一类含参数的分数阶微分方程边值问题

欧阳敏，钟文勇

(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)



一类含参数的分数阶微分方程边值问题

欧阳敏，钟文勇

(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)

摘要：利用不动点定理，研究一类含双参数的Riemann-Liouville 型分数阶微分方程多点边值问题正解的存在性及正解的重数，建立了边值问题至少存在1个或3个正解的充分条件.

关键词：分数阶微分方程；多点边值；正解；参数；不动点

近年来,分数阶微分方程已在数学、物理、生物、化学等学科及多孔介质、粘弹性材料等工程领域得到了重要应用[1]，分数阶微分方程边值问题(简记为BVP)的理论研究得到学者们的高度关注并获得了很多研究成果.文献[2]研究了一类方程中含单个参数的Riemann-Liouville型分数阶微分方程三点BVP，文献[3]研究了一类边界条件含单个参数的Riemann-Liouville分数阶微分方程四点BVP.目前，含双参数的分数阶微分方程BVP还有待研究.笔者研究以下含双参数的高阶Riemann-Liouville 型分数阶微分方程多点BVP正解的存在性，得到了BVP正解的存在性和多解性的充分条件：

(1)

其中 λ及μ是正参数.

设 B=C[0,1] 表示区间[0,1]上连续函数按上确界范数构成的Banach空间，并作下列假设：

(H2) f:I×[0,∞)[0,∞)是连续函数.

1预备知识

定义1[1]函数y:(0,∞)R的α(α>0)阶分数阶积分定义为

定义2[1]函数y：(0,∞)R的α(α>0)阶Riemann-Liouville型分数阶导数定义为

其中n=[α]+1，[α]表示α的整数部分.

由引理1可得到如下结论：

引理2设g(t)∈C[0,1]，若 (H1) 满足,那么BVP

存在唯一解

格林函数G定义为G(t,s)=G1(t,s)+G2(t,s)，

其中Ei=[0,ξi],χEi是集Ei(i=1,2,…,m-2)的特征函数.

引理3[4]设(H1)和(H4)成立，则对∀t,s∈[0,1]及i=1,2，有Gi(1,s)≥Gi(t,s)≥q(t)Gi(1,s)≥0，其中0

注1应用G(t,s)的定义及引理3容易得到G(1,s)≥G(t,s)≥q(t)G(1,s)≥0,t,s∈[0,1].

(ⅰ) ‖Ax‖≤‖x‖,x∈D∩∂Ω1及‖Ax‖≥‖x‖,x∈D∩∂Ω2；

(ⅱ) ‖Ax‖≥‖x‖,x∈D∩∂Ω1及‖Ax‖≤‖x‖,x∈D∩∂Ω2.

(ⅰ) {x∈(θ,b,d)|θ(x)>b}≠Ø对∀x∈(θ,b,d)有θ(Ax)>b;

(ⅱ) 对∀x≤a,有‖Ax‖

(ⅲ) 若x∈P(θ,b,c)且‖Ax‖>d，则θ(Ax)>b.

其中‖x1‖

注2若d=c,则由引理5条件(ⅰ)可以推出条件(ⅲ).

2主要结果及证明

定义锥D={u∈B|x(t)≥q(t)‖x‖,t∈[0,1]}.显然，对每一个u∈D有‖u‖=u(1).对给定的正数，定义Ωr={x∈B:‖x‖

由引理 1、引理2及注1不难证明以下结论：

引理7若(H1)，(H2)成立，则u∈C[0,1]是BVP(1)的解当且仅当它是算子A的不动点.

现定义几个常数：

并作如下约定:若f∞→∞,则1/βf∞=0;若F0→0,则1/γF0=∞;若f0→∞,则1/βf0=0;若F∞→0,则1/γF∞=∞.

定理1设条件(H1)，(H2)成立.若βf∞>γF0,则对∀λ∈(1/βf∞,1/γF0)及充分小的μ，BVP(1)至少有1个正解.

故引理4条件(ⅰ)满足.即算子A至少有1个不动点，这不动点是BVP(1)的正解.

类似可证明如下结论：

定理2设条件(H1)，(H2)成立.若βf0>γF∞,则对∀λ∈(1/βf0,1/γF∞)及充分小的μ，BVP(1) 至少有1个正解.

定理3设条件(H1)，(H2)成立，且存在正常数a

(ⅰ)f(t,x)

(ⅱ)f(t,x)>Mb,(t,x)∈[η,1]×[b,c];

(ⅲ)f(t,x)≤Lc,(t,x)∈[0,1]×[0,c].

其中

(1-δ)a≤δc+(1-δ)a≤c.

因此引理5条件(ⅰ)成立.由引理5和注2知算子A至少有3个不动点，由引理7可知这些不动点就是BVP(1)的正解.

参考文献：

[1]KILBASAA,SRIVASTAVAHM,TRUJILLOJJ.TheoryandApplicationsofFractionalDifferentialEquations[M].Amsterdam:North-HollandMath.Stud.,ElsevierScienceB.V.,2006:204.

[2]EL-SHAHEDM.PositiveSolutionsforBoundaryValueProblemofNonlinearFractionalDifferentialEquation[J/OL].Abstr.Appl.Anal.,2007，Vol. 2007,ArticleID10368:1-8[2014-09-20].http://www.hindawi.com/journals/aaa/2007/10368/.

[3] 钟文勇.分数阶微分方程非齐次边值问题的正解[J].吉首大学学报：自然科学版,2010(3)：10-14.

[4]ZHONGWenyong.PositiveSolutionsforMultipointBoundaryValueProblemofFractionalDifferentialEquations[J/OL].Abstr.Appl.Anal.,2010，Vol. 2010,ArticleID601492:1-15[2014-09-20].http://www.hindawi.com/journals/aaa/2010/601492/.

[5]KRASNOSEL’SKIIMA.PositiveSolutionsofOperatorEquations[M].Groningen：Noordhoff,1964.

[6]LEGGETTR，WILIAMSL.MultiplePositiveFixedPointsofNonlinearOperatoronOrderedBanachSpaces[J].IndianaUniv.Math.,1979，28：673-688.

(责任编辑向阳洁)

Investigation on Multipoint Boundary Value Problems of Fractional

Differential Equations with Parameters

OUYANG Min，ZHONG Wenyong

(College of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

Abstract:This paper deals with the existence and multiplicity results of positive solutions to the multipoint boundary value problems of Riemann-Liouville fractional differential equations with two parameters.Using fixed-point theorems,some sufficient conditions are obtained to guarantee the existence of at least one or three solutions to the boundary value problems.

Key words:fractional differential equations;multipoint boundary value;positive solutions；parameters;fixed points

作者简介：欧阳敏(1990—),女,湖南益阳人,吉首大学应用数学专业硕士研究生,主要从事微分方程研究；钟文勇(1963—),男,湖南吉首人,吉首大学数学与统计学院教授,博士,主要从事微分方程理论研究.

基金项目：湖南省自然科学基金资助项目(11JJ3007)；吉首大学2014年校级科研项目(JDY048)

收稿日期：2014-12-31

中图分类号：O175.8

文献标志码：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.02.004

文章编号：1007-2985(2015)02-0016-04