“演”活数学模型“变”出数学本质
———《相遇问题》教学实录

王　洁

一、复习导入，激活经验

（小丽每分钟走55米，10分钟到学校。小丽家到学校一共多少米？）

师：你能解决这个问题吗？

生：55×10=550（米）。

师：在解决这个问题时，用到了哪个数量关系？

生：速度×时间=路程。

师：小丽从家到学校的路程，就是小丽10分钟走的路程，所以用速度×时间=路程来计算。这是过去学习的一个物体运动的问题，我们今天一来起研究两个物体运动的问题。

二、情境表演，建立模型

1.模拟两个物体运动的过程，理解相遇问题的基本特征。

（出示：小华和小芳同时从家出发走向学校，小华每分走60米，小芳每分走70米，经过4分钟两人在校门口相遇。他们两家相距多少米？）

第一次表演：初次尝试。

生：我觉得他俩出发的时候不齐，一个先走，一个后走。

师：那应该怎样演？

生：要一起出发。

师：你从哪儿看出来？

生：“同时”，说明两人要一起出发。

生：小华和小芳的速度没演好，应该小华慢一点，小芳快一点，最后还要同时到达。

生：“小华每分走60米，小芳每分走70米”，说明两人的速度不同。

生：“4分钟”，那说明小华走了4分钟，小芳也走4分钟。

生：我觉得“走向学校”也很关键。

师：说明两人的行走方向是怎样的？用一个词表示？

生：“相遇”，最后相遇了。

师：相遇的地点在哪里？

生：学校。

第二次表演：把握关键。

师：学校为什么不在两人正中间？

生：因为小华和小芳都走了4分钟，而小华的速度慢，4分钟走的路程就短一些，小芳的速度快，4分钟走的路程就长一些。

师：首先演出哪个词？

生：同时。

师：接下来要演出哪些关键词？

生：速度，时间。

师：两人的速度不同，时间却都是4分钟，准备怎么演？

生：我觉得可以让小华的一步跨小点，小芳的一步跨大点，每人都跨4步表示4分钟。

第三次表演：“演”“画”结合。

师：请观众们把表演过程记录下来。想一想用什么方法怎样记录既准确又简洁？

生：画线段图。

师：同学们的记录都很有个性，让我们来一起看看。

师：用这种记录方式，你们能看懂吗？有什么要说的吗？

生：记错了，两个人都走了4分钟，他两边都画了3个箭头，只记了3分钟。

师：看得真仔细，记录的时候准确是前提。

师：这里的 1、2、3、4 的小格子是什么意思？

生：小华那边的小格子表示小华的速度，小芳那边的小格子表示小芳的速度，1到4表示走了4分钟。

生：图画得很好，但是小华和小芳的速度不知道。

师：说得对。记录的时候要不仅要把图画准确，还要尽可能把速度、时间等关键信息记下来。

师：再看这位同学记录的，位置正确吗？关键信息都有吗？

师：对比三种方法，你喜欢哪种？理由是什么？

生：第三种。因为第三种记得对，而且把关键的信息都记下来了。

师：是的，画线段图的时候要将题中的出发点、相遇点、关键的条件和问题都表示清楚。

2.解决问题：明晰道理。

师：看着图，你能分析数量关系并解答吗？

生：70×4+60×4=280+240=520（千米）。

师：70×4 算的什么？60×4呢？280+240指什么？

生：280是小芳4分钟走的，240是小华走的，把它们加在一起就是一共走了多少米，也就是他们两家的距离。

生 ：（70+60）×4=130×4=520（千米）。

师：70+60算的是什么？

生：70+60算的是小华和小芳1分钟一共走了多少米。

师：为什么还要乘4？

生：因为走了4分钟，就是4个130米。

师：70是小芳的速度，60是小华的速度，把两个速度合起来，就是两人的速度和。他们一起从出发到相遇，共走了几个速度和？

生：4个速度和。

师：仔细对比一下，观察两种算式，你想到了什么？

生：乘法分配律。

师：看来，解决这样的问题时，我们可以应用乘法分配律由一种方法得到另一种方法。

师：像这样，两人所走的路程和就等于相距路程的问题，称为相遇问题。（板书课题）

师：回顾解决问题的过程。你觉得解决相遇问题的过程中，哪个环节让你印象深刻？解决问题的过程中又是什么给了你帮助？

生：我感觉表演印象很深，因为表演很有趣，还帮助我们找到了关键信息。

生：画了图列算式更方便。

师：通过表演，抓住了题中的关键信息；通过画线段图，找准了数量关系；通过分析线段图，找到不同的解题方法，还发现它们之间的联系。学习就是这样一个不断深入的过程。

三、变式辨析，深入理解

1．线段图变式。

师：这是刚才的线段图。什么变了？什么没变？

生：方向变了，速度和时间没变。

师：刚才两人是相对而行，现在呢？

生：现在是相反而行。

师：也可以称为相背而行。什么时候两人会相背而行？

生：放学的时候。

2．对比深化。

师：（出示两幅图）两个故事，两幅图，有什么相同的地方和不同的地方？

生：速度和时间是一样的，问题也一样，但是走的方向不一样。

生：算式是一样的。

师：行走方向不一样，为什么解答方法是一样的？

生：因为条件没变，问题也一样。

生：因为都是求两人一共行多少米。

师：虽然两个故事中两人行走方向不同，但是数量关系是一样的，都是把两人行走的路程相加求路程的和。（手势比划）所以这样的相背问题也属于相遇问题的范围。

3．简化线段图。

师：（将题中的问题改成经过30分钟，两人相距多少米）还是放学的故事，什么变了？

生：时间变了。

师：30分钟怎样在线段图上表示出来？

生：画30个小格子。

生：我不同意，这样太麻烦了，可以先每人画一个格子，中间用省略号，就不用一个一个都画出来了。

生：可以把小格子去掉。

师：好主意，这样清楚又简洁。瞧，现在我们得到了一张比较简洁的线段图。其实线段图的画法没有统一的格式，只要基本能将学校、小芳家、小华家的位置关系、条件和问题准确、合理、简单地在图上表示出来就可以了。

师：看着图能列出算式吗？

生：60×30＋70×30=1800+2100=3900（米）。

生：（60＋70）×30=130 ×30=3900（米）。