变式串、解法串让数学课堂展开思维的翅膀

汤爱尧 杨子林

摘 要：问题串、变式串是对某些数学概念、数学方法、数学思想而搭建的一个个呈现出内在联系与逻辑关系的系列问题。它可以使学生一步步深入理解数学概念的本质、数学方法的步骤以及数学思想的精髓。对此，数学教师更应该解放思想，鼓励学生课堂上参与变式设计，充分参与课堂，从而真正提高课堂教学效率。

关键词：问题串；变式串；解法串；高效课堂

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）31-0124-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.31.080笔者所在学校是一所省级示范性高中，近年来学校大力开展“诱思探究之高效课堂教学研究”的国家级重点课题研究。2011年11月下旬，全校开展了一系列高效课题专题研讨活动，笔者作为研究员，针对在章末复习课中如何体现新课标要求，有效渗透新课程理念，转变课堂教学模式，提高课堂教学效率进行了专题发言，并承担了一节研讨课。下面是笔者对本节课的实录与反思。

一、教学实录

教师：今天我们从课后作业中的一道题说起，进而探究一类圆锥曲线最值问题的解法。

题目：已知点P（x，y）在椭圆2x2+3x2=6上，求x2+y2的最大值与最小值。

教师：同学们小组内交流一下这道题的解法，看看能探讨出多少种解法？看哪个小组的解法最都多？

在平时的课堂教学中，我采用小组合作探究，小组间互评（即小组间相互攻击：质疑、纠错与完善，互评时可以口头表述、板演、解题过程利用实物投影仪展示等方式）的学习方式教学。

教师给出题目几分钟后便有小组1展示了如下分析：

方法一：把x2+y2看作二元函数，可以把二元函数问题转化为一元函数问题，即Z=x2+y2=x2+x2+2，因为P（x，y）在椭圆2x2+3x2=6上，所以，因此函数的最大值为3，最小值为2。

方法二：解决解析几何问题有两种方法：代数法和几何法。方法一是从代数角度出发，利用函数思想解决问题。本题还可以从几何角度出发，利用x2+y2的几何意义来解决，x2+y2可以看做是点P（x，y）到原点的距离的平方，而最大值和最小值分别在长轴和短轴的顶点处取得。

小组2（抢过话题）：可以把Z=x2+y2成是以原点为圆心为半径的圆的方程，x2+y2的最值可以转化为求该圆半径的最大值与最小值。

学生都露出了赞许的微笑。

小组3（抢过话题）：可以用三角换元。

这时好多学生露出了疑惑的表情。这时我示意该同学停下，在课件上展示了以下几个问题：

请同学们回顾：什么是换元法？换元法的实质是什么？（换元法是初高中教材衔接的重要内容，高一课堂上已进行多次介绍与渗透）下面两个问题能不能用换元法解决？

1. 已知x2+y2=1，求x+y的最大值与最小值。

2. 已知x2+y2=4，求x+y的最大值与最小值。

此时，学生展开了热烈的讨论。几分钟后，学生就统一了认识。我选了两位学生在草纸本上的解题过程利用实物投影仪进行了展示。

在这里我只选第1题的解题过程：设x=sin？琢，y=cos？琢，其中？琢∈R，则x+y=sin？琢+cos？琢=sin（？琢+？准），所以x+y的最大值为，最小值为

针对解题过程中角？琢的取值范围，教师提出问题：其中？琢∈R改为？琢或？琢∈0，？仔或？琢∈0，2？仔行不行？为什么？通过这个问题使学生进一步理解换元法的实质是等量代换。

同时请刚刚回答问题的学生在黑板上展示解题过程：

解：由2x2+3x2=6可得2+2=1，设

cos？琢，=sin？琢，即x=cos？琢y=sin？琢，其中？琢∈R，则x2+y2=3cos2？琢+2sin2？琢=2+ cos2？琢

所以x2+y2的最大值为3，最小值为2。

教师：刚才的探究过程对大家一定很有启发，请问那一个小组的同学可以将这道题稍作改变，编出几道类似的最值问题考考其他小组的同学？

一听这话，学生的兴致马上提了起来，展开了讨论。不一会便有小组跃跃欲试，举手发言。等到大多数小组举起了手，教师请小组发言人相继到黑板上板演问题，经整理如下：

1. 求x+3y的最大值与最小值。

2. 求的最大值与最小值。

3. 求xy的最大值与最小值。

4. 求x2+y2-2x的最大值与最小值。

5. 求点P到椭圆的左焦点的最大距离与最小距离。

6. 求点P到直线x+y-10=0的最大距离与最小距离。

7. 已知点P（x，y）在双曲线2x2-3y2=6上，求8x2+y2的最小值。

8. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，求PF1·PF2的最大值与最小值。

9. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，则点P在何处时∠F1PF2最大？△F1PF2面积最大？最大值分别是多少？若椭圆的左右顶点分别为A1，A2，则点P在何处时∠A1PA2最大？

在第9题解决完后，教师设问：请同学们总结一下，求二元函数最值的方法有哪些？

1. 二元函数问题转化为一元函数问题。

2. 利用均值不等式。

3. 利用三角换元。

4. 利用数形结合。（1）利用线性规划；（2）利用式子的几何意义。

在教师引导下，学生还归纳出椭圆中的几个有关最大值与最小值的结论：（1）椭圆上的点到焦点的距离的最大和最小的点在椭圆的长轴的两个端点上。（2）椭圆上的点到中心的距离的最大（最小）的点在椭圆的长（短）轴的两个端点上。（3）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，则点P在短轴的端点处时∠F1PF2最大、△F1PF2面积最大。（4）若椭圆的左右顶点分别为A1，A2，则点P在短轴的端点处时∠A1PA2最大。

复习课中的问题串、变式串，是对某些数学概念、数学方法、数学思想而搭建的一个个呈现出内在联系与逻辑关系的系列问题，它可以使学生一步步深入理解数学概念的本质、数学方法的步骤以及数学思想的精髓。新课标教材中的许多例、习题本身就是或“知识”上的或“思想方法”上的一系列变式串，更有许多例、习题通过变式引申出了一系列经典高考试题、培训题，这需要教师精心挖掘和积累。教师平时应对一些例题、习题细心把玩，研究题目的条件和结论，解决问题时采用的策略和方法，并在此基础上，或进一步推广、或增加条件、或减少条件、或改变条件或改变结论等，或从系列知识为背景、或以思想方法为主线推陈出新编制一些变式题目。著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”“一个专心的、认真备课的教师，能够拿出一个有意但不复杂的问题，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这个问题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”其实，教师更应该解放思想，鼓励学生课堂上参与变式设计，就会惊奇地发现学生居然有这么好的创造力，从而获得意想不到的收获。