增进高中学生有效数学交流活动的基本方略

●蒋海瓯 (青田教师进修学校 浙江青田 323900)

增进高中学生有效数学交流活动的基本方略

●蒋海瓯 (青田教师进修学校 浙江青田 323900)

《普通高中数学课程标准(实验)》把“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”作为数学课程的基本理念之一，指出“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”;强调“教师应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与.既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探索与合作交流”;同时把“提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力”作为高中数学课程具体目标之一.因此增进学生的数学交流活动，是新课程改革的现实诉求，更是当今高中数学教学的努力追求!

1 数学交流的概念、实质、根本目的及教育价值

本文对“数学交流”的概念、实质、目的及价值作如下统一概述.

1.1 数学交流的概念

数学交流就是运用表达数学概念、关系、问题、方法、思想的“数学语言(文字、符号、图式)、数学表征(图表、图形、表格、模型)”，以“听、说、读、写、做”的方式，沟通、表达、分享和接受“数学共同体”成员之间彼此的观点、见解、思想和情感的一种数学学习方式，从而达到对数学知识的深刻理解和认知结构的良好构建，达成“共识、共享、共进”的良性循环，实现“通过交流更好地学习数学”和“学会更好的数学地交流”的双重效益.

1.2 数学交流的实质

数学交流是以促进数学理解和认知发展为指向的有关信息的传输和编码为基础，根据已有的信息建构内部心理表征，进而获得心理意义的过程.数学交流的实质：信息沟通、思想共享和意义生成.

1.3 数学交流的根本目的

数学交流的根本目的在于：促进学生的“数学认知”与“数学理解”，从而获取“学生通过交流更好地学习数学”和“学生学会更好的数学地交流”的双重效益.

1.4 数学交流的教育价值

数学交流能极好地强化和完善学生的数学理解和认知结构，有利于促进学生的创新能力和创造性思维的发展，有益于弥补应试教育带来的数学教学的严重缺陷，有助于推进学生心理素质和综合素养的全面发展.

2 增进高中学生有效数学交流活动的基本方略

2.1 学会数学表达，更会倾听思考，是引发有效数

学交流的基点

有效的数学交流是基于学习共同体成员准确的表述、丰富的畅想和大胆的诉说.学习共同体成员具有规范娴熟的数学表达能力、富有勤于思考和勇于想象的创造潜力、拥有善于倾听和敢于倾诉的学习功力，是引发有效数学交流的基础前提(基点).

世界著名的数学教育大家弗兰登塔尔有言：数学学习的过程就是要通过数学语言，用它特定的符号、词汇和句法去交流，去认识世界.事实上，数学交流是以“数学语言、数学表征”为载体，以“听、说、读、写”为方式，沟通、表达和接受数学观点、思想和情感的一种数学学习方式.具备精准、简约而熟练的数学语言“表达”与“互译”能力，是有效地开展数学交流活动的第一要素.

思考是交流的引擎，想象是交流的翅膀.数学交流的真正含义是：通过交流促进学生达到对数学知识的深刻理解和认知结构的良好构建.缺乏思考和想象的交流者只能是被动的听众和局外的看客，只会出现一些“低效”、“无效”乃至是“负效”的交往活动，只是呈现一些表皮性或表面化的“分组讨论、师生对话、互动交流”.而我们所追求的是“有效的交流”，就是通过数学交流活动，使数学学习更加“有效果、有效率、有效益”.

唯有认真倾听，方能有效倾诉.教师要着力引导学生养成“认真倾听，积极倾诉”的好习惯.首先“认真倾听”：耐心听完别人表达的内容，听懂别人发言的意思，把握他人表述的要点，理解他人阐述的观点;进而“积极倾诉”：既合理地评价别人的观点、意见与想法，又对他人发言中的错误、不足与过失，大胆质疑、补充与修正.学生间有了“倾听”与“倾诉”，自然就有了有效的数学交流.

案例1(方程求解生成果)已知双曲线C：过点P(1，1)的直线l与C只有一个公共点，求l的方程.(解答题)

教学设计(1)学会数学表达，萌发交流萌芽.先让学生思考“常规解法”，写出规范的数学表达，投影较为完整的学生表述，并让学生“诉说(倾诉)”求解思路，其他学生“洗耳恭听”(学会倾听)，为开启后续的讨论交流奠定基础.

投影当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=1，直线l与双曲线C只有一个公共点(1，0)，符合题设.

当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y－1=k(x－1)，代入双曲线方程得

当4－k2=0，即k=±2时，式(1)是一次方程，显然直线l与双曲线C只有一个公共点，从而直线l的方程为

综上所述，直线l共有4条，其方程为x－1=0，2x－y－1=0，2x+y－3=0，5x－2y－3=0.

说明数学交流可分为：数学知识的交流、数学体验的交流和解决问题的交流.学生精致的数学表达过程，是一种数学知识或数学解决问题的交流.这种源自于同龄人与学伴间的表述，极易引起同伴的共鸣，有助于促进信息沟通，思想共享，有望生成新的思考与交流.

(2)顺势探究思考，引发有效交流.教师引领学生进行反思，求新求异，倡导“倾听、剖析”他人观点，“倾诉、畅谈”自我所思，展开数学交流，推进意义生成.

思考交流1反思上述解题过程，你会有哪些新的收获?

旨在“引导解后反思，促进有效交流，把握求解实质”.

收获的成果

生1：该问题求解的常见错误是：由直线l与C只有一个公共点，知Δ=0，这样直线l只有1条了(常见的解题误区).

生2：该问题求解的关键是解方程(1)，需分一次与二次方程进行讨论.前者有解，其几何意义是直线l与双曲线C的渐近线平行;后者中的“Δ=0”，有2个相等的实数根，其几何意义是直线l与双曲线C相切.

通过思考交流，揭示问题实质，为快速破解打下基础.

思考交流2通过上述分析交流，你能得出本题简便的解法吗?

旨在“利用交流所得，实现解法创新，提升交流效应”.

收获的成果

生3：若一条直线与双曲线只有一个公共点，则这条直线要么与双曲线相切，要么与渐近线平行(仅此2种情形).

生4：本题只需先判定点的位置，便可快速求解.易判定点P在双曲线开口外且非渐近线上，则过点P与双曲线C有1个公共点的直线显然有4条，其中2条与渐近线平行，2条为切线.渐近线方程为2x±y=0，则直线l有2条为 y－1= ±2(x－1)，一条切线显然为x=1，只需求得另一切线(利用Δ=0)，问题就可完满解决(成就了创新的解法).

在本案例中，学会数学表达与倾听思考是引发数学交流的基础，而有效的数学交流既破解了思维误区，又生成了简便之法.

2.2 选择合适问题，选用合理形式，是引领有效数

学交流的起点

问题是数学的心脏.选择合适的问题是引领有效数学交流的逻辑起点.如果设计的问题不切合学习共同体成员的实际知识水准，或缺乏一定的思维含量或知识层次，就会使交流流于形式，甚至骤然间使交流活动付诸东流;问题材料的采撷、背景的选取、情景的创设、语言的表述、目标的设置、意境的蕴含、思维的蕴藏、知识的组合、文字的组织乃至题面的遣词造意，教师都要高屋建瓴，统筹安排，科学谋划，潜心布局，精心设问，力求把问题设计得具有一定的迷惑性与挑战性.

问题用形式来绽放.选用合理的形式是诱发有效数学交流的重要起源.教师要独具慧眼，匠心独运，依据不同的问题特点以及所追求的教学目的，巧妙地将问题设置为“选择题、填空题、解答题”或“选择说理题、填空说明题、解答引申拓展题”等多种形态;同时灵活地选用“划片交流、分组交流、同桌交流、自由交流、自主交流、师生交流、生生交流、生本交流、自我交流”等不同形式，着力拓宽数学交流的运行渠道和途径;教师更要重视采纳数学交流的不同运作走向和路径，力求避免重复单一而乏味的“师⇒生”向量式的“单向交流”，努力营造“师⇔生”互动式的“双向交流”，乃至步入“师⇔生，生⇔生”网络式的“多向交流”，力图使题型形态和交流形式多样化与开放化.

数学教育家波利亚认为：学习任何知识的最佳途径是学生自己去发现，因为这种发现，理解最深，也容易掌握其中的内在规律.我们要编拟适宜问题，采纳恰当形式，引发学生群体自觉地参与到数学交流之中，学会自主学习、自主探究、自主发现，从而主动建构知识，推动思维发展，促进能力提升.

案例2(小球放法起波澜)把形状大小完全相同的分别标有1，2，3的3个小球随机地放在编号分别是1，2，3，4的4个盒子中，则1号盒子内有球的不同放法有＿＿种.(填空题)

教学情景“精巧的问题，精明的设问”即刻引领学生探究的兴致.而求解答案的不尽相同，便引发了一场热烈的“争议”乃至激烈的“争辩”.邻桌间或自主地交流、或自发地探讨、或彼此阐述求解思路、或因不同的见解而彼此质疑，其情境令人振奋!

师(恰时发问)：请大家说出心中真实的想法与真正的思考?

由此开启了师生、生生间的交流与讨论，呈现各抒己见的生动局面.

生1(先下手为强)：先从3个球中任取一个放在1号盒子内(先保证1号盒子内有球)，这样其余2个球可任意放，得种(因“重复”计数而犯错).

生2(折半扣除)：以上解法会造成“重复”，应折半扣除，只有24种(因折半遭致新的“遗漏”而失误).

生3(套用隔板)：由“隔板法”，得 C25=10种(由“形状大小完全相同”视“3个球完全相同”而致误).

生4(抓特殊元素(1号球)，分类求解)：按1号球放“1号盒、2号盒、3号盒、4号盒”，分4类求解.第1类：另2个球可随意放，有种;第2类：1号盒又分“有1个球或有2个球”2种情形，有种;第3类、第4类与第2类相同.因此共有种.

生5(抓特殊位置(1号盒)，分类求解)：按1号盒内放“1个球、2个球、3个球”，分3类求解，有

生6(正难则反，排除求解)：3个球任意放有43种，而其中1号盒子无球的有33种，故有43－33=37种.

生7(追根究底)：无庸置疑37种为正确答案.C13C14C14=48种多了，折半成24种却又少了，这11种是怎么多出的呢?

在本科教学中，生理学的教学目的是研究正常人体的形态、结构及功能,几乎很少涉及预防和保健知识的内容,理论教学始终存在与实践脱节的弊端.但在九年义务教育教学内容体系中，小学、中学的有些课程中已涉及人体知识的内容，而小学、中学人体生理学教师是由高等师范院校生命科学系人进行培养的.通过近几年来，我院举办的北京中学生物教师培训的课程来看，大多数中学老师对机体的解剖结构及生理功能基本停留在理论知识层面，而实体解剖认知、手术器械规范化操作以及功能性生理实验等方面存在很多的问题.表1是当前北京市中学与人体解剖生理学实验有关的生物实验内容.

生8(指点迷津)：在C13C14C14=48种放法中，当1号盒内只放1个球时，不会出现“重复”;当1号盒内放有2个或3个球时，就出现“重复”.如放入1号盒内为“1号、2号”球，则按“1，2号先后顺序”与“2，1号先后顺序”放入，属同一种放法，但在C13C14C14中把它当成是2种不同的放法，因此会出现C23C13种重复现象，应予扣除;而1号盒放有3个球时，只有1种放法，但在C13C14C14中计成3种，故正确放法有C13C14C14－C23C13－2=37种.

在本案例中，合适的问题设置，恰当的教师发问，启动了课堂的多向交流.而学生的自主交流与互动合作，既将解决排列组合问题常犯的错误暴露彻底，又将其一般的解法演绎到底.

2.3 预设思考时间，架设思维空间，是引燃有效数

学交流的重点

建构主义强调：数学教学最终不是教给学生作为客观世界基础的数学结构，而是要教他们如何发展自己的认知水平.教师不可能提供每个学生都适合的学习方式，因为每个人都有适合自己学习的独特方式;教师也不可能讲解学生想了解的所有内容，但教师可以给学生预留探索思考的时间，架设交流思维的空间，使之成为引燃学生有效交流学习的重点地带与动感区域.凡是学生“能想、能说、能做”的事，尽量让学生自己“去想、去说、去做”，通过交流让学生自我调节学习行为，完善认知结构，成为数学学习的真正主人.

倘若提出疑问，抑或产生兴趣，数学交流活动也就开始了.宋代教育家张载曾说：“读书先要疑”，“于不疑处有疑，方是进矣”.教师要经常为学生创设表达交流的机会，应舍得“预设时间、预留空间”，培养学生对“常规问题、常规解法、一般求解、所得结论”产生质疑、引申、反思、拓展乃至批判的习惯，由“老问题中提出新问题”的能力;要想方设法创设时空环境，让每个学生都能以恰当的思维形式、适当的心智活动、精当的互动合作，参与到课堂教学之中，把数学交流逐步引向深入.

着眼纵横驰骋，着力左右逢源，数学交流就步入纵深地带.数学知识网络，盘根错节，纵横交错;数学思维脉络，牵丝挂藤，千丝万缕.教师要引导学生善于自创思维空间，对有关知识与相关问题力求能进行“纵延伸”和“横拓展”，多向发散，多方问询，巧妙引申，深度体验，以求进入“横向到边，纵向到底，不留死角，一网打尽”之境地;要引导学生勇于自我思维加压，对有关解法与题型求解力争能进行“点到面”和“面成体”，左顾右盼，思前想后，巧作扩张，深入探讨，以致达到“上下通达，左右包容，瞻前顾后，全盘掌控”之境界.

案例3(系数卷起千层浪)求(1+x)(1+2x)(1+3x)(1+nx)展开式中，含x一次幂项的系数.(解答引申拓展题)

教学片断

拓展思维1如何求展开式中x2项的系数?

这是“纵向”引申的“题中题”，必将引发学生的兴趣与认知冲突，悄然地引燃学生参与新问题的探索思考与分析求解的热情.

认知冲突1展开式中x2项的系数到底是什么?

这自然需要展开分析对话、讨论交流.经讨论交流，“从特殊到一般”找到“突破”：

由此发现所求的系数an是“从1到n这n个自然数任2个相乘后的和”，即

认知冲突2如何求得an的值?

难用一般的求和方法求an，如何穿越这一新的障碍?又将引燃新的交流与讨论，寻求二次“突破”.经讨论交流，联想到公式

只要“同化”处理，得

通过“拓展思维空间”，不仅引燃学生自发地讨论和交流，并将思维带入了一个崭新的高度.

拓展思维2如何求展开式中x3项的系数?

问题再向“纵深”发展，学生跃跃欲试，因为经历“拓展思维1”的交流体验，不妨如法炮制，同化处理.“同化”得知所求系数为

联想公式

可见学生的创造能力是无穷的，只要为他们“架设一方思维的空间，给足分析思考的时间”，通过交流能够开创出一片新天地.还可以再度“拓展”演化：

拓展思维3(“横向”的知识拓展)

(1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+10)展开式中含x9项的系数是多少?含x8项的系数又是多少?

(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+n)展开式中含xn－2(n≥3)项的系数是多少?

在本案例中，思维的延伸，时空的创设，引燃了学生对知识“纵到底、横到边、点到面”的重点探究，由此互动交流所获取的真知灼见，必将深刻、牢靠而久远.

2.4 适时重复确认，适度追问回应，是引爆有效数学交流的支点

课堂教学情况瞬息万变，学生思维意识变幻无穷.直面课堂中呈现的种种信息，教师要充分发挥自身的主导功能和引领效应，通过过硬的教学技能、娴熟的教学手法、精明的教学机智、精湛的教学艺术和高超的教学智慧，积极寻找引爆有效数学交流活动的强劲支点.

教师适时的“重复”与“确认”，是引爆有效数学交流的一个强硬支点.著名数学家瑞思尼克曾指出：重复学生的语言，再一次确认学生的意思，是教师控制教室对话2种最明显的策略.这2种明显策略可以让学生的发言，从个体的自我意思的表达，转化为全班可以共同沟通的语言.教师适时地“重复”与“确认”学生的语言或意思，可以把学生个体的见解与意识转换为学习共同体集体的话语与认识，从而引爆全体学习成员在更广范围、更多共识和更加有效的交流与讨论.

教师适当的“追问”或“补问”，是引爆有效数学交流的另一强力支点.教师若能迅捷地捕捉到学生即时发言、对白或讨论所透露出的某种信息或呈现的某些意向，进行合理适度地“追问”或“补问”，可以进一步地引爆学生对某一问题、某一观点或某一见解“多角度、深层面、全方位”的深入探究与思考.教学实践显示，适时适当的“追问”或“补问”，是提升数学交流有效性及高效性的一大重要法宝.

教师适宜的“回应”或“评价”，是引爆有效数学交流的又一强实支点.在教学过程中，教师必须做到“该出手时就出手”，积极发挥组织者与引导者的主导功能，对交流过程实施有效的监控和有力的疏导，即时地把控数学交流的积极走向.对交流过程中的重点问题与重点疑问，必须加以及时适宜的“回应”(含肢体语言回应)或恰到好处的“回答”，给予恰如其分的“评价”或中肯适切的“评析”，从而确保数学交流活动的“高速率”和“高效应”.

案例4(直线条数引纷争)已知双曲线方程过点P(2，4)的直线与双曲线有且仅有一个公共点，则l的条数共有 ( )

A.0 B.2 C.3 D.4

请问：该选哪个答案?为什么?(选择说理题)

教学实录学生面对案例兴趣激昂，纷纷报出答案.5分钟后统计，选 A，B，C，D 的分别有 3，31，6，12人(教师先不点明答案).

师问缘由：请叙述选择的理由或方法.

生3：点P到底在双曲线开口内还是开口外呢?

师(追问与补问)：对!这点P在开口内还是开口外?

大多数学生：开口外.

师(予以确认)：利用方程判断点的位置方法很好.但不要受椭圆的影响而错判了点与双曲线的位置关系(理由此处从略).

生4：我虽犯了生1的错误，这样过点P不能作双曲线的切线，但过这个P可分别作2条渐近线的平行线.故选B(歪打正着).

师(回应与评价)：很好!直线与双曲线相切有且只有1个公共点;但直线与双曲线有且只有1个公共点时，并非一定相切，还可能是相交.如与渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点，却是相交.要注意区别“切点、交点与公共点”的不同含义.

生5：既然点P在开口外，这样过点P可作2条切线，又可作渐近线的2条平行线.故选D(教师微笑以对，含而不答).

生6：选D不对.点P点在双曲线开口外不假，但点P恰恰落在渐近线上，这样只能作渐近线的平行线，而过点P又可作2条切线.故选C(教师洗耳恭听，喜笑颜开).

生7：我觉得生6解释得有道理，但我详解却只有2条.故选B(教师投影其解答，此处从略).师(揭底确认)：据此完整解答，正确答案是B.师(持续追问)：分析一下，生7得出的究竟是怎样的2条直线?

生8：l1：y= －2(x－2)+4 是与渐近线 x+平行的直线(直线显现本真面目).

师(当即确认)：对!

教师(确认并发问)：对!过双曲线开口外一点有时只能作双曲线的一条切线，这是为什么?

学生们大声回答：因为它在渐近线上.

师(再追问与补问)：那么过双曲线开口外的任意一点，都存在双曲线的切线吗?

生10：不一定.当点在一条渐近线上时，就只能作一条切线了;当点位于2条渐近线交点即双曲线中心时，又会少去1条切线，这样就不存在切线了!

师(评价与确认)：回答得很好!看来过双曲线开口外一点P，可能有2条切线、1条切线或不存在切线.

师(再发问)：过双曲线上任意一点，有几条切线?

生11：有且只有1条.

师(回应与评价)：对!

注 交流后发现有15人像生2、有2人像生4那样选择B，有5人是猜或蒙了选项B，只有9人是真正选对了答案B.

在本案例中，教师“适时地重复与确认、适当地追问与补问、适宜地回应与评价、适度地疏引与指导”，成为引爆数学交流的一个个支点，而有效的数学交流使学生对问题本质的认识更加地明晰、深入而透彻.

［1］李祎.课堂数学交流研究综述［J］.中学数学教学参考，2005(8)：48.

［2］朱德江.提高数学交流有效性的思考［J］.上海教育科研，2006(1)：88-89.

［3］李祎.美国学校数学教育中的“数学交流”［J］.中国教育学刊，2006(9)：49.

［4］蒋海瓯.形似高考实不同 历经风雨显彩虹——高考数学模拟试题命制之我见［J］.中学教研(数学)，2012(5)：32-36.

［5］蒋海瓯.直线条数引纷争［J］.中学数学教学参考，2013(11)：18-21.

［6］蒋海瓯.给足思考时间架设思维空间 引发学生有效参与教学过程——“数学探究性课题教学”的一个典型案例［J］.数学教学通讯：上半月，2007(12)：10-11.

蒋海瓯，男，浙江青田人，中学数学特级教师，现任教于青田教师进修学校.先后评为全国劳动模范、全国优秀教师、浙江省功勋教师、浙江省特级教师、浙江省劳动模范、浙江省侨界十大杰出人物、浙江省教坛新秀、丽水市拔尖人才，入选浙江省首批名师培养人选、浙江省高级访问学者、浙江省高级专家人才库，连续5次获“丽水市科学青年奖”等荣誉称号.曾受浙江电视台专访，录制《爱的奉献》专辑.擅长“导而弗牵，开而弗达”教学法，形成“教风自然，教态亲和，教法灵活多变”的教学特色.主编7部、编著30余部教学用书，160余篇论文在专业刊物发表，20余篇论文获全国优秀论文评比一等奖，10多个教学创意设计获全国教育教学创新设计一等奖，10余个研究课题获全国省市级优秀研究成果一等奖.