立体几何

俞毅婷

立体几何是培养空间观念和公理化体系处理数学问题的重要载体，是高中数学的重要内容. 从历年的高考试题来看，立体几何一般以“两小一大”命题，以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，空间角与空间距离的探求为考查重点，同时空间向量在研究上述问题中也起着很大的作用.

本考点为新增内容，主要考查空间几何体三视图的识别和判断，通过所给三视图计算空间几何体的表面积和体积等问题. 题型主要是选择题或填空题，基本上都是中等难度或比较简单的试题.

（1）了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构.

（2）能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.

认识三视图的关键是要分清观察者的方向，应从正、侧、上三个方向观察，原则是：长对正，高平齐，宽相等. 在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明；另外，几何体的主视图和侧视图会因观察角度的不同而不同. 因此，要注意几何体中所给出的观察角度.

例1 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）

A B C D

破解思路 本题考查三视图的判断. 由题意画出几何体的直观图，然后以zOx平面为投影面，得到正视图即是答案.

答案详解 因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画出其直观图如图1所示，是一个以正方体的顶点为顶点的正四面体，所以以zOx平面为投影面得到的正视图如图2所示. 故选A.

图1 图2

例2 一个四棱锥的三视图如图3所示，其侧视图是等边三角形.该四棱锥的体积等于（ ）

A. B. 2

C. 3 D. 6

图3

破解思路 本题首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，最后确定几何体的形状如图4所示.

图4

答案详解 由三视图可知，四棱锥的底面是俯视图中对应的梯形，四棱锥的侧面是等边三角形且该侧面和底面垂直，所以四棱锥的高为 ，底面梯形的面积为 =3，所以四棱锥的体积为 ×3× = ，选A.

1. 某几何体的三视图如图5所示，根据所给尺寸（单位：cm），可知该几何体的体积为________cm3.

图5

2. 一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）

① ② ③ ④

A. ①② B. ①③

C. ③④ D. ②④endprint