静止轨道卫星高精度悬停编队最优滑模控制器设计*

孙炳磊，贺亮，韩飞，3，宋婷

(1.上海航天控制技术研究所，上海201109;2.上海市空间智能控制技术重点实验室，上海201109; 3.哈尔滨工业大学，哈尔滨150006)

静止轨道卫星高精度悬停编队最优滑模控制器设计*

孙炳磊1，2，贺亮1，2，韩飞1，2，3，宋婷1，2

(1.上海航天控制技术研究所，上海201109;2.上海市空间智能控制技术重点实验室，上海201109; 3.哈尔滨工业大学，哈尔滨150006)

针对静止轨道上卫星悬停编队问题，考虑空间摄动力及测量误差，建立卫星编队的相对运动模型.根据上述模型，取优化指标函数，将跟踪问题转化为LQR问题，求得最优控制解.综合滑模控制方法，提高最优控制解的鲁棒性，并用Lyapunov第二法证明最优滑模控制器的全局渐近稳定，进行仿真验证.结果表明，所设计的最优滑模控制器对静止轨道卫星编队控制性能优于LQR控制，在200 m的编队距离，相对位置控制精度达到毫米量级.

悬停编队;静止轨道;LQR;最优滑模

0 引言

随着高精度对地观测领域兼顾高时间分辨率和高空间分辨率的需求，发展静止轨道高分光学观测系统已经获得极大关注，尤其是新型薄膜衍射成像光学技术的发展提供了重要的实现途径.美国MOIRE计划即是在静止轨道部署衍射成像空间望远镜，通过单星薄膜光学展开及支撑的方式实现“静止轨道米级”分辨率，但由于支撑距离大，存在大型柔性体控制难题.在大型空间望远镜构建方面，ESA习惯利用精密编队技术来实现，例如Proba-3计划［1］，在大椭圆轨道远地点通过双星精密编队，实现日冕观测，其优点在于可通过编队尺度变化实现焦距可调，且可实现多目标观测.综合上述方法，在静止轨道通过目标星(目镜航天器)和追踪星(物镜航天器)精密编队实现径向悬停，从而满足静止轨道高分对地观测.“悬停轨道”［2］是指在连续小推力的作用下，追踪星相对于目标星在一段时间内相对位置保持不变的轨道.由于编队相对动力学的非线性和空间摄动存在的不确定性，要求控制算法具有一定的鲁棒性.且航天器在轨受到的摄动力是连续的，因此高精度的悬停轨道，只能利用连续小推力来实现［3］.

国际上很多学者对最优控制理论在编队中的应用进行了研究.Vassar等［4］基于相对运动动力学模型设计LQ控制器.薛白等［5］采用LQR最优控制方法设计航天器闭环悬停控制律.然而最优控制要求精确的系统模型，其鲁棒性不足.滑模控制器对于非线性系统具有较好的鲁棒性.Yeh等［6］设计卫星编队的滑模控制器，同时优化了阻尼率、带宽和推力等参数.Liu等［7］在干扰有界情况下，提出终端滑模控制器，实现了刚体航天器编队的相对运动控制.本文结合最优控制理论的优点以及滑模控制的鲁棒性，设计最优滑模控制器.

1 悬停编队相对运动模型

建立卫星编队相对运动模型.假设目标星运行在静止轨道，追踪星以给定的轨迹跟踪目标星.目标星和追踪星都以质点来考虑.

坐标系的定义如下:

(1)地心惯性坐标系O-XYZ:原点位于地心O，X轴在赤道面内从地心指向春分点，Z轴垂直于赤道面指向北极，Y轴与X和Z轴构成右手坐标系.

图1 坐标系示意图Fig.1Reference frame

(2)运动轨道坐标系o-xyz:原点位于目标星质心o，x轴沿半径向外，y轴与x轴相垂直且指向目标星当地地平方向，z轴与x和y轴构成右手坐标系.

假设目标星不受主动控制力作用，仅受地球引力及空间摄动影响.追踪卫星受主动控制控制力作用，相对于目标星的相对轨道动力学模型为

其中，rt为目标星绝对位置矢量，rc为追踪星绝对位置矢量，相对位置矢量ρ=rc－rt，rt和rc分别为地心到目标卫星和追踪卫星的距离，mt和mc分别是目标卫星和追踪卫星的质量，dt和dc分别是目标卫星和追踪卫星受到的外部摄动力，u为施加在追踪卫星上的主动控制力，μ为地球引力常数.

将式(1)投影到o-xyz系下，得

将轨道坐标系各分量形式代入式(2)中可得

2 最优滑模控制器设计

C-W方程的状态空间形式如下:

在静止轨道上，主要的空间摄动有非球形摄动、日月引力和太阳光压.这些扰动项可认为是有界的［8］，即

其中fi=2×10－4m/s2.

设期望状态变量为Xd，则

定义跟踪的误差为e=y－yd.

取优化指标函数:

其中，Q∈R6×6是一个半正定矩阵，R∈R3×3是一个正定矩阵.

为将最优跟踪问题转换成LQR问题，将系统(5)和(8)组合成增广系统，状态空间表达式如下:

则式(9)转换成:

最优跟踪问题转化为LQR问题［9］，求解式(11)的极小值即可得到最优控制律

忽略扰动项，增广系统状态空间表达式如下:

式中，P是Riccati方程的解，即

如果系统不存在扰动，传统的最优控制律就能使系统渐近稳定并达到理想的跟踪性能.但由于存在外部扰动，系统状态轨迹将偏离最优轨迹，甚至发散.本文将结合积分滑模控制［10］，提高最优控制结果的鲁棒性.

根据增广系统和控制律，设计滑模面表达式［9］:

其中，W∈R3×12，要满足是非奇异的是初始状态变量.

对式(15)求导得

为满足系统的鲁棒性，将控制律改成:

其中，K=diag{k1，k2，k3}是不确定性和外部扰动的增益矩阵，

利用Lyapunov第二法证明系统稳定性.Lyapunov方程如下:

求导得

为了消除抖振，采用饱和函数来代替符号函数.控制器如下:

其中，

饱和函数sat(si，ε)如下:

其中ε是消抖界宽.

3 仿真算例

在仿真验证中，本文选取静止轨道卫星编队.在静止轨道上空间摄动力主要有地球非球形摄动、日月引力摄动和太阳光压等.

静止轨道上地球非球形摄动主要考虑J2带谐项摄动以及J22田谐项摄动［11］，主要的摄动力量级如表1所示［3］.

表1 GEO主要摄动量级Tab.1Magnitude of the main perturbations in GEO

由表1看出，J2项摄动、日月引力摄动量级相对较大.J22项主要影响轨道的切向运动，对静止轨道卫星的位置保持影响较大.针对空间望远镜的大面积衍射(或干涉)镜片，太阳光压产生的摄动力较常规卫星更大.因此，在静止轨道主要考虑J2项、J22项、日月引力和太阳光压摄动.

目标星的参考轨道:a=42 164.5 km，e=1×10－5，i=ω=Ω=f=0 rad.

追踪星在目标星轨道系下的期望位置为Xd=［200m，初始的相对位置为

假设追踪星质量500 kg，追踪星仅使用电推进器进行轨道控制，产生的最大推力为20 mN.

假设大面积镜片为圆形，面积为A=10 m2.

则控制参选取如下:

取相对位置的量测噪声为10－4以下的高斯白噪声，仿真结果如图2～4所示.

图2 最优滑模控制和LQR控制的相对位置控制曲线Fig.2Relative positions under optimal SMC and LQR

由图2可得，最优滑模控制在1 600 s左右达到三轴稳定，且x轴没有超调，LQR控制x轴在2 000 s左右达到稳定，而y轴在3 300 s左右才达到稳定，且超调量较大.

由图3得，最优滑模控制器得到x轴和y轴控制精度达5×10－4m，z轴控制精度在3×10－4m，而LQR控制除了z轴控制精度略高于最优滑模控制以外，x轴和y轴均比最优滑模控制差.

由图4可得，由于x轴和y轴的相对运动存在耦合，x轴的相对位置调整时，y轴的相对位置跟随产生一定的变化.在存在模型及测量不确定性的情况下，由于最优滑模控制对于不确定性不敏感，所以燃耗比LQR控制更低.

图3 稳定时最优滑模控制和LQR控制相对位置曲线Fig.3Relative positions under optimal SMC＆LQR in stable phase

图4 最优滑模控制和LQR控制的控制加速度Fig.4Accelerations under optimal SMC and LQR

4 结论

本文针对对地观测卫星悬停编队，设计了一种最优滑模控制器.该控制器基于C-W方程进行设计，同时考虑空间的非线性扰动项.针对静止轨道卫星，空间摄动项包含地球非球形摄动(J2、J22)、日月引力摄动和太阳光压等.首先，将最优跟踪问题转化为LQR问题，求解得最优控制解，然后综合积分滑模控制方法来提高最优控制解的鲁棒性.接着，用Lyapunov第二法证明系统的全局稳定.最后，通过仿真验证，最优滑模控制器的三轴稳态控制精度达5×10－4m，控制精度、收敛时间和燃料消耗均优于LQR控制.

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［3］汤国建.小推力轨道机动动力学与控制［M］.北京:科学出版社，2013.

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［11］章仁为.卫星轨道姿态动力学与控制［M］.北京:北京航空航天大学出版社，1998.

Optimal Sliding Mode Control for Geostationary Satellite High-Precision Hovering Formation Flying

SUN Binglei1，2，HE Liang1，2，HAN Fei1，2，3，SONG Ting1，2
(1.Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology，Shanghai 201109，China; 2.Shanghai Key Laboratory of Aerospace Intelligent Control Technology，Shanghai 201109，China; 3.Harbin Institute of Technology，Harbin 150006，China)

For the geostationary orbit hovering formation problem，a relative motion model of satellite formation is established with the spatial perturbation and measurement error.According to the model，a tracking problem is transformed into LQR problem based on the optimal function.An optimal control solution is obtained by solving the LQR problem.Then a sliding mode control(SMC)is used to make the optimal control result more robust.The stability of the close－loop system is guaranteed by Lyapunov’s Direct Method.Finally，the performance of optimal SMC is compared with LQR controller and the former is proved to be better.It achieves a millimeter precision for the formation at 200m.

hovering formation;geostationary orbit;LQR; optimal SMC

V412.4

1674-1579(2016)06-0009-05

10.3969/j.issn.1674-1579.2016.06.002

孙炳磊(1992—)，男，研究生，研究方向为导航、制导与控制;贺亮(1978—)，男，研究员，研究方向为导航、制导与控制;韩飞(1985—)，男，高工，研究方向为空间操控技术;宋婷(1984—)，女，高工，研究方向为卫星姿态控制技术.

*国家自然科学青年基金资助项目(11302127).

2016-07-26