追本溯源 浅谈竖式的价值体现*

⦿北京/杨林艳

追本溯源 浅谈竖式的价值体现*

⦿北京/杨林艳

竖式本质是一种计算工具，基于知识价值展开竖式教学，采用直观模型分小棒的操作手段，帮助学生理解竖式算理，渗透竖式背后隐含的认识价值，体现化繁为简的数学思想。本文从知识的起点即竖式产生的价值，学生的起点即竖式发展的价值，课堂的起点即竖式思想的价值，这三个方面进行论述。以教师三次试讲后的心得体会为脉络贯穿全文，追本溯源，研读教材，设计有效的教学活动，促进学生对竖式的感悟和建构，激发竖式学习的热情和智慧。

除法竖式；分小棒；化繁为简

正文：

“一位数除两位数的笔算除法”是北京版教材小学数学三年级上册《除法》单元中的内容，学生之前已经学习了“表内竖式除法”和“除数是一位数的口算除法”，本节课主要学习“除数是一位数的非表内竖式除法”。从对比教材，研磨课程标准，到确定学习目标，经历三次试讲与数次修改教学设计，在这个过程中，我产生了些许疑惑：竖式产生的必要性是什么？从二年级开始引入除法竖式，有学习的必要吗？竖式的难点在哪里？怎样教学才能让学生更好地理解竖式的含义，更顺畅地进行计算，并最终从中体会到竖式的价值所在，带着这些疑惑，我进行了深入思考和不断的追问。

一、知识的起点——竖式的产生及价值

现在资料表明，古代中国采用算筹来计算除法，后来用算盘来计算，这是比较早的程序性计算除法的方法。中世纪的欧洲，采用“帆船”除法，17世纪，欧洲出现了竖式除法，经过逐渐演变和简化，成了我们现在使用的方法。

庄子说：“天下大事，比作于细。天下难事，必作于易。”当人们面对比较复杂的问题时，总是把它分成若干个可以解决的简单问题来解决。除法是小学数学中比较复杂的计算，人们常常将它按一定顺序分解为一些简单的计算。人们在进行笔算除法的时候，总希望把一定顺序计算的中间结果最终结果记录下来，除法竖式就是一种简洁而有效的记录方式。这就是除法竖式的本质所在。[1]

教师在教学中如何把竖式的本质价值凸现出来，是教学的精华所在，就此，我在思考：为何二年级就引入了竖式？能够体现其价值吗？这里引入，是否会造成对本节课的干扰？

二、学生的起点——表内竖式有学习的必要吗？

纵向对比教材，北京版教材第一次引入竖式是二年级上册的表内除法，主题图为：

教学目标是认识竖式各位置名称，渗透位值思想，从除法竖式产生需求的角度讲，缺乏其必要性学生在计算的时候，往往早就知道了答案，就是在“画”竖式，这一点，给今后学习有余数的除法竖式以及本节课的一位数除两位数竖式造成了负面干扰。

北京版教材第二次引出除法竖式是二年级下册的有余数除法，教学目标是在表内乘法口诀竖式的基础上，进行口诀试商，着重理解竖式计算中余数要比除数小的意义。主题图为：

综上所述，两次竖式都没有用到分物体情境引入，竖式产生的需求性低，属于接受式学习。但除法竖式形式比较“古怪”，较加、减、乘法都不一样，让学生提前接触，认识其外观和各部分名称，不为是一种分散难点学习的好方法。

三、课堂的起点——分小棒背后所蕴含的数学思想是什么？

横向对比教材，一位数除两位数笔算除法均是由分物体引入，竖式和分小棒的过程紧密结合，以下是对各个版本教材的主题图截图：带着这样的理解，我进行了第一次试讲。

(一)不是不理解模型，而是太依赖模型 在第一次教学中，我先是让学生动手分小棒，再用语言描述分的步骤，最后用算式和竖式分别记录分的过程，板演48÷2的书写时，用ppt进行同步展示，把分小棒的过程和竖式再次紧密联系。

学生对竖式含义理解的较好，但独立做题时，却不知道如何书写，这是怎么回事呢？经过组内老师和学校领导的精心指导，我意识到本节课过于重视算理的讲解，而忽视了算法教学。竖式本身是非常抽象又简洁的符号，是一种经过简化的、合理的推理书写形式，除法竖式是四则运算中最难的，因为它运用了一种逻辑推理的方法，需要试商，每一步都要通过相乘，相减来检验出的情况，从计算的方法来说，综合运用了除、乘、减的运算。其次，竖式的书写格式与以往学习的加减乘竖式书写有着很大的差别。[2]如果不给学生进行细致的算法讲解，学生做题时会存在很大的困难。

经过改善，在第二次教学中，我把利用小棒情境描述竖式书写的方式改成算法的讲解，以48÷2这道竖式来说，教师引导学生这样描述：“48÷2，4除以2商2，在商的十位上写2，2×2=4，4-4=0，不用写，再把个位上的8落下来，8除以2商4，在商的个位上写4，2×4=8，8减8等于0，表示没有剩余。”

通过两次试讲，运用动手分，帮助学生理解算理；动口说，帮助学生理清算法。算理算法攻破了，教学环节之间的逻辑性再次引起了我的深思。

(二)谁是“主”，谁是“辅” 在拜读过诸多优秀教学设计后，我发现这节课的竖式引出多用“你能用竖式记录(或表示)分小棒的过程吗？”

思来想去，总觉哪里不对，仔细琢磨，方知教学的主线出现了问题：这节课到底是分小棒还是学竖式？谁是“主”，谁是“辅”，如果按照之前的教学设计，让学生用算式和竖式分别记录分小棒的过程，冥冥中竖式就是为了分小棒服务。经过改善，我把“你能用竖式记录(或表示)分小棒的过程吗？”改成了“你能不能借助分小棒的过程，用竖式解决这道题呢”，看似是一个小的转变，但渗透的学习目标是不同的，给予学生的课堂结构也是不同的，学生的反馈也就大大不同了。

从把分小棒的过程看成主线，到把解决问题的策略作为教学的主线，教学环节更加清晰化合理化。教学环节分为：看图收集数学信息，提出问题，列算式，解决问题。在解决问题这个环节中，首先学生可以尝试用口算解决；口算有困难，可以运用分小棒的方法，并试着用算式来记录分的过程；有能力的同学还可以采用竖式的方法，在列竖式时可以借助分小棒过程。这样既突出了竖式的本质是一种计算工具的价值特点，又尊重并顺应了学生的思维发展。

在理顺教学的设计主线之后，我再次审视每一个教学环节，对于两步竖式优于一步竖式的处理方式上，感到不妥。选择两步竖式难道就是因为它能够更清晰的体现分小棒的过程？我们的“主”又不分小棒，这样解释太牵强了。两步竖式背后蕴藏的数学思想到底是什么？相信这就是本节课的魂之所在，本质所在。

(三)分小棒与化繁为简的数学思想 为什么我们要选择两步竖式？一步竖式看着更简单，不是更能体现数学的美吗？怎样才能给学生讲明其中的道理？

苏格拉底说过：“最有效的教育方法，不是告诉他们答案，而是向他们提问。”即让学生经历学习经验后，发自内心的赞同。就此，我开始了第三次教学，在学习48÷2的竖式时，针对学生一步竖式的情况，不做重点讲解，只是让他们各自发表观点，把问题搁置下来。在处理48÷3的竖式时，我再提问“你们认为这两种计算方法，哪种更好？”

此时，大部分同学选择两步竖式。生1说：“我刚才借助分小棒列来竖式，并不是一下就分好的，我先分整捆再分剩下的，所以我觉得两步竖式更好。”生2说：“一步竖式像口算似的，直接就出答案了，看不出他是怎么想的。”生3说：“刚才48÷2这道题简单，但是48÷3点有难，就应该用两步竖式，要不然数字更大了，你就不会用竖式算了。”

同学们精彩的发言使课堂得到升华，学生们在对比中体会到了两步竖式的优点，此时，我继续追问：“刚才有同学提到，两步竖式写的更详细，这样详细的记录给你带来了怎样的帮助？”。学生思考了一会儿，有位同学高高把手举起：“写的越详细，就可以把很难的除法，分成一个个我们会做的除法，最后算出结果。”

全班响起了热烈的掌声，我即刻写下“化繁为简”的数学思想。学生此时的激动劲儿，也让我无比振奋，感受到了教师“导”学的快乐！

四、结束语

反观三次教学，让我对教学的本质从懵懂变得清晰，从为了分小棒而列竖式，到整体布局课堂结构，分清课堂主次地位，再到设计有效的数学活动，突出重点，化解难点，让学生在竖式学习中体会化繁为简的数学思想，整个过程彰显数学本质的美感！

没有完美的课堂，教育不是一潭死水，它是流动的，灵动的，发展的。随着反复研读教材和文献，我又产生了一个大胆的思考：对于48÷2这个环节，大部分学生都能口算，还有分小棒的必要性吗？思考永无尽头，研究永无止境，相信这就是教研的魅力！

[1]曾小平，韩龙淑.除法竖式的发展与教学[J].小学教学数学版，2011，11：46.

[2]潘跃青.浅谈分层竖式的思维训练[J].教研前沿，2012，10：50.

[3]于正军.“核心内容”与“核心本质”[J].教育研究与评论·小学教育教学，2015.52.

[4]朱洁芬.竖式教学，让知识价值显现[J].教育研究与评论·小学教育教学，2015.48.

[5]王玲玲.核心问题引领下的数学思考[J].小学数学教师，2015，5：31.

南菜园小学)

*密云区教委首届“中国知网杯”优秀校本课程及论文评选活动论文。