预制装配式板梁桥的模型修正方法

周正茂， 袁桂芳， 田清勇

(上海同豪土木工程咨询有限公司，上海 200092)

利用现场实测数据修正结构的有限元模型，使修正后结构分析参数与试验值趋于一致，称为结构模型修正［1］.近年来，模型修正技术在桥梁领域逐渐成为研究热点.早期研究以单根梁为主，如悬臂梁［2］、简支梁［1，3］等，现在已逐步扩展到整桥，如 T构带挂孔梁桥［4］、连续梁桥［5-7］、钢桁梁桥［8］、系杆拱桥［9-10］、斜拉桥［11-15］和悬索桥［16］等.这些研究极大地促进了模型修正方法在桥梁工程中的应用.

目前模型中参数修正的对象是主要构件的设计参数如弹性模量等，对于连接构件的参数修正则研究较少.连接构件在预制装配式桥梁中扮演着重要角色，一方面，连接构件如空心板梁桥中的铰缝、T梁桥或小箱梁桥中的横隔梁等对桥梁横向受力的分配起着重要作用;另一方面，这些构件均为易损构件，它们的损坏将改变桥梁的受力状态，使之与设计不符.因此，连接构件设计参数的修正对于掌握预制装配式桥梁的受力状态至关重要.但连接构件不易模拟，目前关于预制装配式桥梁模型修正的研究也非常少.

朱张峰等研究了5片小箱梁组成的装配式简支梁桥的模型修正问题，其中桥梁横向刚度的修正通过改变桥面板的弹性模量或厚度模拟［17］.该方法用于模拟横隔梁效果较好，但用于模拟铰缝则困难较大.在空心板梁桥力学模型中，铰缝作为铰来模拟，它既无厚度参数，也无弹性模量参数，因此，无法将文献［17］的方法直接应用于空心板梁桥.周正茂等提出了铰缝刚度的概念，假设铰缝受力后会产生相对位移，且该位移与铰缝剪力成正比［18］.在此基础上，建立了可以考虑铰缝损伤的模型，通过该模型可以评价铰缝的损伤程度.但该模型只考虑了铰缝损伤，并未考虑板梁受损，也不适用于桥上有防撞护栏、隔离墩和桥面铺装等附属结构的情况，工程应用受到一定限制.

本文中尝试建立空心板梁桥的结构修正模型，不仅能模拟铰缝损伤，通过定义板的抗弯刚度和抗扭刚度修正系数，还能反映板梁损伤和附属结构的贡献.该模型既能反映空心板梁桥可能受到的各种损伤，又能克服一般力学模型模拟附属结构的困难.为检验模型的正确性，采用数值方法模拟一座单跨空心板梁桥的荷载试验，考察了该模型的反演误差.

1 板梁桥的结构模型修正

1.1 模型假设与板边位移方程

提出的模型是在铰接板梁法的基础上改造而成，所以，基本假设同铰接板梁法［19］:荷载、剪力和位移沿纵向均为半波正弦分布;板间竖向剪力只靠铰缝传递;板梁横向为刚性等.文献［18］中假设铰缝相对位移与铰缝剪力成正比，已得到试验数据支持［20］，这里继续沿用.关于板刚度，假设板刚度的变化由板的抗弯刚度和抗扭刚度体现.

铰接板梁法模型见图1.对编号及方向作如下规定:板的编号自左至右分别为1，2，…，n;铰缝编号自左至右分别为1，2，…，n－1;铰缝剪力以图示方向为正，相对位移正方向与剪力正方向相反;板上荷载以图示方向为正，其横向偏心以板中心为原点，向右为正;板位移的正方向与板上荷载的正方向相同.

图1 铰接板桥计算模型Fig.1 Mechanical model of hinged slab bridge

于是，板左侧和右侧的位移方程分别为:

1.2 δik和 fij的计算

铰缝剪力对板的作用可等效为一个作用在板中心的荷载和一个扭矩.图2为单位铰缝剪力与板两边位移的关系.

根据图2，单位铰缝剪力和单位板上荷载在第i块板左侧产生的位移分别为:

图2 单块板梁中力与位移的关系Fig.2 Relationship of force and displacement of slab

式中:wi为板中心单位竖向荷载作用下的跨中挠度;φi为bi/2扭矩作用下的扭转角;bi为第i块板的宽度;βi为第i块板抗弯刚度修正系数，βi＞1表示板实际刚度比设计刚度大;αi为第 i块板的抗扭刚度修正系数，αi＞1表示板实际刚度比设计刚度大.

wi和φi的计算可参见文献［19］.

同理，可得单位铰缝剪力及单位板上荷载作用下第i块板右侧的位移(因篇幅限制，从略).

1.3 求解修正系数的方程

铰缝相对位移与铰缝剪力成正比，与铰缝刚度ki成反比，即存在以下关系:

将δik和fij的表达式代入式(1)和式(2)，并考虑式(5)，整理可得关于 ki、βi及 αi的表达式.

令

式中:m 表示试验工况，m=1，2，…，M，

则式(1)和式(2)可写成

方程组(6)即为1个试验工况能列出的所有方程，共2n个.但要求解的变量一共有3n－1个，因此，需要多个试验工况联立求解.

1.4 模型修正

对于M个试验工况，令

则有

方程组(7)中有2n×M个方程，需要求解的变量有3n－1个，一般来说，只要试验工况数不少于2个，即可求得各未知参数.由于方程数多于未知变量数，无法直接求解，可采用最小二乘法，定义优化目标

求解时对A进行QR分解，A=QR，其中Q为2nM×(3n－1)阶正交矩阵，R为(3n－1)(3n－1)阶上三角矩阵:

用MATLAB可很容易求得x的最优解.

2 数值模拟

若采用实桥试验验证提出的模型，由于无法事先了解铰缝和板梁刚度的真实值，难以准确评价模型的正确性，这里采用数值模拟的方法验证提出的模型.

2.1 模拟对象描述

模拟对象为单跨简支板梁结构，计算跨径11.0 m，横断面由10片空心板铰接而成，编号自左至右依次为 1#，2#，…，10#，横断面见图 3.板宽0.99 m，板高 0.55 m，相邻板中心距为 1.00 m，混凝土强度等级为C40.板的理论参数wi=3.886×10－4m2/kN，φi=1.574×10－5m/kN.设该桥边板实际刚度因受防撞护栏影响而增大，结合工程经验，将抗弯刚度增大1.5倍，抗扭刚度增大1.2倍.

板梁的损伤程度按大损伤、微损伤和无损伤3种情况考虑，假设损伤主要发生在中间两块板，其抗弯、抗扭刚度折减系数均分别为 0.60、0.95和1.00.3种损伤情况下各板的抗弯、抗扭刚度变化系数见表1.假设铰缝也有不同程度的损伤，其刚度从k1=6 MN/m2，按3 MN/m2等间隔增大到k9=30 MN/m2(铰缝剪力为线分布力，单位为kN/m，因此，铰缝刚度的单位为kN/m2).

采用汽车加载，共3个工况.每个工况均采用2辆30 t土方车，车轮布置在靠近铰缝处，不同工况的差异是车辆位置不同.加载方式见图3，等效荷载见表2.

图3 结构横断面及加载示意Fig.3 Section of the structure and schematic diagram of loading

表1 板梁刚度修正系数Tab.1 Correction factors of slab stiffness

荷载作用下损伤结构位移的理论值可通过式(1)和式(2)计算.考虑到实际测量精度，将计算结果按0.01 mm修约后作为实测位移值.

表2 等效荷载Tab.2 Equivalent load

2.2 模型修正结果及讨论

2.2.1 不同工况组合下的比较

考虑表1中大损伤的情况.在不同工况组合下，将实测位移代入式(7)，可得到 ki、βi和 αi.表 3和表4为与表1中精确值相比较的误差(“工况1+2”指在工况1和工况2下按上述方法得到的模型修正值的误差，其余依此类推).

比较表3和表4中某2种工况和“所有工况”下计算结果的误差，可以看出:当采用某2种工况进行分析时，计算结果在施加荷载的板和铰缝处误差较小，远离荷载位置的误差较大;当采用所有3种工况进行分析时，误差均未超过5%.

表3 不同工况下铰缝刚度的误差Tab.3 Error of hinge joint stiffness in different load cases %

表4 不同工况下板梁刚度修正系数的误差Tab.4 Errors of the correction factors of slab stiffness in different load cases %

造成不同工况组合分析精度不同的原因，主要是由于在不同工况下荷载位置不同造成的.当荷载位置使得铰缝剪力、板梁弯矩和扭矩可以取得较大值时，各板边位移就会大些.这样，反算时所用原始数据的相对误差将小些.因此建议，荷载试验时，应尽可能将荷载布置在所关心的铰缝和板上，或将多个工况组合对结构进行模型修正，以最大限度地提高测试精度、减小识别误差.

2.2.2 与文献［18］方法的比较

为叙述方便，称本文方法为方法A，文献［18］的方法为方法B.为比较2种方法的适用性，分别对大损伤、微损伤和无损伤3种情况的模型修正结果进行比较，均采用表2中所有3个工况的数据分析.针对3种损伤情况，分别采用方法A和方法B反推3种情况下板的修正系数和铰缝刚度.对于铰缝刚度，2种方法均能获得，见表5;对于板的修正系数，只有用方法A才能获得，见表6.

表5中，对于每种损伤情况均列出了3组计算结果.第1组和第2组分别为方法A和方法B获得的铰缝刚度的误差(由于防撞护栏对边板刚度的影响难以估计，计算时未考虑防撞护栏的影响);第3组为方法B获得的铰缝刚度的误差(假设防撞护栏对边板刚度的影响可以准确估计，计算时考虑了边板刚度的增大系数(表1)).

从表5可见，无论何种损伤程度，方法A的误差均较小.在无需了解板实际刚度和损伤程度的情况下，用方法A反演铰缝和板的实际刚度，所得结果的误差均较小，说明其具有普适性.反观方法B，当采用不考虑防撞护栏影响的理论刚度时，无论板的实际损伤程度如何，均未能正确反演铰缝的实际刚度，即使板完好、没有损伤，计算误差也较大.当边板刚度可以准确估计时，对于板梁大损伤的情况，方法B得到的铰缝刚度的误差仍然较大;而在板梁微损伤时，方法B则可以得到较理想的效果;在无损伤时，所得结果甚至优于方法A.

以上结果说明，方法A对板梁没有特别限制，包括有防撞护栏、隔离墩和桥面铺装等附属结构造成刚度增大，或因各种损伤而造成刚度降低的情况，方法A反演结果的误差均较小.而方法B对板梁刚度的估计要求较高，当无法准确估计板梁刚度时误差较大;当能够准确估计板梁刚度时，则精度较高.所以，方法A和方法B的适用范围不同，在各自适用范围内精度均较高.

由于方法B无法识别板的损伤，表6中只给出了方法A得到的板梁修正系数的误差.与表5相同，无论在大损伤、微损伤还是无损伤的情况下，方法A修正结果的误差均较小.对于边板或次边板发生损伤的情况也进行了分析，结果方法A相比方法B同样具有优势.

表5 不同损伤程度下铰缝刚度的误差Tab.5 Error of hinge joint stiffness vs.damage degree %

表6 不同损伤程度下板梁刚度修正系数的误差Tab.6 Errors of the correction factors of slab stiffness vs.damage degree %

当所有位移值均为精确值而非修约值时，方法A模型修正结果的误差为0;方法B对无损伤板(设边板实际刚度已知)模型修正结果的误差也为0，说明2个模型在各自的适用范围内均可靠.

3 结论

将铰缝刚度、板梁抗弯刚度和抗扭刚度均作为未知量，可避免板刚度无法准确估计的困难.通过引入铰缝刚度的概念，实现了对板梁桥的模型修正.采用实测板边位移，并用QR分解求解矛盾方程组，可直接得到参数的最优估计值.

数值模拟结果表明，无论是损伤结构，还是有复杂附属部件的结构，提出的修正模型均能给出可靠的结果.为得到准确的参数估计值，试验时应尽可能采用多个试验工况，并将荷载布置在被测试的铰缝或板附近.

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