金属橡胶非线性减振系统混沌特性研究

李玉龙， 白鸿柏， 何忠波

(军械工程学院， 河北，石家庄 050003)



金属橡胶非线性减振系统混沌特性研究

李玉龙， 白鸿柏， 何忠波

(军械工程学院， 河北，石家庄 050003)

对金属橡胶非线性减振系统的混沌特性进行了研究，建立了系统的力学模型，对减振器进行了静、动态试验，识别了减振器的各参数，通过求解系统响应随激励参数变化的分岔图，确定了系统产生混沌时激励力和频率的取值，采用Runge-Kutta法求解并绘制了系统的位移时间历程图、相图、Poincaré映射图和频谱图，计算了Lyapunov指数最大值，并在Adams软件环境下进行了仿真试验验证，证明了金属橡胶非线性减振系统具有混沌振动特性.

金属橡胶；非线性；减振；混沌

金属橡胶是一种经特殊工艺将一定质量的金属丝有序地排放在模具中，通过冲压或碾压成型的方法制成的弹性多孔金属材料. 其内部有很多孔洞，既呈现类似橡胶材料的弹性和阻尼性能，同时又保持金属的优异特性. 该材料在工程应用中表现出明显的非线性动力学特性[1-2]. 由于混沌是非线性动力系统的一种特有的运动形式，金属橡胶非线性系统必然也产生混沌[3]. 在对金属橡胶进行减振设计与分析时，必须充分考虑减振材料的非线性因素，并对减振系统混沌振动的有关问题进行研究. 查阅文献可知，目前对金属橡胶减振系统混沌研究的成果很少，仅有文献[3]用数学方法推导了其产生混沌的解析条件，该文献的研究是建立在系统的一次谐波解上，而非线性系统的响应却存在多谐波频率成分[4]，因此该方法有待进一步的研究. 但是，混沌状态下的系统振动具有单频输入宽频输出的特性，可以大幅度改变结构噪声中的线谱成分[5-6]，在消除线谱激励方面具有明显的优势，这一特点对提高船舰的隐身性能非常有效，所以，研究金属橡胶非线性减振系统的混沌响应对金属橡胶材料在船舰装备中的进一步应用，以发挥提高船舰隐身性能的作用具有重要的指导意义.

尽管国内外专家对金属橡胶减振系统混沌振动特性的研究成果不多，但对其他非线性动力系统的混沌却开展了大量的研究[7-18]. 从现有的研究成果可知，非线性系统混沌振动的研究和判定方法主要有以下几种.

① 依据牛顿第二定律、拉格朗日方程等方法建立系统的动力学方程，并对系统方程进行量纲一化，建立系统的参数模型，然后利用Melnikov等方法进行混沌的解析预测[8-11].

② 计算一定参数变化范围内系统的分岔图，从分岔图中找出系统的参数敏感区域，并针对这些区域进行数值分析，判定系统是否处于混沌运动状态[12-13].

③ 采用数值方法计算系统的响应，然后绘制系统的时间历程曲线，观察其随机性、永不重复性和对初始条件的敏感性；绘制时域响应信号的功率谱图，观察功率谱的宽频特性；绘制系统的相轨迹图，观察相轨迹是否充满相空间中的某一部分，不重复且不封闭；绘制系统的Poincaré映射图，观察映射点既不是有限的点集，也不是封闭曲线. 这些条件均可以判定系统是否为混沌振动[14-15].

④ 计算Lyapunov指数判断系统的混沌运动. 该方法是公认的定量判定系统混沌运动的指标，若系统的最大Lyapunov指数为正，且系统的运动是有界的，则系统是混沌的[16-17].

⑤ 计算系统的分维数和拓扑熵判定系统的混沌运动，若维数为分数，则认为系统是混沌的；若拓扑熵大于0，则认为系统是混沌的[18-19].

这些方法均可借鉴用以研究金属橡胶非线性减振系统的混沌，文中基于前人的研究成果，首先建立了金属橡胶非线性减振系统的力学模型，并保留模型各参数的量纲，这样在分析时就可以确定各参数的实际值，为实际试验提供指导；其次，对金属橡胶减振器进行了静、动态试验，并识别得到各参数的实际取值；再次，通过Runge-Kutta法计算一定激励力和一定频率范围内系统的分岔图，从分岔图中确定使系统产生混沌的激励参数值，并绘制确定参数系统的时间历程曲线、相图、Poincaré映射图和频谱图，计算了系统的Lyapunov指数最大值，判定了系统在给定的参数下处于混沌运动状态；最后，用Adams动力学仿真软件对系统进行了仿真试验，通过响应曲线和频谱图的对比，进一步验证了系统的混沌振动. 文中的研究内容对金属橡胶在混沌领域的推广应用具有重要的指导价值.

1 金属橡胶非线性减振系统模型

对于某一常见的金属橡胶减振系统，作如下假设：刚性设备被一个单向金属橡胶减振器支撑；减振器的质量很小，可忽略不计；只考虑垂直方向的振动. 激励为沿垂直方向的简谐激励，作用在刚性设备质心，且F(t)=F0cosωt. 可将系统简化为一个单自由度模型如图1所示.

图1中，m和x(t)分别为被减振设备的质量和位移，金属橡胶减振器有明显的迟滞非线性特性，本构关系为[2]

(1)

式中：k1为一次线性刚度系数；k3为三次非线性刚度系数；c为阻尼系数，它们形成与位移有关的弹性力和与速度有关的黏性阻尼力，通常被认为是无记忆恢复力；z(t)是金属橡胶变形过程中干摩擦引起的记忆恢复力，由于该记忆恢复力的存在，金属橡胶减振系统表现出明显的滞后非线性性能.

对式(1)的第二式两边同除以dt得

(2)

图1所示的减振系统的微分方程可写为

进一步简化式(3)，可得

(5)

2 金属橡胶减振器试验及其参数识别

常用的单自由度金属橡胶减振器结构及制备的金属橡胶减振元件如图2所示，采用上下两块金属橡胶元件并联组合使用该结构避免了金属橡胶元件拉压性能不对称的影响，能够使金属橡胶减振器具有整体上的拉压一致性，从而获得更稳定的性能[2].

根据指标要求，确定金属丝径、螺旋卷直径、用料质量、成型压力等参数，制备减振器，并用WDW-T200微机控制电子万能试验对减振器进行静态加载，测得减振器力-变形曲线如图3所示.

减振器的力-位移曲线明显弯曲，随着变形的增大曲线斜率逐渐变大，说明制备的金属橡胶减振器具有渐硬的非线性性能.

再对减振器进行动态的正弦加载试验，动态加载试验设备用由PLS-20电液伺服疲劳试验机和DH5936振动测试系统组成，动态加载频率为1 Hz，幅值为2 mm，试验结果如图4所示.

用遗传算法编程对动态试验数据进行参数识别[20]，可得减振器参数分别为k1=133.546 4，k3=14.900 5，zs=88.185 1 N，c=1.871 3 N/(mm/s)，ys=0.819 0 mm，ks=107.674 1 N/mm.

利用辨识参数绘制曲线与试验曲线进行对比，如图5所示.

从辨识结果与试验结果的对比可以看出，两条迟滞回线基本吻合，说明辨识结果的正确性.

3 系统混沌响应数值仿真研究

为确定激励参数，设计系统被减振质量为m=5 kg，将以上识别的参数代入式(5)，根据经验，先设ω=1.5 Hz、激励力F=3～10 kN，步长ΔF=10，初始条件为[0 0 0]，用4阶Runge-Kutta法求系统响应随激励力变化的分岔图，如图6所示.

从图6可以看出，系统响应随激励力变化出现多次分岔，且在5.5,5.8,8.5 kN等附近进入混沌状态. 令激励力F=5.5 kN，激励频率ω=0～5 Hz，步长Δω=0.02，绘制系统响应随频率变化的分岔图，如图7所示.

从图7可以看出，系统响应随激励频率变化出现多次分岔，且在如1.9，2.5，3.5 Hz等多个频率附近达到混沌状态.

因此，可选取F=5.5 kN，ω=3.5 Hz，初始值取y1=0，y2=0，y3=0，时间区间选t=0～100 s，步长Δt=0.01 s，编程计算系统的Lyapunov指数最大值为0.31，大于0，可以判定系统处于混沌运动状态.

求系统的时间历程曲线(与初始值为y1=0、y2=0.01、y3=0的曲线比较)、相图、Poincaré映射图和频谱图，如图8所示.

从图8的位移时间历程曲线可知，系统响应没有稳定的状态，微小初始条件的改变会使系统响应有较明显的变化，说明在给定的激励参数下系统响应对初始条件具有敏感性，且长期不可预测；从系统相图可以看出，相轨迹充满相空间的一个区域，不重复且不封闭；从系统的Poincaré映射图可见，映射点既不是有限点集，也不是封闭曲线；从系统的频谱图可以看出，3.5 Hz的定频激励条件下，系统响应具有很多频率成分，如0.60,1.70,2.75,2.50,3.50及3.80 Hz都占有相当的比重，这说明金属橡胶非线性减振系统可以明显改变系统响应的线谱成分，而且在0～0.4,1.0～1.5，2.0～2.6和3.2～3.7 Hz区间内，频谱图几乎是连续的，具有明显的宽频特性. 因此，可以判定金属橡胶非线性减振系统具有混沌振动特性.

4 Adams仿真试验

为验证金属橡胶减振系统的混沌特性，用Adams软件对系统进行仿真研究，在Adams/View下建立单自由度的质量-非线性弹簧系统试验模型，如图9所示.

设置质量块质量设为5 kg，将其与底座用直线副约束，仅保留竖直方向上的自由度；激励力用Adams Force设置，作用在质量块的中心，并编辑力函数为5 500cos(3.5t)；非线性弹簧两端分别作用在质量块和底座的质心，利用图4试验得到的力-位移数据设置弹簧的力-变形关系，设弹簧的初始偏移为零；对系统进行运动学仿真，测量质量块位移随时间变化的曲线，并与Runge-Kutta法求解进行曲线对比，如图10所示.

从图10可以看出，Adams仿真试验得到的质量块的位移时间历程曲线没有稳定状态，振动比较混乱且长期不可预测. 从Adams仿真得到的曲线提取数据并对其进行Fourier变换转换到频域得到其频谱如图11所示.

从图11可以看出，在0.5，1.5，2.5，3.5 Hz处频率较集中，为主要频率成分，这是由系统固有频率和次谐波响应共同作用的结果. 且在0～0.5，1.0～1.5，2.0～2.5 Hz等范围内的频谱曲线几乎是连续的，具有明显的宽频特性，这说明仿真的响应中还有其他多种频率成分出现.

对比图8的频谱图和图11可见，Adams仿真没有Runge-Kutta数值解的频率成分复杂，且图10中两种结果的位移-时间历程曲线也不完全吻合. 这是因为数值解是在减振器识别出的参数下的精确解，而辨识结果并不是没有误差，且Adams对非线性的仿真是将非线性部分在其平衡位置附近线性等效，刚度并不是随时连续变化的. 尽管如此，Adams仿真的结果仍能进一步说明金属橡胶非线性减振系统的单频输入多频输出的宽频响应特性.

5 结 论

文中对金属橡胶非线性减振系统的混沌特性进行了研究，主要通过数值仿真和Adams软件环境下的仿真试验说明了对确定的金属橡胶减振系统，施加适当的激励就可以使其产生混沌响应的特性.

结合辨识得到的系统实际参数，对推导的状态方程组进行了数值计算，并通过求解系统响应随激励力和激励幅值的分岔图，确定了系统产生混沌的激励参数. 计算了Lyapunov指数最大值，绘制了确定参数下系统响应的时间历程图、相图、Poincaré映射图和频谱图，证明了金属橡胶非线性减振系统具有混沌特性.

用Adams软件对系统进行了仿真试验，验证了金属橡胶非线性减振系统具有混沌特性. 这里需要指出，由于系统理论模型忽略了减振器的质量，且减振器本构关系是基于试验研究总结的近似模型，实际无法完全一致，因此，在进一步的试验研究中，需要参考理论分析的参数，进行大量的试验才能找到使系统进入混沌运动状态的准确参数.

文中提出了研究金属橡胶非线性减振系统混沌的一般方法，建立了金属橡胶混沌特性研究的理论基础，既有利于金属橡胶材料的进一步的推广应用，又有利于指导避开金属橡胶使用中的有害混沌振动，或利用其改变线谱成的有利特点进行工程设计，具有重要的理论价值和工程指导意义.

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(责任编辑：孙竹凤)

Chaotic Characteristic of Nonlinear Metal Rubber Vibration Isolation System

LI Yu-long， BAI Hong-bai， HE Zhong-bo

(Ordnance Engineering College， Shijiazhuang， Hebei 050003， China)

The chaotic characteristic of nonlinear metal rubber vibration isolation system was studied in this paper. The mechanical model of the system was derived. The static and dynamic tests of the metal rubber isolator were done, and the parameters of the isolator were identified. According to the bifurcation diagrams which changed with the parameters of the excitation, the force and frequency which could make the system be in the chaotic state were got. The displacement time history curve, phase diagram, Poincaré map and frequency spectrogram were structured with the numerical result of Runge-Kutta method, and the maximal Lyapunov exponent was calculated. The chaotic characteristic of the system was simulated and validated by the ADAMS software. Results show that the nonlinear metal rubber vibration isolation system possesses the chaotic characteristics.

metal rubber; nonlinear; vibration isolation; chaos

2014-09-04

国家部委预研项目(51312060404)

李玉龙(1986—)，男，博士生，E-mail：556long@163.com.

V 214.9; TH 17; TH 113

A

1001-0645(2016)05-0491-07

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.05.010