更新旧观念 开创新概念——基于前概念的数学单元核心概念建构与创构的实践研究

王静

摘 要：用数学探究活动帮助学生建构数学概念是当前数学教学的重点和热点。针对目前数学探究活动设计中过于局限教材、偏重某一课时细小活动设计，缺乏目标性、学生能力提升等不足，提出在数学探究过程中建构与创构单元核心概念应该以学生的前概念及前概念与待建数学概念的认知冲突中产生的问题为立足点，充分考虑教材和学生两个教学设计中最主要的变量，按“知识逻辑与认知逻辑相统一”的思路进行有效设计，建立以探知到的前概念为基础，积极导出有价值的问题，及时反馈探究结果，帮助学生进行数学概念的意义建构，并结合具体的单元提出了核心概念建构与创构的操作策略。

关键词：前概念;自主探究;核心概念;创构

以自主探究为核心的活动已经成为数学课教学的主要方式。许多教师在设计活动时有意将“自主探究”思想融入并能在教学中一定程度的实施。不过通过调查发现，现今课堂由于受教学任务重、自身专业知识不足等因素的限制，仍然存在一些不合理现象。

一、“数学概念”建构现状分析

1.零起步——概念建构起点低

有些新教师，在新授课时总把学生认知水平当成“零”起点。生怕自己讲的有所遗漏，课堂出现地毯式轰炸的“满堂灌”。虽然有精彩的课件、生动的课堂教学、大量的习题演练。但课后访谈学生，效果却不理想。

2.盲目性——概念建构缺方向

许多教师设计自主探究活动及进行教学环节时，目的性不强，抓不住关键，解决不了教学中的难点、重点，对其教学设计的目的是什么，是为了学生获得哪一方面的发展，可帮助学生习得哪些概念，教师自己都不是很清楚，致使许多工作缺乏明确的指向。而这与现今“用自主探究活动帮助学生建构数学概念”，着力体现关注学生数学概念建构的教学改革新思路不符合。

3.单方面——概念建构关注窄

设计活动时主要关注零星的个案或者一课一例的探究活动，主要围绕探究活动优劣或者多样化设计，很少能联系学生的前概念（包括小学数学知识建构点及现今初中教材体系），进行单元整体设计的研究。

4.提升浅——概念建构能力虚

有些教师在教材处理时，缺乏理性深度，有知识缺方法，有方法少能力，重解题能力轻数学素养，导致教学设定的三维目标被虚化，不能真正实现能力提升。

本文尝试借用学生的数学前概念支撑，以初中数学模块整体核心概念创构为研究视角，通过探究活动体验探讨模块核心概念建构与创构的基本思路和操作策略，解决教师在“用教材教”过程中所面临的“无处下手”“难以下手”“随便下手”等诸多问题，提高数学教学的实效。下面围绕数学“函数”模块下与“一次函数”“二次函数”等相关内容，谈核心概念的“建构”“创构”策略，并以“认识函数”为课例对核心概念建构进行解读。

二、理性思考

1.研究综述

在核心概念教学调控的实践研究中，根据所确定的核心概念框图，以一系列的习题和探究活动为主要載体，在课前、课中、课后等教学流程环节中对学生的活动和学习行为实施调控，使概念教学在师生双边活动中得到内化提升。核心概念框图调控模式可以用图1来表示：

2.概念界定

（1）核心概念

核心概念是位于学科中心的概念性知识，包括重要概念、原理、理论等基本理解和解释，这些内容能够展现当代学科图景，是学科结构的主干部分。

（2）据探究活动体验学习（图2）理论“基于前概念的数学单元核心概念建构模式”

在引导学生进行核心概念的建构过程之前，教师要充分了解学情（即原有的前概念或相关直接经验），再围绕课标、教材体系总体形成相关核心概念框图，进而确定课题的三维教学目标，并鉴于学生的知识逻辑、认知逻辑等设计好教学情景活动，将设置的情景按核心概念框图有序开展教学活动。

设计的操作步骤如图3：

三、实践研究

1.建构——从前概念及课标出发建构核心概念框图

初中数学从以基础知识和基本技能为中心的课程设计发展到围绕数学概念探究为中心的课程设计，这是数学教育发展的必然。如何根据学生的前概念及课标、教材体系来综合建构核心概念框图呢？

（1）分析前概念，定位核心概念

了解“函数”的数学教材体系及主要内容分布，理清在初中阶段中已建立的前概念构架。再与我们初中数学的课标进行整体对照（表一），可以从数学概念和活动构成出发解读教材，对单元的核心概念在教材体系中的位置、具体数学概念和与之相应的探究活动等诸要素逐一进行梳理，从总体上把握单元的教学目标取向、内容特点和活动，即读懂读通教材，逐步构建“一次函数”“反比例函数”“二次函数”等知识体系。

表一 初中数学在“函数”主题下“一次函数”“反比例函数”“二次函数”部分比较

由比较可知，“函数”这块知识与学习不同类型的函数有很大一致性。我们可结合教材构建核心概念框图：函数中两个变量的关系;函数的表达式及图象，根据图象归纳函数的性质。拓展出的具体概念（见表一和图4）。于是我们就可将“一般表达式—图象—性质—应用”串成一条主线，依据教材编者意图系统地进行设计。

（2）巧置情景序，活动建构概念

数学自主探究活动是数学概念教学的外显，是看得见的、可操作的内容，是促进学生数学概念发展的有效载体。当然，必须珍惜学生已有的知识、经验以及对探究过程的感受，并将之作为所有内容呈现、教学的起点和学生建构的支点。所以，对教材设计了哪些探究活动？这些活动对应于哪些数学概念？这是解读教材时必须把握的关键，我们也需要对这些情景体验活动根据教学核心概念的呈现设置情景，使其有效服务于教学目标实现及整体体系建立。

例如，学习“二次函数”这个概念时，是在学习了“一次函数”后，故新课前可以让学生先完成一组练习：

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系：

①面积y（cm2）与圆的半径x（cm）;

②王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元;

③拟建中的一个温室的平面图（如图5），如果温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸（如图5），设一条边长为x（cm），种植面积为y（m2）

图5

接着，教师组织合作学习活动：

①先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。

②上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

y=πx2  y=20000（1+x）2=20000x2+40000x+20000

y=（60-x-4）（x-2）=-x2+58x-112

上述三个函数解析式具有哪些共同特征？

让学生充分发表意见，提出各自的看法。

最后教师归纳总结：

上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式.

板书：我们把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadraticfuncion）

通过自己课前体验，再联系之前学过的一次函数相关知识（前概念），学生能迅速将原有表象结构恢复，在实例体验之后会与先前的“一次函数”概念产生冲突，进而寻求新的探知点来解决矛盾，自然联系到自变量的次数为二次的函数叫做二次函数。这样在课堂学习前学生已有相应的学习方法，核心概念也已初步建立起来。而“二次函数”概念建立之后就可作为一个切入口，围绕“一般表达式”“图象及其性质”“二次函数的应用”子主题，教材主要设计了：二次函数、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用等章节，教材主要建构了以下探究活动（图6）：

2.解构——从知识逻辑和认知逻辑出发解构认知序

在对课标、教材等的核心概念初步感知和整体把握后，建构出核心概念框架，并根据教材体系及学生身心特点梳理出“数学概念”和“探究活动”的逻辑关系，并对其展开“剖析”和“解构”，以理清隐匿于教材活动背后的逻辑关系，即活动结构的分析。在“一次函数”和“二次函数”主题下几个章节的设计，是先建立函数概念并在其基础上联系函数图象。再利用图象上点的坐标与变量之间的关系，研究变量与变量之间的关系。这样的探究学习活动设计顺序是否符合知识逻辑和认知逻辑协调发展的关系？试作如下讨论：

（1）从知识逻辑来看，教材设计了一个怎样的知识发生、发展过程？

知识逻辑指的是知识间的相互联系，前面知识应该是后面知识的铺垫，后面知识是前面知识的发展，两者形成紧密的结构，不可随意设置，前后颠倒。

从教材的设计思路看，一次函数的探究思路是“一次函数的一般表达式→一次函数的图象→一次函数的性质→一次函数的应用”;反比例函数和二次函数的探究思路也如此。因此，教材设计了先学习“一次函数的表达式”“一次函数的图象”，再研究“一次函数的应用”进程，这符合知识逻辑吗？事实上，在教学中我们从直观入手，让学生用描点法亲自动手画出函数图象，根据自己画出的图象与同伴的图象相比较，得出一次函数的性质，最后结合图象理解记忆，培养学生对数形结合思想的理解和应用，在学习的过程中遵循着由易到难、由简到繁、由直观到抽象的原则。

随着知识问题的解决，逐步引导学生成功地向抽象认识迈进，学生所获得的知识也将是一种开放式的、更具良好结构的体系，它能使学生更好地接受新的知识和形成新的技能，有利于他们继续学习。

（2）从认知逻辑来看，学生经历了一个怎样的认知发展过程？

认知逻辑就是认识事物的一般过程和基本规律，自主探究活动设计要符合学生的年龄特点和认知水平，数学概念的发展应与学生的认知能力发展相适应，遵循由易到难、由具体到抽象、由简单到复杂、循序渐进的原则。如在函数的学习中，认识“一次函数”在前，认识“反比例函数”和“二次函数”在后，这样的顺序是否符合学生的认知逻辑呢？通过教学实践发现：

八年级的学生认识“反比例函数”“二次函数”是有难度的，难点在于“函数”本身是一个抽象概念，何况二次函数还常常与所学的其他问题综合运用，虽说有之前所学、生活经验的铺垫，也有实际问题的支持，但当中一些反思维及数形结合思想学生还是不易理解。对大部分学生来说，理解“一次函数”比“二次函数”要直观些，也简单些。因此，“一次函数”“反比例函数”是在八年级需呈现一个阶段性的认识，逐步提升发展，所以二次函数及其综合运用内容就编排在九年级中。

到九年级学习了几何图形的相关概念，这是在八年级建构的前概念基礎上进行一个重新加构的过程。通过教学发现在“二次函数”这块概念建立是个难点，教材编者为减轻九年级中内容量的问题，将九上的“反比例函数”下移到八年级，从教学内容量来说是不错的措施，但从实效及知识系统结构上感觉并不是很理想，毕竟学生的抽象思维能力在八年级中还是比较有限的，虽经有老师多方面的引导和帮助，学生还是半惑半解，到了九年级还是需要再建构。

3.重构——从学生主体和概念发展出发重构教学序

了解学生的前概念和“以学为中心”，是对教材进行解构和重构的根本出发点。如何围绕数学概念重构出形式活泼、难度适中、结构合理的探究活动并形成合理的教学序呢？这是我们必须要考虑的。

在活动重构中，我们应遵循的原则是：自主探究活动设计要符合学生的年龄特点和认知特点，站在学生的角度设计教学活动，体现核心概念建构的阶段性和发展性特点。所谓阶段性，是指自主探究活动要符合学生的年龄特征，在不同年级建构的数学概念层次不同，年级越低越要关注具体概念;所谓发展性，是指具体概念要围绕核心概念展开，由浅入深，形成梯度，逐步向核心概念方向发展。

以《一次函数》之“认识函数”教学为例：

（1）创设情境导入主题

同学们，上一节课我们对现实世界数量关系中的常量和变量进行了认识与研究，请同学们看一下材料一中的四个问题，你能说出常量和变量，并把它们用数学表达式表示出来吗？（学生口答，教师板书）。

材料1：①火车以60千米/时的速度行驶，它行驶的路程S（千米）和所用时间t（时）的关系式;

②圆的周长C和半径r的关系式;

③n位同学购买单价为9元/本的教科书，每人一本，总金额y元与的n关系式;

④设地面气温是18℃，高度每升高1千米，气温就下降6℃，高度h千米处的气温t（℃）与h（千米）的关系式。

接下来，我们再来看几个比较复杂的问题，并思考：有几个变量？变量和变量之间有怎样的关系？

关系式 常量 变量

S=60t 60 S，t

C=2πr 2π C，r

y=9n 9 y，n

T=18-6h 18，-6 T，h

设计意图：通过实际生活中的实例，让他们感受到两个变量之间的关系。

材料2：银行对不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是银行2011年最新调整的“整存整取”年利率表：

观察上表，说一说随着存期x的增大，相应的利率y是如何变化的？

如果存期x确定了，年利率y的值确定了吗？此时y的值有几个？

设计意图：利用表格的形式，让他们进一步感受两个变量之间的关系。

材料3：下图是桐庐某天的气温变化图，从这张图上，我们能得出哪些信息呢？

在上图表示的变化过程中，有几个变量？

如果t确定了某个特定的时间，温度T的值是否也确定了？此时温度T的值有几个？

设计意图：让学生感受图象中两个变量之间的关系。

活动分析：在学生汇报过程中，教师完成了引课、设疑、追问的环节，把导入直接引导了本课的主题“函数”上来。学生在自主探究的基础上经过教师的适当引导，自然体会到函数是研究两个变量之间的关系。

（2）分析性讨论建构“函数”

师：在前面的汇报中，同学们都提到“变量”这一概念，其实这个概念在我们上节课中已学过，那么请同学们来说说，这里有几个变量？

生：两个变量（板书：两个变量x，y）

师：两个变量之间有什么关系？

生①：一个变量随着另一个变量的变化而变化。

生②：一个变量确定，另一个变量也确定。

生③：x确定后，y有唯一对应的值。

师：请同学们共同给函数下一个定义。

生：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x和y的每一个值，y都有唯一的值，则称y是x的函数，此时x是自变量，y是因变量。

活动分析：学生数学概念的建构过程历经：“熟悉事物（前概念）→小观念→大观念→更大的观念→理论和原理”这一系统的顺序。因此，要根据学生的经验一步一步拓展他们的观念。学生已经具有常量、变量、对应等前概念，也有函数关系的一些常识和经验。为此，在弄清学生前概念的基础上，充分挖掘学生前概念中可以利用的因素，努力寻找学生前概念与新概念之间的差异与内在联系，为新概念的建立牵线搭桥。从多个角度出发，通过举例、类比、归纳等方法刺激建立大脑皮层的多处兴奋点，以激活学生的思维，充分调动学生的已有经验来逐步构建函数的概念。

（3）数学史解说重构“函数”

数学史解说就是从数学史的角度加以重组前概念，进而概括推理出数学概念的过程。数学发展的历史也是学生数学学习和探究的历程，学生数学探究的历程是数学发展进程的缩影，数学史应该成为学生数学学习之源。

师：同学们知道函数的英文怎么表示吗？是什么意思？

生：函数的英文是function，它的意思是作用、用途。可是，为什么翻译成中文却成了函数？

师：在中国清代数学家李善兰（1811-1882）翻译的《代数学》一书中首次用中文把“function”翻译为“函数”，此译名沿用至今。对为什么这样翻译这个概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”;这里的“函”是包含的意思。其实就代表了数学中的对应法则，通过一定的作用使x映射到y。

生：哦，原来这个“函”通包含的“含”。

活動分析：有意义的学习应该是学生将经验、概念、原理、知识框架建构起联系的过程，也只有在概念之间和概念内建立联系的过程才产生了有意义的学习。本课的数学概念包括常量、变量、对应等，而函数概念是这些具体概念之间的联结点，是学生建立函数概念的焦点。对变量和常量的认识若没有具体条件支持，而采用直接定义的方法，则会由于没有有力的结构支持而使概念的建构缺乏稳定性。函数的发展史使学生对一系列有关函数概念的建立起着关键的支持作用。通过了解函数的由来，提供情景性支持以建构系列概念。

（4）归纳性小结补构“框图”

让学生自主归纳本节课学习的内容及所用的数学思想和数学方法，其他学生补充。

活动分析：逐步培养学生的归纳、语言表达等能力，也提升了学生对学习方法的小结。在小组合作的互助下能对自身原有的知识框图进行重新构建，弥补了知识链的断档。

（5）巩固性作业创构“核心思维”

结合学过的函数相关知识，尝试完成下题。

在国内投寄平信应付邮资如下表：

（1）y是关于m的函数吗？为什么？

（2）分别求出当m=5，10，30，50时的函数值，并说明它们的实际意义。

（3）你能画出y关于m的函数图象吗？（探究活动一）

（4）你能写出y关于m的函数解析式吗？（探究活动二）

设计意图：将所学的知识进行综合运用，并对函数的概念进行拓展。并让学生感受到：函数的三种表示法有时可以互相转化！

选做：观察你生活中所遇到或熟悉的某个变化过程是否存在函数关系，尝试用两个变量来描述。S=60t

活动分析：新课程强调培养学生的创新精神和实践能力，以学生为本，改进学习训练方式、完善学习评价。如何落实减负增效，对学生课外作业的研究和实践也是我们需要积极探索的问题。比如结合生活中的一些实际问题，或者布置“研究性学习”，让学生进行研究性学习，在研究过程中可以更深入地理解数学概念和规律，对培养学生理论联系实际、数学学习的兴趣都非常有效。同时还可以把学生课外活动中的一些设计方案，作为课堂教学的资源，拓宽了课堂教学的时空，整合了课内外的数学资源，改变了作业的内容和形式，使学生的兴趣、能力及探究意识得到培养。

数学概念的建构是一个概念的改变的过程。从学生在教师的引导下回现前概念（包括具体事物的现象及外表特征的感受）开始，进而启动思维，对事物的现象及外表的特征进行分析、抽象、归纳、推理和概况出事物的共性及本质的东西，在探究中认知，在联系中强化，在实践中运用，从而在头脑中建构出对事物认识的数学概念。《义务教育数学课程标准》中提出：数学的学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的探究过程。课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。在数学活动中使自主探究活动的本质加以凸显，学生在自我建构中对数学概念既“知其然”亦“知其所以然”，学生数学思维的发展得到真正的关注。

综上所述，我们认为自主探究活动结构化设计时要处理好以下三个关系：

●要把握課标、教材目标和单元目标的关系。单元设计时了解学生的前概念，关注“数学概念和自主探究”目标指向，向上追溯本单元在全册教材中的位置，向下要了解目标的分解和单元间的结构。

●要把握单元目标和课时目标的关系。单元设计时关注单元导入课、展开课、小结课的不同目标定位，各课之间互相呼应，形成结构化效益。

●要把握活动和活动间的结构关系。单元设计时要体现“知识逻辑”和“认知逻辑”的协调发展，由浅入深，体现活动的结构化效益。

参考文献：

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[2]郑毓信.数学思维与数学方法论[M].四川教育出版社，2001-01.

[3]段永梅.初中数学教学如何利用学生的前概念[J].教育教学论坛，2011（11）.

？誗编辑 孙玲娟