数学教材例题中蕴含的数学思想方法

左佳丽

【摘要】数学思想方法作为当今深化改革数学教育的重点，现行《义务教育数学課程标准（2011版）》在实施建议部分就有明确要求：要引导学生积累数学活动经验，感悟数学思想.一次函数作为数学学习中最基本的函数模型，深入发掘其中的数学思想方法，对学生的数学学习有十分重要的意义.本研究以北师版数学教材八年级上册“一次函数”中的例题为例，系统阐述例题蕴含的数学思想方法。

【关键词】一次函数 数学思想 解题

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）15-0180-02

一、一般化与特殊化思想

波利亚在《怎样解题》中明确指出，一般化是指“从考虑一个对象过渡到考虑包含这个对象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含这个较小集合的更大集合”.

例1 选自八年级上册79页

写出下列各题中y与x之间的关系，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？

⑴汽车以60km/h的速度匀速行驶，形式路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系；

⑵圆的面积y （cm2）与它的半径x （cm）之间的关系；

⑶某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池内有水ym3.

这是一道考察一次函数和正比例函数概念的例题.我们已经知道一次函数和正比例函数的一般形式为.这道例题之所以称其蕴含了一般化与特殊化的数学思想方法，主要是指两个方面：（1）对于函数表达式的判定，当字母变成某一个特殊的数的时候，学生是否能抓住其实质，做出正确的判断，这是指一般到特殊；（2）正比例函数是特殊的一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，这是指特殊到一般.

二、数形结合思想

数形结合是中国传统数学的基本方法与思想.在研究问题时把数和形结合考虑，把问题的数量关系转化为图形性质，或把图形性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化.数形结合思想的本质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维与形象思维结合.数形结合主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面.

例2 选自八年级上册91页

某种型号的摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）之间的关系如图4—8所示.根据图像回答下列问题：

（1）油箱最多科储油多少升？

（2）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？

（3）摩托车每行驶100km消耗多少升汽油？

（4）油箱中的剩余油量小于1L时，摩托车将

自动报警.行驶多少千米后，摩托车将自动报警？

这是一道一次函数的问题解决型例题.将生活中的实际问题作为问题情境，让学生体会一次函数在实际生活中的应用.结合函数图像解决问题.一方面考查学生对知识的掌握情况，另一方面让学生体验函数图像对解决数学问题的重要作用.

三、分类讨论思想

数学分类讨论思想，是指将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种逻辑方法.有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性.分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中.

例3 选自八年级上册80页

我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收 的所得税，……如某人月收入3860元，他应缴个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×3%=10.8（元）.

（1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式；

（2）某人月收入4160元，他应缴他应缴个人工资、薪金所得税多少元？

（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？

这同样是一道一次函数的问题解决型例题.相较于前面一道题，此题最大的特色在于要用分类讨论的数学思想方法来解决问题.事实上，这也是学生首次接触分段函数的题目.对不同段的工资，应缴纳个人所得税也不一样，这就需要教师对学生进行引导，让学生体会分类讨论的实质.

四、数学模型思想

数学模型方法的本质是化归，将一个现实问题化归成一个数学问题，之后用数学只是解决这个问题，在翻译回去成为现实问题的解答.模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识.

例4 选自八年级上册89页

在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.

这是一道以其他学科（物理）为问题情境的例题，同样也是一次函数在实际问题中的应用.由于题目已经明确说明长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）是一次函数，因此，解决问题的关键在于如何构建一次函数的数学模型，即求一次函数的解析式.设出，求出的值，问题就迎刃而解了.

只要有数学解题，就会数学思想方法.老师在教学过程中，不但要教给学生知识，更要教会学生数学中所蕴含的思想方法.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]波利亚著，闫育苏译.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982.

[3]马波.中学数学解题研究[M].北京：北京师范大学出版社，2011.