学科教学知识视角下的《导数的应用》复习课教学

北京市怀柔区第一中学 李 悦 张燕勤 符谷雨

一、问题的提出

学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge）首先由舒尔曼在1986年提出，简称PCK，他认为PCK是教师在面对具体的学科时，如何针对不同学生的不同兴趣以及能力，将学科知识进行合理组织、有效调整与充分呈现，从而达到有效的教学目的的知识。这种知识既是一种区分教师与学科专家的专门知识，也是一种可教性的学科知识[],属于学科知识中的一种具体有效的形式。

二、教学设计总体思路

揭示函数单调性质的关键是导函数符号的确定或是直接利用导函数的零点进行判断，而导函数的符号又与导函数的零点密切相关。本节课是一节高三第二轮的复习课，学生已经掌握了用导数研究函数单调性的基本方法，也积累了这类问题的解题经验。在研究过程的各个阶段中存在的问题有：求导函数出现错误、不能判断导函数的函数值情况、不能处理导函数有零点但不可解的情况等。为此，我们从导函数无零点、导函数有零点且可解、导函数有零点但不可解三个方面分别选取组织例题，对导函数零点的不同情形的处理办法做了分析梳理。根据学科知识内容和学生的掌握情况，我们选择和组织了以下内容材料，用于两课时的课堂教学。

例1，判断下列函数的单调性

例2，判断函数的单调性

变式：设a为实数，求证：当且x＞0时

例4，证明函数：存在最小值.

上述内容安排了两课时的教学时间，梳理导数应用的相关知识，让学生在分析解决较为复杂函数的问题中，进一步认识和体会导数用于研究函数单调性的本质内容和重要作用。第一课时是针对导函数无零点的问题展开教学讨论，第二课时是针对导函数有零点的问题展开教学讨论。下文我们从学科教学知识的视角进行课堂观察与分析，限于篇幅，这里仅介绍第一课时的教学过程，以实录的形式呈现。

三、课堂教学片段:不能直接判断导函数符号的样例的讨论

师：来看 例2。我找一位同学上来做。（学生做题，教师巡视）

师：好，我们来看一看生8做的情况。

原函数定义域为R，求出的导函数有问题吗？

生众：没有。

师：然后生8画了个图。生8你来解释一下你是怎么想的。

生8：就是要看导函数符号，我把它分成两个，一个是ex和x…

师：为什么要分成两个？

生8：因为我发现单从导函数，看不出来它的正负。

师：那你有没有解方程找零点呢？

生8：我解不出来。

师：为什么解不出来？

生8：因为求值不好使了。

师：实际上是因为它们是两个不同类型的函数，目前我们还解决不了，所以你想到了什么？

生8：画图。

师：好，因为它（指）解不了所以画图。那你画图的目的是把它转化为什么问题？

生8：图象问题。

师：图象。是想看什么呢？

生8：交点、正负。

师：看它有没有交点，判断一下正负。好，大家看这个图象，看他画的对不对？

生9：我没画图象。

师：好，让他说完你再说，行吗？这图像大家说他画的对不对？

师生众：对。

师：实际上我们可以把图象画的标准点，指数函数过(0,1)，还过(1,e)；而正比例函数过的是(1,1)。我们这边（指x轴负半平面）还有什么？和(-1,-1)。我们还可以找到(2,e2)。显然它（指函数ex的图像）在它（指函数x的图象）的上方。之后这个函数我们可以观察到它增长非常的快，我们管他叫什么函数？

师生众：爆炸函数。

师：对，它增长得非常的快。而正比例函数是一直这样匀速增长，所以它们的图象应该是ex始终在y=x的上方，对吗？

生8：对。

师：很好，请坐。有不同意见吗？生9你说说。

生9：图象不能用于证明。

师：图象不能用于“由图可知”这。好，非常不错。“图象不能用于严格证明”，大家同意吗？

众生：同意。

师：对，图象只是我们的一个辅助工具。有的图象，当然我们能看到它们之间的关系；而有的图象，可能会导致你看似可能没有交点，但实际上是有交点的，对吧？因此，它只能作为一种辅助的工具直观感受。那么我们要想说理就需要用代数来证明，就所谓的“算”。好，生9请继续。

生9：说明

师：同意吗？

众生：同意。

师：好，这是我们的目标。现在怎么把这事说清楚了？

生众：再求一遍、再导一遍……

师：把它看做新函数再导一遍。再导的目的是什么？

生众：求它的最值。

师：我们的目标是证明对吧？所以我们再导一遍目标是要说明

师生众：最小值大于零。

师：同意吗？

生众：同意。

师：好。接下来我们来把它完善。（选生10上黑板完成）

四、案例分析

课程标准对导数与函数的单调性的要求是，结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；教师应引导学生在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数的方法与初等方法做比较，以体会导数方法在研究函数性质中中的一般性和有效性。我们认为，虽然是一个复习课内容，但是作为导数与函数单调性这一特定课题的一部分，突出其最有教学价值的知识，即其中的数学思想和思维价值，仍应是教学目标的最基本定位。

片段1中，安排了复习回顾利用导数研究函数单调性的基本步骤，并且引导学生对导函数零点的的不同情况提出有零点和无零点的简单分类。让学生通过解决问题来强化利用导数解决函数单调性问题的方式与方法。通过总结研究的一般步骤,为解决函数单调性问题提供了定向。例1选择四个函数作为判断单调性的任务，它们覆盖了初高中学习过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，对适当组合之后得到的这四个函数的求导任务，需要用到上述函数的导数公式和求导法则；要判断所求导函数的符号，需要对导函数解析式进行适当的变形（如配方），特别需要注意函数的定义域。从一些简单函数的练习入手，让学生在整个教学过程中始终都能够体会到导数研究函数的工具性作用。关于例2，学生很容易求出它的导函数，但是既不能直接判断导函数的符号，也不会求其导函数的零点。

上述内容的选择和布局，是导数的应用这一特定课题的需要，能够体现相关的概念体系和逻辑脉络，兼顾了导数的基础知识、研究函数性质的基本技能、以及数形结合、分类讨论等数学思想方法。