样均分、涂色？如何用语言完整表达？本环节基于学生的差异资源，用一个好的问题指引学生去思考、去重构知识。通过本环节的学习，学生已经从直观、初步理性两个维度扩展了分数的意义，但还只是停留在具体的个例学习阶段，还属于纸上谈兵。】

二、经历二次表征，在思辨中深度理解“ ”与单位“1”

（一）在思辨中深度理解“ ”

1.自主表征一个整体的 。

请根据自己对 的理解，表示出下面各图的 。

学生涂色表示出8个五角星的 和12个圆的 ，同时请两位学生板演。

师：你是怎么表示出 的？这里明明是两个圆，应该用2来表示，怎么可以用 来表示呢？

2.在思辨中深度理解“ ”。

（1）你是怎样表示 的？两幅图有什么共同点？

小结：把一些东西看成一个整体，再把它平均分成4份，其中的1份就表示这个整体的 。

（2）老师糊涂了， 一会儿表示1个物体，一会儿表示2个物体，一会儿又表示3个物体，这是怎么回事？

生1：它们的个数不同。

生2：第一幅图的整体是4个物体，第二幅图的整体是8个物体，第三幅图的整体是12个物体，所以，三个 表示的物体的个数就不一样。

小结：一个整体表示的数量不同，它的 表示的物体的个数就不一样。

（二）理解单位“1”

1.我们用椭圆表示了一个整体，大家想想：椭圆里除了可以放1个物体、4个物体、8个物体、12个物体外，还可以表示哪些数量的物体？

生1：还可以表示20个物体。

生2：只要是4的倍数都可以。

生3：双数个物体就可以。

2.这个整体还可以表示更少或更小的数量吗？

生1：一个物体。

生2：半个物体也可以，只要平均分成4份，1份就是半个的 。（教师适当补充：半个物体平均分成4份，每份是这半个的 。）

追问：0.1米的 可以表示吗？

3.小结：这个神奇的整体，数学上还有一个更专业的名称——单位“1”。（板书：单位“1”）为什么加了个引号？从单位“1”的角度说说什么是 。

4.举例说说还可以把什么看成单位“1”。

【本环节是基于“关注每一个孩子，让每一个孩子自主参与、亲身经历学习的全过程”这一教学理念，在前一环节纸上谈兵的基础上，设计人人动手、动脑的第二次尝试，在尝试展示后从两个维度让学生明理：一是求同，让学生顺理成章地抽象出 的含义；二是求异，对一个整体的认识进行拓展，通过几个问题的追问，学生对 的认识与对单位“1”的认识越来越深刻、越来越接近概念的本质。这一环节中，既关注了单位“1”的不断变大，又兼顾了单位“1”的不断变小，还把单位“1”的变化与整体的 一一对应了起来，为学生后续学习分数乘法的意义积累了经验。】

三、在分一分、写一写的过程中，认识“分数单位”，理解分子、分母的含义

1.认识几分之几，揭示分数单位。

刚才的作品中，涂色部分我们用 来表示，空白部分又可以用哪个分数来表示呢？怎么想的？

师： 与 有怎样的关系？（生： 里面有3个 ）

师：表示其中1份的 就是 的分数单位。

2.填上合适的分数。说说你是怎么想的，有几个分数单位？

每块月饼是这盒月饼的

5块月饼是这盒月饼的

有同学用 表示，可以吗？

3.请你分一分，并写出几个不同的分数。

追问与质疑：都是把12个笑脸看成单位“1”，阴影部分都是4个笑脸，为什么可以用三个不同的分数（ 、 、 ）来表示？

在分数中，分母由谁来决定？分子又由谁来决定？

（板书：单位“1” ）

师：要准确表示一个分数，我们既要关注单位“1”是什么，还要关注平均分成了几份，表示了这样的几份。

4.说一说分数的意义。

（1）有一个分数，把单位“1”平均分成了100份，表示这样的99份，这个分数是（ ），它的分数单位是（ ），有（ ）个这样的分数单位。

（2） ，它表示什么意义？它的分数单位是（ ），有（ ）个这样的分数单位。你认为a可能是哪些数？

【从几分之一拓展到几分之几，是对原有学生素材的再一次利用，通过两个简单的问题，让学生从分数单位个数的累加组成分数的视角，进一步体验作为单位累加的动态分数。再通过分一分、填一填的活动，积累分子、分母的直观表象，在追问与质疑中，让学生明晰分子与分母的含义，并顺势进一步提升了分数意义的符号化与学生语言表达的水平。】

四、基于学生的发展，实现分数意义的整体理解

1.沟通单位“1”与整数、分数的关系。

（1）在（ ）里填上合适的数，并把它标在数直线上。

（2）反馈学生的成果。

（3）2个、3个长方形可以看成几个这样的单位“1”？在这条数直线上怎样表示出来？（课件演示数直线的叠加）

2.初步感知分数的多种表示形式。

课件出示下图，这个阴影部分可用什么分数来表示？怎么想的？在数直线上可以怎样来表示？

生1： 。

生2： 。

生3：1 。

师： 是什么意思？

生1：把两个长方形看成“1”，平均分成10份，表示这样的7份。

生2：我不同意，因为题目已经规定把一个长方形看做单位“1”了，所以不是 ，应该比“1”大。

生3：这幅图有7个 ，所以是 。

生4：这幅图，除了1个单位“1”，还在第2个单位“1”中表示了 ，所以是1 。

师： 在数直线上怎么表示？

3.小结与延伸。

学了这节课，你对分数又有了哪些新的认识？还有什么疑问吗？

延伸：同学们能否表示出5个小圆片的 ？

【作为分数意义的第一次深度建构，给予学生整体、全面、丰富的认识是非常有价值的。从分数单位的累加、单位“1”的累加两个维度拓展了学生的视野，让学生的原有认知得以打破与重建；基于分数意义的另一个视角（量的表示、分数与除法的关系），最后将“表示出5个圆片的 ”作为课的延伸，让学生带着问题离开课堂，激发他们探究的欲望。

整节课，基于学生的差异与现实基础，为学生搭建了一个开放的、自主的、以生为本的、凸显数学思辨的学习平台，让学生在个性表征、合作交流、多元碰撞、理性思辨、抽象概括、解释运用中，积累丰满的直观表象，形成概念的深度构建；基于学生的长远发展需要，我从作为过程的分数、分数单位累加的分数、作为量的分数，分数与整数的沟通及其在数直线上的表示等视角，设计活动与思辨，让学生整体建构意义，提高其学习与思辨的能力，同时为他们后续学习分数与除法的关系、真分数与假分数等预留了众多的生长点。】

（作者单位：浙江省宁波万里国际学校）

（一）在思辨中深度理解“ ”

1.自主表征一个整体的 。

请根据自己对 的理解，表示出下面各图的 。

学生涂色表示出8个五角星的 和12个圆的 ，同时请两位学生板演。

师：你是怎么表示出 的？这里明明是两个圆，应该用2来表示，怎么可以用 来表示呢？

2.在思辨中深度理解“ ”。

（1）你是怎样表示 的？两幅图有什么共同点？

小结：把一些东西看成一个整体，再把它平均分成4份，其中的1份就表示这个整体的 。

（2）老师糊涂了， 一会儿表示1个物体，一会儿表示2个物体，一会儿又表示3个物体，这是怎么回事？

生1：它们的个数不同。

生2：第一幅图的整体是4个物体，第二幅图的整体是8个物体，第三幅图的整体是12个物体，所以，三个 表示的物体的个数就不一样。

小结：一个整体表示的数量不同，它的 表示的物体的个数就不一样。

（二）理解单位“1”

1.我们用椭圆表示了一个整体，大家想想：椭圆里除了可以放1个物体、4个物体、8个物体、12个物体外，还可以表示哪些数量的物体？

生1：还可以表示20个物体。

生2：只要是4的倍数都可以。

生3：双数个物体就可以。

2.这个整体还可以表示更少或更小的数量吗？

生1：一个物体。

生2：半个物体也可以，只要平均分成4份，1份就是半个的 。（教师适当补充：半个物体平均分成4份，每份是这半个的 。）

追问：0.1米的 可以表示吗？

3.小结：这个神奇的整体，数学上还有一个更专业的名称——单位“1”。（板书：单位“1”）为什么加了个引号？从单位“1”的角度说说什么是 。

4.举例说说还可以把什么看成单位“1”。

【本环节是基于“关注每一个孩子，让每一个孩子自主参与、亲身经历学习的全过程”这一教学理念，在前一环节纸上谈兵的基础上，设计人人动手、动脑的第二次尝试，在尝试展示后从两个维度让学生明理：一是求同，让学生顺理成章地抽象出 的含义；二是求异，对一个整体的认识进行拓展，通过几个问题的追问，学生对 的认识与对单位“1”的认识越来越深刻、越来越接近概念的本质。这一环节中，既关注了单位“1”的不断变大，又兼顾了单位“1”的不断变小，还把单位“1”的变化与整体的 一一对应了起来，为学生后续学习分数乘法的意义积累了经验。】

三、在分一分、写一写的过程中，认识“分数单位”，理解分子、分母的含义

1.认识几分之几，揭示分数单位。

刚才的作品中，涂色部分我们用 来表示，空白部分又可以用哪个分数来表示呢？怎么想的？

师： 与 有怎样的关系？（生： 里面有3个 ）

师：表示其中1份的 就是 的分数单位。

2.填上合适的分数。说说你是怎么想的，有几个分数单位？

每块月饼是这盒月饼的

5块月饼是这盒月饼的

有同学用 表示，可以吗？

3.请你分一分，并写出几个不同的分数。

追问与质疑：都是把12个笑脸看成单位“1”，阴影部分都是4个笑脸，为什么可以用三个不同的分数（ 、 、 ）来表示？

在分数中，分母由谁来决定？分子又由谁来决定？

（板书：单位“1” ）

师：要准确表示一个分数，我们既要关注单位“1”是什么，还要关注平均分成了几份，表示了这样的几份。

4.说一说分数的意义。

（1）有一个分数，把单位“1”平均分成了100份，表示这样的99份，这个分数是（ ），它的分数单位是（ ），有（ ）个这样的分数单位。

（2） ，它表示什么意义？它的分数单位是（ ），有（ ）个这样的分数单位。你认为a可能是哪些数？

【从几分之一拓展到几分之几，是对原有学生素材的再一次利用，通过两个简单的问题，让学生从分数单位个数的累加组成分数的视角，进一步体验作为单位累加的动态分数。再通过分一分、填一填的活动，积累分子、分母的直观表象，在追问与质疑中，让学生明晰分子与分母的含义，并顺势进一步提升了分数意义的符号化与学生语言表达的水平。】

四、基于学生的发展，实现分数意义的整体理解

1.沟通单位“1”与整数、分数的关系。

（1）在（ ）里填上合适的数，并把它标在数直线上。

（2）反馈学生的成果。

（3）2个、3个长方形可以看成几个这样的单位“1”？在这条数直线上怎样表示出来？（课件演示数直线的叠加）

2.初步感知分数的多种表示形式。

课件出示下图，这个阴影部分可用什么分数来表示？怎么想的？在数直线上可以怎样来表示？

生1： 。

生2： 。

生3：1 。

师： 是什么意思？

生1：把两个长方形看成“1”，平均分成10份，表示这样的7份。

生2：我不同意，因为题目已经规定把一个长方形看做单位“1”了，所以不是 ，应该比“1”大。

生3：这幅图有7个 ，所以是 。

生4：这幅图，除了1个单位“1”，还在第2个单位“1”中表示了 ，所以是1 。

师： 在数直线上怎么表示？

3.小结与延伸。

学了这节课，你对分数又有了哪些新的认识？还有什么疑问吗？

延伸：同学们能否表示出5个小圆片的 ？

【作为分数意义的第一次深度建构，给予学生整体、全面、丰富的认识是非常有价值的。从分数单位的累加、单位“1”的累加两个维度拓展了学生的视野，让学生的原有认知得以打破与重建；基于分数意义的另一个视角（量的表示、分数与除法的关系），最后将“表示出5个圆片的 ”作为课的延伸，让学生带着问题离开课堂，激发他们探究的欲望。

整节课，基于学生的差异与现实基础，为学生搭建了一个开放的、自主的、以生为本的、凸显数学思辨的学习平台，让学生在个性表征、合作交流、多元碰撞、理性思辨、抽象概括、解释运用中，积累丰满的直观表象，形成概念的深度构建；基于学生的长远发展需要，我从作为过程的分数、分数单位累加的分数、作为量的分数，分数与整数的沟通及其在数直线上的表示等视角，设计活动与思辨，让学生整体建构意义，提高其学习与思辨的能力，同时为他们后续学习分数与除法的关系、真分数与假分数等预留了众多的生长点。】

（作者单位：浙江省宁波万里国际学校）

（一）在思辨中深度理解“ ”

1.自主表征一个整体的 。

请根据自己对 的理解，表示出下面各图的 。

学生涂色表示出8个五角星的 和12个圆的 ，同时请两位学生板演。

师：你是怎么表示出 的？这里明明是两个圆，应该用2来表示，怎么可以用 来表示呢？

2.在思辨中深度理解“ ”。

（1）你是怎样表示 的？两幅图有什么共同点？

小结：把一些东西看成一个整体，再把它平均分成4份，其中的1份就表示这个整体的 。

（2）老师糊涂了， 一会儿表示1个物体，一会儿表示2个物体，一会儿又表示3个物体，这是怎么回事？

生1：它们的个数不同。

生2：第一幅图的整体是4个物体，第二幅图的整体是8个物体，第三幅图的整体是12个物体，所以，三个 表示的物体的个数就不一样。

小结：一个整体表示的数量不同，它的 表示的物体的个数就不一样。

（二）理解单位“1”

1.我们用椭圆表示了一个整体，大家想想：椭圆里除了可以放1个物体、4个物体、8个物体、12个物体外，还可以表示哪些数量的物体？

生1：还可以表示20个物体。

生2：只要是4的倍数都可以。

生3：双数个物体就可以。

2.这个整体还可以表示更少或更小的数量吗？

生1：一个物体。

生2：半个物体也可以，只要平均分成4份，1份就是半个的 。（教师适当补充：半个物体平均分成4份，每份是这半个的 。）

追问：0.1米的 可以表示吗？

3.小结：这个神奇的整体，数学上还有一个更专业的名称——单位“1”。（板书：单位“1”）为什么加了个引号？从单位“1”的角度说说什么是 。

4.举例说说还可以把什么看成单位“1”。

【本环节是基于“关注每一个孩子，让每一个孩子自主参与、亲身经历学习的全过程”这一教学理念，在前一环节纸上谈兵的基础上，设计人人动手、动脑的第二次尝试，在尝试展示后从两个维度让学生明理：一是求同，让学生顺理成章地抽象出 的含义；二是求异，对一个整体的认识进行拓展，通过几个问题的追问，学生对 的认识与对单位“1”的认识越来越深刻、越来越接近概念的本质。这一环节中，既关注了单位“1”的不断变大，又兼顾了单位“1”的不断变小，还把单位“1”的变化与整体的 一一对应了起来，为学生后续学习分数乘法的意义积累了经验。】

三、在分一分、写一写的过程中，认识“分数单位”，理解分子、分母的含义

1.认识几分之几，揭示分数单位。

刚才的作品中，涂色部分我们用 来表示，空白部分又可以用哪个分数来表示呢？怎么想的？

师： 与 有怎样的关系？（生： 里面有3个 ）

师：表示其中1份的 就是 的分数单位。

2.填上合适的分数。说说你是怎么想的，有几个分数单位？

每块月饼是这盒月饼的

5块月饼是这盒月饼的

有同学用 表示，可以吗？

3.请你分一分，并写出几个不同的分数。

追问与质疑：都是把12个笑脸看成单位“1”，阴影部分都是4个笑脸，为什么可以用三个不同的分数（ 、 、 ）来表示？

在分数中，分母由谁来决定？分子又由谁来决定？

（板书：单位“1” ）

师：要准确表示一个分数，我们既要关注单位“1”是什么，还要关注平均分成了几份，表示了这样的几份。

4.说一说分数的意义。

（1）有一个分数，把单位“1”平均分成了100份，表示这样的99份，这个分数是（ ），它的分数单位是（ ），有（ ）个这样的分数单位。

（2） ，它表示什么意义？它的分数单位是（ ），有（ ）个这样的分数单位。你认为a可能是哪些数？

【从几分之一拓展到几分之几，是对原有学生素材的再一次利用，通过两个简单的问题，让学生从分数单位个数的累加组成分数的视角，进一步体验作为单位累加的动态分数。再通过分一分、填一填的活动，积累分子、分母的直观表象，在追问与质疑中，让学生明晰分子与分母的含义，并顺势进一步提升了分数意义的符号化与学生语言表达的水平。】

四、基于学生的发展，实现分数意义的整体理解

1.沟通单位“1”与整数、分数的关系。

（1）在（ ）里填上合适的数，并把它标在数直线上。

（2）反馈学生的成果。

（3）2个、3个长方形可以看成几个这样的单位“1”？在这条数直线上怎样表示出来？（课件演示数直线的叠加）

2.初步感知分数的多种表示形式。

课件出示下图，这个阴影部分可用什么分数来表示？怎么想的？在数直线上可以怎样来表示？

生1： 。

生2： 。

生3：1 。

师： 是什么意思？

生1：把两个长方形看成“1”，平均分成10份，表示这样的7份。

生2：我不同意，因为题目已经规定把一个长方形看做单位“1”了，所以不是 ，应该比“1”大。

生3：这幅图有7个 ，所以是 。

生4：这幅图，除了1个单位“1”，还在第2个单位“1”中表示了 ，所以是1 。

师： 在数直线上怎么表示？

3.小结与延伸。

学了这节课，你对分数又有了哪些新的认识？还有什么疑问吗？

延伸：同学们能否表示出5个小圆片的 ？

【作为分数意义的第一次深度建构，给予学生整体、全面、丰富的认识是非常有价值的。从分数单位的累加、单位“1”的累加两个维度拓展了学生的视野，让学生的原有认知得以打破与重建；基于分数意义的另一个视角（量的表示、分数与除法的关系），最后将“表示出5个圆片的 ”作为课的延伸，让学生带着问题离开课堂，激发他们探究的欲望。

整节课，基于学生的差异与现实基础，为学生搭建了一个开放的、自主的、以生为本的、凸显数学思辨的学习平台，让学生在个性表征、合作交流、多元碰撞、理性思辨、抽象概括、解释运用中，积累丰满的直观表象，形成概念的深度构建；基于学生的长远发展需要，我从作为过程的分数、分数单位累加的分数、作为量的分数，分数与整数的沟通及其在数直线上的表示等视角，设计活动与思辨，让学生整体建构意义，提高其学习与思辨的能力，同时为他们后续学习分数与除法的关系、真分数与假分数等预留了众多的生长点。】

（作者单位：浙江省宁波万里国际学校）