中学数学教学要注意培养学生的科学思维方式

黄文富

摘要：本文讨论了中学数学要培养学生的几种数学思维方式，包括归纳思想、函数思想、统计观念，类比思想及数学建模能力的培养等。

关键词：中学数学教学；数学思维方式；归纳；类比

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）10-0075-03

数学的思维方式是一种科学的思维方式，培养学生具有科学的思维方式将使学生终身受益。

什么是数学的思维方式？观察客观世界的现象，抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型，进行探索，通过直觉判断或归纳推理、类比推理做出猜测，然后进行深入分析和逻辑推理，揭示事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序，这就是数学思维方式。

中学数学教学要尽量按照“观察→实验→抽象→探索→猜测→分析→论证→应用”来设计教学内容，使学生在学习知识的同时，受到思维方式的熏陶，日积月累地培养学生的思维方式，提高学生素质。

一、培养学生的归纳思想

归纳是从特殊的、具体的认识推进到一般的、抽象的认识的一种思维方式，它是一种常用的有效的思维方式，也是发现数学结论的一种方法。

归纳作为一种方法，首先，通过观察特例发现某此相似性（共性或一般规律）；然后，把相似性推广为明确的一般命题（猜想）；最后，对其进行检验，即进一步考察其他特例，如果对所有考察对象的特例，这一猜想都是正确的，我们对猜想的信任程度就增强了，每验证一次，都会对它的正确性增加一份信念，而如果出现了不正确的情况，我们就应对原来的猜想进行改进甚至放弃它。

归纳是从特殊到一般的推理，归纳推理所得的结论仅仅是一个猜想，不一定可靠，但它却具有发现的功能。

例1.观察下列各个和式的值：

1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，……找出它们的一般规律，并用适当的数学公式表示出来。

分析：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……

由此猜想：1+3+5+7+……（2n-1）=n2

要检验结论的正确性，可以用数学归纳法来证明。

①当n=1时，显然成立。

②假设当n=k时，结论成立，即

1+3+5+7+……（2k-1）=k2

于是1+3+5+7+……（2k-1）+〔2（k+1）-1〕=k2+〔2（k+1）-1〕=k2+（2k+2-1）=k2+2k+1=（k+1）2

这就是说当n=k+1时，结论也成立。

由①②可知，结论对任意的自然数均成立。

二、培养学生的函数思想

现实中许多量之间有依赖关系，一个量变化时，另一个量随着起变化，函数是研究各个量之间确定依赖关系的数学模型。

例2.先在瓶中加入一些水，然后向瓶中依次投入玻璃球使其浸入水中，每次投入玻璃球后，用刻度尺测量瓶中水面的高度，

在坐标纸上画出水面高度与玻璃球个数关系的散点图。

①实验中，要清楚哪些是主动变量、被动变量、常量？

②水面高度与玻璃球（浸入水中）个数有何关系？能根据散点图确定出反映此关系的表达方式吗？

③如果投入水中10个玻璃球，水面高度应是多少厘米？水面上升了多少厘米？投入多少个球可使水面高度达到30厘米？

④瓶子的形状，直径的大小，水位多少，玻璃球的大小对结果有何影响？

简要分析：此实验告诉我们水面高度是玻璃球个数的函数，这实验说明了在给水中投球的过程中两个变量（水面高度）与（玻璃球个数）之间的依赖关系，反映了水面高度随玻璃球个数的变化而变化的特征。

通过观测数据的分析，发现水面高度随着玻璃球数量的增加而增高，当瓶子是齐口时，水面高度与玻璃球数量之间的关系式是y=kx+b，常量k正是散点拟合成的直线的斜率，常量b为玻璃瓶中原来的水面高度。

由此得出水面高度与玻璃球数量之间的关系与瓶子的形状有关，若瓶子不是齐口的，水面高度与玻璃球数量之间的关系就不一定是线性的，也不一定能确定出这种关系表达式，瓶子中原有水面高度、瓶子的直径大小、形状、玻璃球的大小，都将影响水面高度与玻璃球个数之间的关系。

三、培养学生的类比思想

类比是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。

例3.类比的一般形式是：

系统甲具有属性（或元素）a，b，c，d，具有关系k；

系统乙具有属性（或元素）a，b，c

系统乙可能具有属性（或元素）d及关系式k'，它们分别类似于甲中的d及k。

类比作为一种方法，表述如下：首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；然后，用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想。

两个系统可作类比的前提是，他们各自的部分之间在其可以清楚定义的一些关系上一致，因此，类比的关键是把两个系统之间的某种一致性（相似性）能确切地表述出来，也就是把关于对象在某些方面一致性的含糊认识清楚，这不同于比喻。

类比与归纳被称为合情推理，推理包括论证推理（演绎推理——亦称演绎法）与合情推理（归纳推理——亦归纳法、类比推理——亦称类比法），数学不仅要演绎推理，更需要合情推理，数学结论（定理、法则、公式……等）的发现论证对事物（或数学对象）的观察，然后再通过演绎推理，证明猜想正确或举出反例证明猜想错误，因此，结论的获得要经历合情推理—演绎推理的过程，合情推理的实质是“发现”，因而合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神。

例4.画一个平面三角形和一个空间四面体，仔细观察两种图形，找出二者之间的相似性，指出平面几何中的直角三角形、角平分线、三角形的内切圆、三角形的中线等概念在立体几何中的类似概念。

根据平面三角形的性质推测空间四面体的性质如下。

四、培养学生的数学建模能力

例5.建立教学模型的步骤与过程：

准备：了解问题的实际背景，明确建立模型的目的，掌握对象的各种信息，弄清对象的特征。

假设：根据实际对象的特性和建模的目的，对问题进行简化，并用精确语言做出假设。

建立：根据所做假设，利用适当的数学工具，建立各个量之间的等式或不等式关系，列出表格，画出图形或确定其他数学结构。

求解：利用数学方法求出模型的解（包括解方程、画图形、证明定理或逻辑运算、计算和技术等）。

分析：对模型的解进行数学上的分析，有时根据问题的性质、分析各个变量之间的依赖关系或稳定性态；有时根据所得结果做出数学上的预测；有时则给出数学上的最优决策或控制。

检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性。

应用：用所得模型解决更广泛的一类问题。

数学教学还需培养学生的统计能力，抽象思维能力，运用符号的能力，化归思想等，这里不一一表述，同时数学教学还要在课堂教学中注意渗透数学的严密性，抽象性和应用的广泛性，使学生在每节课堂教学中都得到科学思维方式的训练。

参考文献：

[1]丘维声.数学（基础版）[M]第一册.北京：高等教育出版社，2005.6.

[2]吕世虎，张定强.中等数学参与式教师培训教程[M].北京：首都师范大学出版社，2003，1.

[3]王光明.数学教学需要培养学生哪些数学思维[J].中学数学教学参考，2005，（11）.endprint

摘要：本文讨论了中学数学要培养学生的几种数学思维方式，包括归纳思想、函数思想、统计观念，类比思想及数学建模能力的培养等。

关键词：中学数学教学；数学思维方式；归纳；类比

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）10-0075-03

数学的思维方式是一种科学的思维方式，培养学生具有科学的思维方式将使学生终身受益。

什么是数学的思维方式？观察客观世界的现象，抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型，进行探索，通过直觉判断或归纳推理、类比推理做出猜测，然后进行深入分析和逻辑推理，揭示事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序，这就是数学思维方式。

中学数学教学要尽量按照“观察→实验→抽象→探索→猜测→分析→论证→应用”来设计教学内容，使学生在学习知识的同时，受到思维方式的熏陶，日积月累地培养学生的思维方式，提高学生素质。

一、培养学生的归纳思想

归纳是从特殊的、具体的认识推进到一般的、抽象的认识的一种思维方式，它是一种常用的有效的思维方式，也是发现数学结论的一种方法。

归纳作为一种方法，首先，通过观察特例发现某此相似性（共性或一般规律）；然后，把相似性推广为明确的一般命题（猜想）；最后，对其进行检验，即进一步考察其他特例，如果对所有考察对象的特例，这一猜想都是正确的，我们对猜想的信任程度就增强了，每验证一次，都会对它的正确性增加一份信念，而如果出现了不正确的情况，我们就应对原来的猜想进行改进甚至放弃它。

归纳是从特殊到一般的推理，归纳推理所得的结论仅仅是一个猜想，不一定可靠，但它却具有发现的功能。

例1.观察下列各个和式的值：

1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，……找出它们的一般规律，并用适当的数学公式表示出来。

分析：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……

由此猜想：1+3+5+7+……（2n-1）=n2

要检验结论的正确性，可以用数学归纳法来证明。

①当n=1时，显然成立。

②假设当n=k时，结论成立，即

1+3+5+7+……（2k-1）=k2

于是1+3+5+7+……（2k-1）+〔2（k+1）-1〕=k2+〔2（k+1）-1〕=k2+（2k+2-1）=k2+2k+1=（k+1）2

这就是说当n=k+1时，结论也成立。

由①②可知，结论对任意的自然数均成立。

二、培养学生的函数思想

现实中许多量之间有依赖关系，一个量变化时，另一个量随着起变化，函数是研究各个量之间确定依赖关系的数学模型。

例2.先在瓶中加入一些水，然后向瓶中依次投入玻璃球使其浸入水中，每次投入玻璃球后，用刻度尺测量瓶中水面的高度，

在坐标纸上画出水面高度与玻璃球个数关系的散点图。

①实验中，要清楚哪些是主动变量、被动变量、常量？

②水面高度与玻璃球（浸入水中）个数有何关系？能根据散点图确定出反映此关系的表达方式吗？

③如果投入水中10个玻璃球，水面高度应是多少厘米？水面上升了多少厘米？投入多少个球可使水面高度达到30厘米？

④瓶子的形状，直径的大小，水位多少，玻璃球的大小对结果有何影响？

简要分析：此实验告诉我们水面高度是玻璃球个数的函数，这实验说明了在给水中投球的过程中两个变量（水面高度）与（玻璃球个数）之间的依赖关系，反映了水面高度随玻璃球个数的变化而变化的特征。

通过观测数据的分析，发现水面高度随着玻璃球数量的增加而增高，当瓶子是齐口时，水面高度与玻璃球数量之间的关系式是y=kx+b，常量k正是散点拟合成的直线的斜率，常量b为玻璃瓶中原来的水面高度。

由此得出水面高度与玻璃球数量之间的关系与瓶子的形状有关，若瓶子不是齐口的，水面高度与玻璃球数量之间的关系就不一定是线性的，也不一定能确定出这种关系表达式，瓶子中原有水面高度、瓶子的直径大小、形状、玻璃球的大小，都将影响水面高度与玻璃球个数之间的关系。

三、培养学生的类比思想

类比是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。

例3.类比的一般形式是：

系统甲具有属性（或元素）a，b，c，d，具有关系k；

系统乙具有属性（或元素）a，b，c

系统乙可能具有属性（或元素）d及关系式k'，它们分别类似于甲中的d及k。

类比作为一种方法，表述如下：首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；然后，用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想。

两个系统可作类比的前提是，他们各自的部分之间在其可以清楚定义的一些关系上一致，因此，类比的关键是把两个系统之间的某种一致性（相似性）能确切地表述出来，也就是把关于对象在某些方面一致性的含糊认识清楚，这不同于比喻。

类比与归纳被称为合情推理，推理包括论证推理（演绎推理——亦称演绎法）与合情推理（归纳推理——亦归纳法、类比推理——亦称类比法），数学不仅要演绎推理，更需要合情推理，数学结论（定理、法则、公式……等）的发现论证对事物（或数学对象）的观察，然后再通过演绎推理，证明猜想正确或举出反例证明猜想错误，因此，结论的获得要经历合情推理—演绎推理的过程，合情推理的实质是“发现”，因而合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神。

例4.画一个平面三角形和一个空间四面体，仔细观察两种图形，找出二者之间的相似性，指出平面几何中的直角三角形、角平分线、三角形的内切圆、三角形的中线等概念在立体几何中的类似概念。

根据平面三角形的性质推测空间四面体的性质如下。

四、培养学生的数学建模能力

例5.建立教学模型的步骤与过程：

准备：了解问题的实际背景，明确建立模型的目的，掌握对象的各种信息，弄清对象的特征。

假设：根据实际对象的特性和建模的目的，对问题进行简化，并用精确语言做出假设。

建立：根据所做假设，利用适当的数学工具，建立各个量之间的等式或不等式关系，列出表格，画出图形或确定其他数学结构。

求解：利用数学方法求出模型的解（包括解方程、画图形、证明定理或逻辑运算、计算和技术等）。

分析：对模型的解进行数学上的分析，有时根据问题的性质、分析各个变量之间的依赖关系或稳定性态；有时根据所得结果做出数学上的预测；有时则给出数学上的最优决策或控制。

检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性。

应用：用所得模型解决更广泛的一类问题。

数学教学还需培养学生的统计能力，抽象思维能力，运用符号的能力，化归思想等，这里不一一表述，同时数学教学还要在课堂教学中注意渗透数学的严密性，抽象性和应用的广泛性，使学生在每节课堂教学中都得到科学思维方式的训练。

参考文献：

[1]丘维声.数学（基础版）[M]第一册.北京：高等教育出版社，2005.6.

[2]吕世虎，张定强.中等数学参与式教师培训教程[M].北京：首都师范大学出版社，2003，1.

[3]王光明.数学教学需要培养学生哪些数学思维[J].中学数学教学参考，2005，（11）.endprint

摘要：本文讨论了中学数学要培养学生的几种数学思维方式，包括归纳思想、函数思想、统计观念，类比思想及数学建模能力的培养等。

关键词：中学数学教学；数学思维方式；归纳；类比

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）10-0075-03

数学的思维方式是一种科学的思维方式，培养学生具有科学的思维方式将使学生终身受益。

什么是数学的思维方式？观察客观世界的现象，抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型，进行探索，通过直觉判断或归纳推理、类比推理做出猜测，然后进行深入分析和逻辑推理，揭示事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序，这就是数学思维方式。

中学数学教学要尽量按照“观察→实验→抽象→探索→猜测→分析→论证→应用”来设计教学内容，使学生在学习知识的同时，受到思维方式的熏陶，日积月累地培养学生的思维方式，提高学生素质。

一、培养学生的归纳思想

归纳是从特殊的、具体的认识推进到一般的、抽象的认识的一种思维方式，它是一种常用的有效的思维方式，也是发现数学结论的一种方法。

归纳作为一种方法，首先，通过观察特例发现某此相似性（共性或一般规律）；然后，把相似性推广为明确的一般命题（猜想）；最后，对其进行检验，即进一步考察其他特例，如果对所有考察对象的特例，这一猜想都是正确的，我们对猜想的信任程度就增强了，每验证一次，都会对它的正确性增加一份信念，而如果出现了不正确的情况，我们就应对原来的猜想进行改进甚至放弃它。

归纳是从特殊到一般的推理，归纳推理所得的结论仅仅是一个猜想，不一定可靠，但它却具有发现的功能。

例1.观察下列各个和式的值：

1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，……找出它们的一般规律，并用适当的数学公式表示出来。

分析：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……

由此猜想：1+3+5+7+……（2n-1）=n2

要检验结论的正确性，可以用数学归纳法来证明。

①当n=1时，显然成立。

②假设当n=k时，结论成立，即

1+3+5+7+……（2k-1）=k2

于是1+3+5+7+……（2k-1）+〔2（k+1）-1〕=k2+〔2（k+1）-1〕=k2+（2k+2-1）=k2+2k+1=（k+1）2

这就是说当n=k+1时，结论也成立。

由①②可知，结论对任意的自然数均成立。

二、培养学生的函数思想

现实中许多量之间有依赖关系，一个量变化时，另一个量随着起变化，函数是研究各个量之间确定依赖关系的数学模型。

例2.先在瓶中加入一些水，然后向瓶中依次投入玻璃球使其浸入水中，每次投入玻璃球后，用刻度尺测量瓶中水面的高度，

在坐标纸上画出水面高度与玻璃球个数关系的散点图。

①实验中，要清楚哪些是主动变量、被动变量、常量？

②水面高度与玻璃球（浸入水中）个数有何关系？能根据散点图确定出反映此关系的表达方式吗？

③如果投入水中10个玻璃球，水面高度应是多少厘米？水面上升了多少厘米？投入多少个球可使水面高度达到30厘米？

④瓶子的形状，直径的大小，水位多少，玻璃球的大小对结果有何影响？

简要分析：此实验告诉我们水面高度是玻璃球个数的函数，这实验说明了在给水中投球的过程中两个变量（水面高度）与（玻璃球个数）之间的依赖关系，反映了水面高度随玻璃球个数的变化而变化的特征。

通过观测数据的分析，发现水面高度随着玻璃球数量的增加而增高，当瓶子是齐口时，水面高度与玻璃球数量之间的关系式是y=kx+b，常量k正是散点拟合成的直线的斜率，常量b为玻璃瓶中原来的水面高度。

由此得出水面高度与玻璃球数量之间的关系与瓶子的形状有关，若瓶子不是齐口的，水面高度与玻璃球数量之间的关系就不一定是线性的，也不一定能确定出这种关系表达式，瓶子中原有水面高度、瓶子的直径大小、形状、玻璃球的大小，都将影响水面高度与玻璃球个数之间的关系。

三、培养学生的类比思想

类比是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。

例3.类比的一般形式是：

系统甲具有属性（或元素）a，b，c，d，具有关系k；

系统乙具有属性（或元素）a，b，c

系统乙可能具有属性（或元素）d及关系式k'，它们分别类似于甲中的d及k。

类比作为一种方法，表述如下：首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；然后，用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想。

两个系统可作类比的前提是，他们各自的部分之间在其可以清楚定义的一些关系上一致，因此，类比的关键是把两个系统之间的某种一致性（相似性）能确切地表述出来，也就是把关于对象在某些方面一致性的含糊认识清楚，这不同于比喻。

类比与归纳被称为合情推理，推理包括论证推理（演绎推理——亦称演绎法）与合情推理（归纳推理——亦归纳法、类比推理——亦称类比法），数学不仅要演绎推理，更需要合情推理，数学结论（定理、法则、公式……等）的发现论证对事物（或数学对象）的观察，然后再通过演绎推理，证明猜想正确或举出反例证明猜想错误，因此，结论的获得要经历合情推理—演绎推理的过程，合情推理的实质是“发现”，因而合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神。

例4.画一个平面三角形和一个空间四面体，仔细观察两种图形，找出二者之间的相似性，指出平面几何中的直角三角形、角平分线、三角形的内切圆、三角形的中线等概念在立体几何中的类似概念。

根据平面三角形的性质推测空间四面体的性质如下。

四、培养学生的数学建模能力

例5.建立教学模型的步骤与过程：

准备：了解问题的实际背景，明确建立模型的目的，掌握对象的各种信息，弄清对象的特征。

假设：根据实际对象的特性和建模的目的，对问题进行简化，并用精确语言做出假设。

建立：根据所做假设，利用适当的数学工具，建立各个量之间的等式或不等式关系，列出表格，画出图形或确定其他数学结构。

求解：利用数学方法求出模型的解（包括解方程、画图形、证明定理或逻辑运算、计算和技术等）。

分析：对模型的解进行数学上的分析，有时根据问题的性质、分析各个变量之间的依赖关系或稳定性态；有时根据所得结果做出数学上的预测；有时则给出数学上的最优决策或控制。

检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性。

应用：用所得模型解决更广泛的一类问题。

数学教学还需培养学生的统计能力，抽象思维能力，运用符号的能力，化归思想等，这里不一一表述，同时数学教学还要在课堂教学中注意渗透数学的严密性，抽象性和应用的广泛性，使学生在每节课堂教学中都得到科学思维方式的训练。

参考文献：

[1]丘维声.数学（基础版）[M]第一册.北京：高等教育出版社，2005.6.

[2]吕世虎，张定强.中等数学参与式教师培训教程[M].北京：首都师范大学出版社，2003，1.

[3]王光明.数学教学需要培养学生哪些数学思维[J].中学数学教学参考，2005，（11）.endprint