谈以二次函数为背景的一道中考压轴题的命制

☉武汉市第六初级中学程松 青黄萍

谈以二次函数为背景的一道中考压轴题的命制

☉武汉市第六初级中学程松 青黄萍

笔者多年在武汉六中这所百年名校任教初三数学，该校的学生大多为资优生，他们对能解答出中考压轴题的要求都非常高，在多年的师生交流、互相学习中对中考压轴题的命制也慢慢积累了一些体会.笔者所教的学生每年中考高分人数很多，常常是全班过半数学生可达110分以上，今年还有一名叫宋子寅的学生数学中考获得满分120分的耀眼成绩，也因此产生了想写写对中考压轴题命制和教学的念头.压轴题是试卷命制的核心，一道压轴题的定型，并不是一蹴而就的，而是在《课标》和教材指导下的一个不断改进—反思—再改进的创作过程，体现《课标》和教材要求下的某种教学导向，本文想从一道以二次函数为背景的中考压轴题的命制和教学跟同行们交流，力求能引发大家对自己的教学方式方法的再思考.

一、研究“题源”

“题源”可以是课本中的一道题目，也可以是对某个概念、定义、定理的理解和演译.“抛物线”的定义即“同一平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的集合”.而二次函数的图像就是一条抛物线，那么二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像的焦点和准线在哪里？找到它，就是一个很好的“题源”，因为这里面重点知识丰富，能较好地汇合特殊三角形、四边形、圆等图形，能考查方程、函数、数形结合、分类等重要的数学思想，也能较好地兼顾基础性和区分度.

图1

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的“焦点”、“准线”与数“a、b、c”有怎样的关系？当a＞0时，如图1，设点B为焦点，直线l为准线，点A为抛物线的顶点，对称轴x=-与直线l垂直，垂足为点C，设AC=AB=t，过点B作BD∥l交抛物线于点D，过点D作DE⊥l于点E，点E为垂足，由抛物线的定义知BD=DE，所以DB=DE=BC=2t，所以D把它代入二次函数的解析式y=简得t=4at2.又因为t＞0，所以

也就是说，当a＞0时，在抛物线的对称轴上，从顶点A向上移动个单位长度即为焦点（点B），向下移个单位即为准线与对称轴的交点（垂足点C）.不难发现，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，这时从顶点向上移动-个单位长度即为抛物线与对称轴的交点（即垂足），向下移动-个单位即到焦点的位置.与x轴的正半轴交于C点，顶点为D.

（1）求点C、D的坐标；

（2）过原点O任作直线交抛物线于A、B两点，过点B作BE⊥x轴于点E.当点B在抛物线上运动时，OB-BE或OB+BE能为定值吗？请探究它为定值时的条件？

图2

基于抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离，笔者产生了如下命制方案.

例1如图2，已知抛物线y=而顶点D（0，-1），点D向上移1个单位即为焦点O（0，0），向下移一个单位即到P（0，-2），即为准线与对称轴的交点，不妨画出准线l，延长BE交l于点F，易得BF=BO.

当点B的横坐标xB＞2或xB＜-2时，如图3，OB-BE=BFBE=EF=OP=2为定值；

图3

图4

当点B的横坐标-2＜xB＜2时，如图4，OB+BE=BF+BE= EF=2为定值；

当xB=±2时，点B、E、C重合，OB+BE=OB-BE=OC=2.

再看看如何证明OB=BF？

这样的设计正好考查了有关抛物线的定义、勾股定理等重要数学知识和数形结合、分类等重要数学思想，符合笔者最初的设计思路.但对方程思想体现不足，包括列方程、解方程、根与数的关系、根的判别式等知识的考查，所以还得进一步编制第（3）小题.

二、延伸“题源”编题眼

最后一小题往往是压轴题的题眼，通过一定图形中有关角、线段、特殊图形、相似、锐角三角函数等知识来与方程建立联系，考查数形结合思想，形的运用考查几何基础知识灵活运用能力，数的处理考查方程思想，基于这样的指导思想，我们提出以下两种命题设计方案：

方案①如图5，点P（0，-2），连接PA、PB，求证∠APO=∠BPO.

图5

图6

方案②如图6，过P（0，-2）作直线交y轴右侧的抛物线于M、N两点，若MN2=PM·PN，求出直线MN的解析式.

方案①解析：设直线AB的解析式为y=k1x，直线PB的解析式为y=k2x-2，并设PB与抛物线的另一交点为点G，下面只需要证明点A与点G关于y轴对称即可，这项证明可以通过求证A、G两点的纵坐标相同，而横坐标互为相反数来实现.

方案②解析：如图7，分别过点M、N作MT⊥l于点T，NS⊥l于点S，首先根据比例性质将需要证明的等式MN2=PM·PN，转变为证明ST2=PT· PS即可.（这一思想笔者通常称之为“斜转平”，就是将非平行于x轴的线段间的关系转变为平行于x轴线段间的关系）

设M、N的横坐标分别为xM、xN，由ST2=PT·PS得，（xN-xM）2=xM·xN，所以（xN+xM）2=5xM·xN.

图7

三、隐藏“题源”创题魂

在设计中考压轴题（即最后一小题）时，命题人常常将“题源”深深隐藏，必须对初中阶段的核心知识和核心数学思想方法掌握得非常好，又有灵活运用能力的学生才有可能解决，有很强烈的筛选尖子生的意图.

在2014年中考最后的模拟阶段（5月底），笔者在抛物线定义的启示下，很好地隐藏了焦点和准线，命制了下面这道压轴题，被市命题专家称“这道题命得很有水平”的赞誉.