寻根源找对策，提高课堂教学质量

郑欲晓 朱志明

[摘 要]运算定律是小学数学的重要内容。要提高运算定律的教学质量，教师既应寻根源找对策，注重运算定律之间的联系，引导学生利用多元表征理解运算定律，又要重视归纳应用与说理相结合，使学生更好地理解算法和算理。

[关键词]数学教学 运算定律 多元表征 乘法分配律 算理 算法

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）17-030

运算定律的作用不可小觑，一方面对帮助学生更好地理解算法和算理具有十分重要的作用；另一方面，就数学本身而言，无论是数集的扩充，还是从算术到代数的发展，都离不开对运算定律的归纳和总结。 但在实际教学中，学生学习运算定律的情况并不理想，这是为什么呢？下面，笔者根据学生对一道抽测题的答题情况，谈一些粗浅的想法，并与同行研讨。

案例回顾：

在我区小学毕业生数学检测题中，有0.4×（2.5×12.5）这样一道运用乘法交换律和乘法结合律解答的计算题，命题者本想将其作为送分题，但结果大出意料，全区3200名考生，得分率只有73.1%，这道题竟成为学生主要的失分题。学生的主要错误是把原题转化为（0.4×2.5）×（0.4×12.5）来进行计算，这说明为数不少的学生把乘法的结合律与分配律混淆。同时，这从另外一个角度也说明，乘法运算定律的学习对学生来说不是一件容易的事，必须引起我们教师的高度重视。

原因分析：

为什么学生容易把乘法的结合律与分配律混淆呢？从学生的层面分析，可能是粗心，也可能是他们只知乘法分配律的形式——“括号外面有一个乘数，括号里面有两个数”，而不知其本质（乘法和加法两种不同的运算形式）——“括号外面有一个乘数，括号里面有两个相加的数”；从教师的层面分析，只关注本节课知识的单一传授，忽视了知识间的内在联系。如教学乘法分配律时，很少有教师把乘法的分配律与结合律进行对比分析，导致学生不知道它们的区别在哪里，而且教师只关注学生对运算定律字母表达式的简单记忆，忽视了引导学生对运算定律多元表征的理解，特别是忽视了让学生用自己容易表达的方式去理解。此外，教师只注重对运算定律的抽象归纳，忽视了学生的说理体验。

教学建议：

根据上述分析，下面以乘法分配律为例，谈谈运算定律的教学建议。

1.注重运算定律间的联系

教师应清楚地认识到，帮助学生真正地认识各个运算定律之间的联系和区别，有利于学生通过已知的运算定律，掌握新的运算定律，加深对已知运算定律的理解，从而促进学生的知识“连点成线”“织线成网”。如教学乘法分配律时，教师可设计一个让学生比较乘法的分配律与结合律异同的教学环节：运用乘法结合律（a×b）×c=a×（b×c）的前提是三个数连乘，结论为可以是前面两个乘数先乘，也可以是后面两个乘数先乘，其结果相等；而乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c虽然也有三个数，但它是有乘有加的，其结论是两个数的和乘第三个数的积等于这两个数分别乘第三个数积的和，故乘法分配律也可以说成是乘法对加法的分配律。如果学生将这一认知在头脑中深深地扎根的话，就不至于把乘法的分配律与结合律混淆。这里需要说明的是，比较乘法的分配律与结合律不能局限于语言表征和符号表征，教师还可以运用说理比较的方法进行引导，甚至到了六年级总复习时，可以拓展到图像表征的比较。

2.注重通过多元表征理解运算定律

美国学者莱许等曾借助图形（见图1）来说明数学概念的发展过程：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表达方式，如图像、书面语言、现实情景等，同样也发挥了十分重要的作用。”这一论述为我们的概念教学指明了方向：教师在教学中不应强调其中的任一方面，而应更加重视对于各个方面的联结，帮助学生能够依据情况与需要，逐步学会在这之间灵活地进行转换。

如在乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c的教学（包括练习课、复习课）中，教师应有意识地应用多种不同的表征形式，引导学生真正理解所学的运算定律。

（1）情境表征：如“王阿姨的服装店要进一批运动装，其中上衣每件55元，裤子每条35元。购买50套运动装共需要多少元”等问题。

（2）操作表征：让学生举例计算（a+b）×c和a×c+b×c的结果，然后引导他们通过比较发现所求的关系。

（3）符号表征：（a+b）×c=a×c+b×c。

（4）图像表征：利用右图（见图2），让学生建立乘法分配律的图形原型。

（5）语言表征：用文字语言总结规律，即“两个数的和乘第三个数的积等于这两个数分别乘第三个数积的和”；用图形语言理解规律，即“从左到右分配进去（见图3），从右到左把相同的c提取出来（见图4）”。这里，后一种表征为学生中学学习提取公因数打下基础。

3.注重归纳应用与说理相结合

在数学教学中，对运算定律的探究一般是引导学生采用不完全归纳法，即通过几个例子的计算，归纳出一般的结论。因此，在大多数教学乘法分配律的课堂上，有一个让学生举反例的环节。如在学生半信半疑时，教师会通过提问“你能找到反例吗”，让学生找反例。在学生思考、探索后，教师再问学生：“有没有找到反例？”学生说：“没有找到！”于是，教师进行小结“没有找到反例，说明这一猜想是正确的，是一个规律”，然后归纳出结论。事实上，一节课内找不到反例，不能说明就没有反例。要让学生信服，最好的办法是让学生说理。先说具体的，如（35+55）×50=35×50+55×50，左边算式的括号里是90，90×50表示有90个50，右边算式的35×50表示有35个50，55×50表示有55个50，加起来正好是90个50；再说一般的，如（a+b）×c=a×c+b×c，左边算式（a+b）×c表示有（a+b）个c，右边算式的a×c表示有a个c，b×c表示有b个c，加起来正好是（a+b）个c。另外，通过这样的说理，还起到了促进学生对乘法分配律理解的作用。

总之，提高运算定律的教学质量，教师既应寻根源找对策，注重运算定律之间的联系，引导学生利用多元表征理解运算定律，又要重视归纳应用与说理相结合，使学生更好地理解算法和算理。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 刘福林.论运算律的意义与教学[J]. 小学数学教师，2014（1）.

[2] 郑毓信.多元表征理论与概念教学[J]，小学数学教育.2011（10）.

（责编 杜 华）