指数函数在迭代下轨道的极限

成凯歌

(浙江旅游职业学院 基础部,浙江 杭州 311231)



指数函数在迭代下轨道的极限

成凯歌

(浙江旅游职业学院 基础部,浙江 杭州 311231)

摘要：对函数迭代的研究是离散动力系统的主要内容之一.对于低次的迭代问题往往不会复杂，但当迭代的次数较高或迭代次数不断增加时，会出现意想不到的的情况.指数函数作为重要的基本初等函数之一，通过对它的迭代在迭代次数不断增加时出现的结果进行研究，获得了过定义域中每一点的轨道性质以及轨道在迭代次数趋向无穷大时的极限状态.

关键词：指数函数；迭代；不动点；2-周期点；轨道

对于给定函数f(x)， 要考虑其低次迭代譬如f(f(x)),f(f(f(x)))是比较容易的，但更高次的迭代不仅函数的性质会出现复杂的情况， 而且会出现许多意想不到的结果.数学中研究的迭代反映了现实生活中的常见现象， 因为许多现象本身就是迭代或者都可以用迭代解释， 如植物的生长过程、动物的繁殖等现象都可以用迭代进行研究，所以对映射迭代的研究构成了离散动力系统的主要内容.另外，计算机的运行就是迭代， 所以对迭代研究也促使了计算机技术的飞速发展.上世纪50年代以来,在迭代的研究方面取得了很多重要的成果[1-8].在大学高等数学中, 迭代问题尽管常常遇到,但具体的常见函数迭代的研究涉及不多.本研究将讨论指数函数的迭代， 进一步研究指数函数在迭代的次数不断增大时的极限状态.

1有关的定义及定理

定义1[9]设f:I→I是一个自映射，那么对∀x∈I，f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),…都是有意义的.记：

f0(x)=x,fn(x)=f(fn-1(x))，则fn(x)对一切非负整数n都有意义.fn(x)称为f(x)的n次迭代函数， 简称为f(x)的n次迭代，其中n称为迭代指数.

定义2[9]设ξ∈I,如果f(ξ)=ξ，则称ξ是f(x)的一个不动点.

定义3[9]设ξ∈I,如果f(ξ)≠ξ，但f2(ξ)=ξ，则称ξ是f(x)的一个2-周期点.

定义4[10]设x0∈I, 则：

x0,f(x0),…,fn(x0),…，称为f过点x0的正半轨道, 简记为{fn(x0)}.如果f:I→I是可逆映射, 那么：

…,f-n(x0),…,f-2(x0),f-1(x0),x0,f(x0),…,fn(x0),…，称为f过点x0的轨道；而：

…,f-n(x0),…,f-2(x0),f-1(x0),x0，称为f过点x0的负半轨道.由不动点的定义可得：

定理 1若ξ是f(x)的不动点，那么，对任意正整数n，ξ也是fn(x)的不动点.

2指数函数迭代的讨论

函数f(x)=ax(a>0,a≠1),x∈(-∞,+∞)称为定义在(-∞,+∞)上的指数函数.

2.1当a>1时指数函数的迭代

由定理2可得如下推论.

定理3设f(x)=ax(a>1), 则:

①对任意正整数n,fn(x)在(-∞,+∞)上严格递增.

证明结论①显而易见.

(1)

ξ1=f(ξ1)

进而，对任意正整数n，有:

ξ1

2.2当0

定理4当0

证明令F(x)=ax-x，则有：

由ax>0以及lna<0，得对∀x∈(-∞,+∞)，有F'(x)<0.所以，函数F(x)=ax-x在(-∞,+∞)上严格递减.注意：

推论2当0

事实上，由定理4的证明，可知：

F(0)=1>0,F(1)=a-1<0.

根据介值定理得函数F(x)=ax-x有唯一零点属于区间(0,1)，即函数f(x)=ax的唯一不动点属于区间(0,1).

定理5设f(x)=ax(0

①对任意正整数n，f2n-1(x)在(-∞,+∞)上严格递减，而f2n(x)在(-∞,+∞)上严格递增.

证明①对正整数n=1，因为f2n-1(x)=f(x)，所以，在n=1时，f2n-1(x)在(-∞,+∞)上严格递减成立.假设n=k，即f2k-1(x)在(-∞,+∞)上严格递减成立.对任意x1,x2∈(-∞,+∞),在x1f(x2).进而有:

f2(x1)=f(f(x1))

可得：

f2k+1(x1)=f2k-1(f2(x1))>f2k-1(f2(x2))=f2k+1(x2).

这表明f2k+1(x)在(-∞,+∞)上严格递减.由归纳法得，对任意正整数n，f2n-1(x)在(-∞,+∞)上严格递减，至于f2n(x)在(-∞,+∞)上严格递增可类似证明.

②首先指出对∀x∈(-∞,+∞)，有f2(x)∈[0,1].事实上，注意到0<ξ<1，一方面，有f((-∞,0))=(f(0),+∞)=(1,+∞)，以及：

f((1,+∞))=(0,f(1))⊂(0,f(ξ))=(0,ξ)⊂[0,1].

另一方面，又有：

f([0,1])=[f(1),f(0)]⊂(0,1]⊂[0,1],可知f(x)在区间[0,1]上是一个自映射，所以，有：

f2(x)∈[0,1],∀x∈(-∞,+∞)

(2)

假设x∈[0,ξ)，那么ξ

假设f2(x)

0≤f2n(x)

ξ

由于：

(3)

(4)

可得A=f2(A),B=f2(B)，从而f(x)=ax存在2-周期点，和已知矛盾，所以，只能有f2(x)>x，从而得ξ

(5)

由上述可得：

(6)

参 考 文 献

[1]H J Hamilton.Roots of equations by functional iteration[J].Duke Mathematical Journal,1946,13(1):113-121.

[2]M Kuczma.Functional Equations in a Single Variable[M].Warsaw:Polish Scientific Publishers,1968:288-307.

[3]Dunn K B,Lidl R.Iterative roots of functions over finite fields[J].Mathematische Nachrichten,1984,115(1):319-329.

[4]何连法,牛东晓.一类上自同胚的迭代根[J].数学研究与评论,1991,11(2):305-310.

[5]Bogatyi S.On the nonexistence of iterative roots[J].Topology & Its Applications,1997,76(2):97-123.

[6]孙太祥,席鸿建.区间上N 型函数的迭代根[J].数学研究,1996,29(2):40-45.

[7]Cheng R,Dasgupta A,Ebanks B R,et al.When f-1=1/f[J].American Mathematical Monthly,1998,105(8):704-717.

[8]S J Greenfield,R D.Nussbaum.Dynamics of a quadratic map in two complex variables[J].Journal of Differential Equations,2001,169(1):57-141.

[9]张景中,杨路.论逐段单调连续函数的迭代根[J].数学学报,1983,26(4):398-412.

[10]张景中,熊金城.函数迭代于一维动力系统[M].成都:四川科技教育出版社,1992:8-36.

(责任编辑黄小荣)

Limit of Orbit of Exponential Function under Iteration

ChengKaige

(Department of Basic Sciences,Tourism College of Zhejiang,Hangzhou Zhejiang 311231)

Abstract：The study of iteration of the function is one of the important issues in the discrete dynamical system.The iterative problem of low degree is not complex,but when the degree of iteration is higher,or iterative times increasingly grow,the unexpected things will happen.The exponential function is one of the important basic elementary functions,through the study of the iteration based on results obtained when iterative times increasingly grows iteration,the relevant properties of the orbit of every point in its domain and the limit of its orbit have been obtained.

Key words：exponential function;iteration;the fixed point;2-periodic point;orbit

中图分类号：O29

文献标识码：A

文章编号：2095-4565(2016)01-0028-05

doi:10.3969/j.issn.2095-4565.2016.01.007

作者简介：成凯歌，讲师，本科。

收稿日期：2015-11-17