高超声速飞行器模型不确定性影响分析

郁嘉， 杨鹏飞， 严德

北京航空航天大学 航空科学与工程学院， 北京 100191

高超声速飞行器模型不确定性影响分析

郁嘉*， 杨鹏飞， 严德

北京航空航天大学 航空科学与工程学院， 北京 100191

吸气式高超声速飞行器具有严重的弹性机体和推进系统耦合的典型特征，其分析模型存在较大的不确定性，标称系统和真实系统之间存在偏差，因此研究不确定性对稳定性的影响对于控制器设计具有重要意义。针对典型的乘波体构型高超声速飞行器，建立了气动/结构/推进相互耦合的动力学模型，总结了建模中的不确定因素并将其以加性不确定模型的形式表示出来。以不确定性矩阵的最大奇异值为边界模型，以不确定性矩阵的H∞范数来表示不确定性因素对稳定性影响的大小，并通过不确定性矩阵的边界曲线分析不确定因素对模态特性的影响。结果表明，惯性因素的不确定性对稳定性的影响最大，而且其对飞行器的短周期模态和弹性模态均有较大的影响；同时，对于这一类飞行器的控制器设计必须考虑飞行器的弹性自由度。

高超声速飞行器； 不确定性分析；H∞范数； 最大奇异值； 弹性自由度

吸气式高超声速飞行器由于其飞行范围广、飞行环境复杂、飞行速度快、气动加热效应明显等因素，其气动、推进及结构都存在不同程度的不确定性[1-2]。同时，由于采用一体化设计，气动、推进及结构等子系统存在强烈耦合[3]。这种耦合效应可能将系统的不确定性放大，从而使飞行动力学特性大大偏离设计目标，甚至造成控制系统失效，X-43A在第一次试飞中失控就是因为不确定性超出了控制系统稳定性边界。文献[4]使用非概率区间方法分析了系统在参数变化时特征根的分布范围，但是该分析方法无法定量地分析每种不确定因素对飞行器稳定性和对不同模态影响的大小。文献[5]中使用蒙特卡罗分析方法对X-43A的模型不确定性进行了详细分析，虽然该方法可以达到很高的精度，但是由于计算量大、计算时间长，使其在研究初期的应用受到限制。因此，在高超声速飞行器设计初期，快速简便地度量多源不确定性对飞行器稳定性和模态特性的影响大小是高超声速飞行器控制器设计中不可或缺的研究内容。

本文针对高超声速飞行器的不确定性问题，首先建立了高超声速飞行器的动力学模型；然后分析了高超声速飞行器不确定性的物理本质以及主要来源，分析了建模过程中引入的各种不确定性因素及其变化范围；最后建立了不确定性矩阵模型，以不确定性矩阵的增益为边界，在频域范围内计算出不确定性边界，度量不确定因素对高超声速飞行器鲁棒稳定性影响的大小，并且分析了不确定因素对飞行器模态特性的影响。

1 高超声速飞行器动力学模型

本文以乘波体构型的高超声速飞行器作为研究对象，建立了刚体-弹性体耦合模型[6-8]。飞行器的布局如图1所示。图中：Lf为前体长度；Ln为发动机长度；La为后体长度；δe为升降舵偏角；δc为鸭翼偏角；τ1为前体偏角；τ2为后体偏角。

图1 高超声速飞行器布局示意图Fig.1 Schematic diagram of hypersonic vehicle configuration

根据拉格朗日方程，采用稳定轴坐标系，高超声速飞行器纵向刚体-弹性体耦合动力学模型可以描述为

(1)

(2)

(3)

式中：Ad为扩散器面积比，其值固定为1。阻力系数CD由于阻力的物理定义复杂，因此需要增加二次项进行函数拟合，同时根据拟合精度需求，在计算复杂性可接受的情况下，增加了关于α+Δτ1的二次多项式。飞行器前后弹性角的变形位移分别近似为

(4)

2 模型不确定性分析

在进行不确定性分析时，首先引入2个概念：名义系统和实际系统[10]。名义系统是指为了对飞行器进行动力学特性分析和控制系统设计而得到的经过处理的被控对象的数学模型。而实际系统就是指真实的物理系统。名义系统与实际系统的误差称为模型的不确定性。高超声速飞行器的飞行速度和高度的跨度变化非常大，飞行环境也很复杂；同时高超声速飞行器有别于人类以前研究的所有类型的飞行器，没有可供参考的数据模型，其实际的模型信息是不可能准确获得的，所以高超声速飞行器的不确定问题尤为突出。因此对其不确定性的来源及大小研究是非常有必要的。

2.1 高超声速飞行器不确定性来源分析

高超声速飞行器的不确定性主要来源于以下几个方面：

1) 当飞行器的飞行马赫数Ma超过6时就会产生真实气体效应，而真实气体效应会改变飞行器表面的压力分布，从而改变飞行器气动力及气动力矩系数；另外，气动热效应会使发动机的进气道和出气道流场特征发生改变，这样会改变飞行器的推力特性，造成不确定性[11]。

2) 采用机体/发动机一体化设计气动外形，机身结构弹性与气动特性和推进系统相互影响所引起的不确定性。

3) 飞行过程中由于燃料消耗等原因造成飞行器质量不断减小，结构弹性模态发生相应的变化引起的不确定性。

4) 控制面的控制效率较亚、超声速飞行时低得多，以及严重耦合所引起的不确定性。

5) 缺乏足够的地面和飞行试验数据而造成的气动特性及推力特性数据的参数不确定性。

6) 传感器、执行器以及控制系统硬件自身的误差产生的不确定性。

7) 建模过程中忽略各种高阶模态引起的未建模动态不确定性。

8) 在飞行过程中出现的各种未知干扰所造成的模型和参数不确定性。

2.2 不确定因素及其分类

国外文献中一般将不确定性分为结构不确定性(Structured Uncertainty)和非结构不确定性(Unstructured Uncertainty)[12-13]。在国内文献中大多将不确定性分为参数不确定性和动态不确定性(非参数不确定性、未建模动态不确定性)[10, 14-15]。参数不确定性是指系统的不确定性可以通过模型中有限个参数的摄动来表示，体现为具体参数的不确定性。参数的摄动可能会改变系统的零极点分布进而影响稳定性和性能，但不会改变系统的结构，因此又被称为结构化不确定性。动态不确定性是指系统的不确定性不能仅仅用参数的摄动来表示，而是通过被控对象的整体摄动来表示。这种摄动不仅改变了系统的零极点分布和个数，通常也会改变系统的结构，因此被称为非结构化不确定性。

2.3 参数不确定因素的变化范围

根据文献[9]可得，不同燃油情况下所对应的质量、惯性矩以及结构弹性频率的变化范围(取50%燃油为标称状态)，具体如表1所示。除了控制指令参数的变化范围设定在±20%以外，其他参数的变化范围都设定在标称值的±10%范围内[10]。在此，10%和20%的不确定性都是假设的，是基于对于这一类型的飞行器的有限经验得出的。

表1 不同燃油情况下飞行器惯性参数的变化

Notes: 1 slug=14.593 9 kg; 1 ft= 0.304 8 m

3 不确定性模型

3.1 不确定模型的描述方法

系统的不确定性必须被表示成结构不确定性形式或者非结构不确定形式或者两者的综合。在频域范围内不确定性的描述形式通常有2种：

(5)

(6)

3.2 不确定性矩阵的边界模型

(7)

4 不确定性分析

4.1 参数不确定性分析

图2 惯性因素不确定边界和参数不确定边界Fig.2 Uncertainty boundaries of inertia and parameters

采用和上面相同的方法研究剩下的不确定参数对稳定性影响的大小以及其对参数不确定性的贡献。仿真结果如图3所示。

4.2 不确定性矩阵的边界模型

动态不确定性分析的目的是要阐明在建模过程中是否要用一种具有不确定动力学特性的结构动力学模型，或者是就只用一种假设刚体模型，忽略所有的弹性自由度。

因此，仅由于忽略飞行器本体结构动力学特性所引起的加性不确定性矩阵可以表示为

(8)

实际系统和刚体模型传递函数矩阵之差可以表示为

(9)

(10)

图4 参数不确定性边界与参数+刚体不确定性边界Fig.4 Parametric and parametric + rigid unstructured uncertainty boundaries

另外，将刚体不确定性Δrigid与控制量不确定大小进行对比。假设飞行器的标称状态为刚体模型，其传递函数矩阵为Grigid。加性刚体不确定性矩阵的定义和式(8)一样。刚体误差矩阵为

(11)

令p=p2，则其控制量参数不确定性矩阵为

Δp2=G-Grigid

(12)

Δp2和Δrigid的最大奇异值如图5所示。由图5能够清楚地看出，在大部分的频域范围内，由于假设飞行器为刚体而引起的不确定性比控制量不确定性大，尤其是在飞行器弹性模态处。

图5 控制量不确定边界和动态不确定边界Fig.5 Control effectiveness and rigid unstructured uncertainty boundaries

因此，在刚体假设下设计的控制律尽管有可能相对于参数不确定性具有鲁棒性，但是对于动态不确定性不具有鲁棒性并且有可能导致短周期模态的不稳。所以在针对于控制器设计的高超声速飞行器建模中，忽略弹性模态是不可取的。

4.3 1阶和3阶弹性体模型不确定边界对比

(13)

由前文的定义可知，Δ1=Δrigid。图6给出了1阶刚体不确定误差矩阵为Δ1和3阶刚体不确定误差矩阵Δ3的不确定性边界。从图中可看出，1阶刚体不确定误差的最大值略大于3阶刚体不确定误差，并且在40 rad/s之前两者的误差不大，说明两者对于飞行器稳定性的影响基本相同。所以从鲁棒稳定性的角度分析，基于1阶弹性体模型设计的鲁棒控制器能够满足稳定性的要求，而且模型更加简单。

图6 1阶和3阶刚体动态不确定边界Fig.6 Unstructured uncertainty boundaries of first-order and third-order

5 结 论

针对吸气式高超声速飞行器模型存在的不确定性问题，以不确定性矩阵的最大奇异值为边界模型，以不确定性矩阵的H∞范数来表示不确定性因素对稳定性影响的大小，对比各个不确定来源对飞行器稳定性影响的大小以及对各个模态的影响。仿真结果表明：

1) 在整个频率范围内惯性因素的不确定性在不确定向量p中起主导作用，其不确定大小为75 dB，出现在弹性模态的模态频率处。

2) 尽管飞行器在弹性模态频率处具有较大的不确定性，但是假设飞行器为刚体会造成更大的不确定性。所以针对一个只考虑参数不确定性而忽略未建模结构动态特性的刚体模型所设计的多变量鲁棒控制器对于吸气式高超声速飞行器是无效的。

3) 1阶弹性模型的不确定边界稍大于3阶弹性模型的不确定边界。从稳定性方面看，针对1阶弹性体模型所设计的鲁棒控制器完全能够满足稳定性的要求，同时有利于简化控制器的设计。

[1] Bertin J J, Cummings R M. Fifty years of hypersonics: where we’ve been, where we’re going[J]. Progress in Aerospace Sciences, 2003, 39(6): 511-536.

[2] McNamara J J, Friedmann P P. Aeroelastic and aerothermoelastic analysis in hypersonic flow: past, present, and future[J]. AIAA Journal, 2011, 49(6): 1089-1122.

[3] Cockrell C E, Engelund W C, Bittner R D, et al. Integrated aeropropulsive computational fluid dynamics methodology for the Hyper-X flight experiment[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2001, 38(6): 836-843.

[4] Zeng K C, Xiang J W. Uncertainty analysis of flight dynamic characteristics for hypersonic vehicles[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2013, 34(4): 798-808(in Chinese). 曾开春， 向锦武. 高超声速飞行器动力学特性不确定分析[J]. 航空学报， 2013, 34(4): 798-808.

[5] Baumann E, Bahm C, Strovers B, et al. The X-43A six degree of freedom Monte Carlo analysis[C]∥AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reston: AIAA, 2008.

[6] Oppenheimer M， Skijins T， Bolender M，et al. A flexible hypersonic vehicle model developed with piston theory, AIAA-2007-6399[R]. Reston: AIAA, 2007.

[7] Bolender M A, Doman D B. Nonlinear longitudinal dynamical model of an air-breathing hypersonic vehicle[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2007, 44(2): 374-387.

[8] Parker J T, Serrani A, Yurkovich S, et al. Control-oriented modeling of an air-breathing hypersonic vehicle[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2007, 30(3): 856-869.

[9] Sigthorsson D O, Serrani A. Development of linear parameter-varying models of hypersonic air-breathing vehicles[C]∥Proceedings of the AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit. Reston: AIAA, 2009: 2009-6282.

[10] Shi Z K, Wu F X, Wang P, et al. Robust control theory[M]. Beijing: National Defence Industry Press, 2003: 16-32 (in Chinese). 史忠科， 吴方向， 王蓓， 等. 鲁棒控制理论[M]. 北京： 国防工业出版社， 2003: 16-32.

[11] Sun C, Fang Q, Yuan J P. A useful dynamic analysis of hypersonic vehicle and control law design using uncertainty parameter dynamics model[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2012, 30(4)： 497-502 (in Chinese). 孙冲， 方群， 袁建平. 具有模型参数不确定性的高超声速飞行器动态特性分析及控制律设计[J]. 西北工业大学学报， 2012, 30(4): 497-502.

[12] Chavez F R, Schmidt D K. Uncertainty modeling for multivariable-control robustness analysis of elastic high-speed vehicles[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1999, 22(1): 87-95.

[13] Zhou K, Doyle J C, Glover K. Robust and optimal control[M]. New Jersey: Prentice Hall, 1996: 197-205.

[14] Liu K Z, Yao Y. Linear robust control theory[M]. Beijing: Science Press, 2003: 5-9 (in Chinese). 刘康志， 姚郁. 线性鲁棒控制[M]. 北京： 科学出版社，2013: 5-9.

[15] Wu M, He Y, She J H. Robust control theory[M]. Beijing: Higher Education Press, 2009: 2-15 (in Chinese). 吴敏， 何勇， 佘锦华. 鲁棒控制理论[M]. 北京： 高等教育出版社， 2009: 2-15.

[16] Keshmiri S, Colgren R, Mirmirani M. Development of an aerodynamic database for a generic hypersonic air vehicle[C]∥AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit. Reston: AIAA, 2005: 6257.

Tel: 010-82317509

E-mail: yujia@buaa.edu.cn

杨鹏飞 男， 硕士研究生。主要研究方向： 飞行动力学与控制。

Tel: 010-82317509

E-mail: yangpengfeibuaa@126.com

严德 男， 博士， 讲师。主要研究方向： 飞行力学与飞行安全。

Tel: 010-82317510

E-mail: yande@buaa.edu.cn

URL： www.cnki.net/kcms/detail/10.7527/S1000-6893.2014.0221.html

*Corresponding author. Tel.： 010-82317509 E-mail: yujia@buaa.edu.cn

Influence analysis of hypersonic flight vehicle model uncertainty

YU Jia*, YANG Pengfei, YAN De

SchoolofAeronauticScienceandEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China

Air-breathing hypersonic flight vehicles are typically characterized by a significant degree of interaction between the highly elastic airframe and the propulsion system. Then it will result in dramatic uncertainty in the model of vehicle. So knowledge of the scale of the uncertainty to the vehicle is necessary during the process of control law design due to the enormous difference between the nominate system and the true system. A coupled longitudinal dynamical model is developed in this paper for a typical hypersonic waverider with parametric uncertainties depicted as add uncertainty model. According toH∞normandboundaryoftheuncertainmatrices’maximumsingularvalue,themagnitudeofeachuncertainfactor’sinfluenceonthestabilityofvehicleandthecharacteristicsofthemodeismeasured.Theresultsindicatethattheinertiapropertyhasasignificantinfluenceonstabilityandalsohasdramaticeffectontheshort-periodmodeandelasticmodeofthevehicle.Itisalsoshownthattheflexibledegreesoffreedommustbeconsideredintheflight-controlsynthesisforthiskindofvehicle.

hypersonic vehicle; uncertainty analysis;H∞norm；maximumsingularvalue;flexibledegreesoffreedom

2014-08-07； Revised： 2014-08-28； Accepted： 2014-09-10； Published online： 2014-09-16 15:58

2014-08-07; 退修日期： 2014-08-28; 录用日期： 2014-09-10; 网络出版时间： 2014-09-16 15：58

www.cnki.net/kcms/detail/10.7527/S1000-6893.2014.0221.html

Yu J, Yang P F, Yan D. Infulence analysis of hypersonic flight vehicle model uncertainty[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2015, 36(1): 192-200. 郁嘉， 杨鹏飞， 严德． 高超声速飞行器模型不确定性影响分析[J]． 航空学报, 2015, 36(1): 192-200.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2014.0221

V

A

1000-6893(2015)01-0192-09

郁嘉 男， 博士， 讲师。主要研究方向： 飞行力学与飞行安全。

*通讯作者.Tel.： 010-82317509 E-mail: yujia@buaa.edu.cn