带横向支撑压杆的稳定承载能力

李 平 闫铁成（陇东学院，甘肃 庆阳 745000）

1 引 言

压杆的极限状态是整体失稳。理想的轴心压杆的临界力可以由欧拉公式推得，欧拉公式给出的临界力NE是杆件能够继续保持直线平衡状态的极限荷载，达到这一荷载后杆件即发生弯曲变形。

对于两主轴（X、Y）惯性矩相差很大压杆的截面（如工字型截面），绕强轴的临界力Nx比绕弱轴的临界力Ny大很多，因此，压杆弹性工作范围内的临界力取决于弱轴的刚度，稳定承载能力取决于Ny。

从以上（1）（2）（3）式不难看出，计算长度l的减小，可以使得压杆的稳定承载能力Ny有明显的提高，实际工程中通常采用设置横向支撑的方法来实现减小压杆计算长度以达到提高稳定承载能力的目的。设置横向支撑的实质是在压杆弱轴方向提供一个有一定刚度的支座，本文试图以杆件高度中央设置支撑的压杆为例，分析支撑的刚度与压杆稳定之间的关系。

2 支撑的刚度Kb

本文研究的力学模型采用图1(a)所示，在杆件高度中央设置一横向水平支撑，可以看作刚度为Kb如图1(b)所示的弹簧支座，若该支座的刚度很弱，则支撑轴向变形大、杆轴线发生如图1(c)所示的波形图，此时支撑对Ny的提高并不显著。因此，必须分析压杆支撑的刚度，使之具备刚性支座的最小刚度。

当支撑的刚度足够时，压杆屈曲时，杆轴线呈一个全波如图1（d）所示，反弯点处于支撑的位置，相当于一个铰，支撑的压缩量d很小，给反弯点处求矩：

则：

图1 杆件中央带支撑的压杆

可以看出，中央横向支撑刚度至少要达到4Nl/L，才可以实现计算长度减少到L/2的目的。

若n个支撑把压杆分成n+1个等段，则弹簧的刚度应至少为［2］：

当n无线增大时，kl/ Nl趋近于4，因此，只要支撑刚度不低于

才能实现通过设置横向支撑减小计算长度的目的。此分析中并未限制横向支撑的轴向变形d在弹性范围内，因此以上支撑刚度的分析可以用于非弹性失稳分析。

考虑到压杆中的横向支撑并非完全刚性，国外学者Berlin将总长为l的杆件分为n段，定义单个节间长分别为ln-1和ln、pn-1、pn+1为杆端压力，Mn为杆中部支座处力偶，由平衡关系得［3］：

横向支撑处的转角βn为：

将式（9）和边界条件Mn-1=Mn+1=0带入连续梁三弯矩方程中得：

其中，

联立方程（8）（10），方程对于Mn和δn有非零解时，杆的屈曲方程即为可能。因此pn-1与pn的临界值可由方程组系数行列式为零得到：

当支撑半刚性时，式（14）有解等于：

其中，弹性支撑参阅文献［4］。

3 支撑的内力设计

考察图1所示体系，压杆、横向支撑在弯曲变形下均处于完全弹性状态，在轴心压力作用下，压杆的弯曲使得支撑产生压力，荷载增加至发生图1（a）所示两个半波形屈曲，此时支撑产生的内力为F。带横向支撑压杆屈曲时，几何条件是压杆的挠度与支撑的压缩变形d相等，结合屈曲条件和平衡条件，得支撑内力F与压杆临界荷载 Pcr之比［1］：

式中λb为撑杆的长细比，=F/FE。

F是支撑必须能承受的力，代表压杆对撑杆强度上的最低要求。若不考虑压杆的安全储备（安全度和富裕度），有可能会出现压杆未达到临界荷载（例如两个半波的屈曲临界荷载），而撑杆的刚度却已然达到了0，这与设置横向水平支撑提高压杆的承载能力相悖。国内学者童根树在1986年提出，鉴于支撑本身的临界荷载FE（FE=π2EIb/b2）大于上述F力，采用支撑本身的临界荷载来设计撑杆，这样既可保证支撑的内力达到F 后，撑杆仍有富余的刚度供压杆支撑。

4 带横向支撑压杆的稳定性

图1所示高度中央设置一横向支撑的完善压杆，假设压杆和支撑杆都是无限弹性的，则压杆的临界荷载是：

式中Kc=2pEI/l=44π2EI/L3是被支撑压杆失稳形式发生改变时的刚度；支撑杆的轴压刚度Kb=EAb/b。

将式（16）与两端铰接无支撑情况下的完善轴压杆的临界力pcr=π2EI/L2相比，式（16）的稳定承载能力明显提高了[π2EI/(0.5L)2-π2EI/L2]Kb/Kc,该增值是由支撑的刚度提供的，表面上看压杆的临界荷载pcr与支撑的刚度Kb成正比。但从物理意义上讲，横向支撑的刚度只有大于0，才能保证临界荷载增加，即带横向支撑压杆的荷载增加达到屈曲临界荷载时，支撑的刚度必须大于0，这样才能达到提高压杆承载力的效果。

G.winter曾报告过有关减小压杆计算长度的支撑实验[5]，实验用冷弯槽钢组合的工字截面，撑杆用十层纸，在杆段上设置一至四道支撑。实验结果是：即使采用纸带这样的弱支撑，压杆的承载力仍然提高很多。杨隆宇、李正良采用角钢规格Q420、2L160×14、长细比为30～50作为撑杆，实验表明：横向支撑可有效提高试件的稳定承载能力。

5 结 语

本文通过对压杆横向支撑的刚度、内力的探讨，总结有以下几点：

1）设置横向支撑是减小压杆计算长度提高稳定承载能力的有效方法。

2）横向水平支撑必须满足最小刚度的要求，才能对压杆提供刚性支座达到减小计算长度的目的。

3）压杆达到屈曲临界荷载时，横向支撑的刚度必须大于0，才能保证压杆的临界荷载实现提高的目的。

4）本文的推论未考虑初始缺陷的影响，有待以后进一步讨论。

[1]陈绍蕃，《钢结构设计原理》，北京：科学出版社，2005年4月。

[2]周承倜，《弹性稳定理论》，四川：四川人民出版社，1981,77页。

[3]Zimmermann H Die knickfestig keit eines stabes mit elastic-cher querstutzung ［M］Berlin:kessinger public,1906.

[4]Simitses G j An introduction to the elastic stability of structures ［M］Englewood cliffs:Pretice Hall,1976.

[5]Winter.G.,Lateral Bracing of Columns and Beams,Transaction ASCE,125.part 1,1960.