浅谈高中数学教学中如何促进学生的概念转变

吴国强

[摘 要] 概念教学是高中数学教学的基础，概念教学常常被淡化，一个重要原因是认为概念是在问题解决的过程中具体运用的，概念教学本身不需要花费太多的时间. 实际上，概念教学是一个学生观念转变的过程，概念转变需要理清学生对所学概念的可能认识，需要通过问题驱动等方式实现有效的概念转变，需要对数学概念的表述作出精确的理解.

[关键词] 高中数学；概念转变；教学意义

高中数学教学的一个基本任务，就是数学概念的教学. 传统的高中数学教学理念中，概念及其教学是占据着极为重要的地位的，但是在应试教育的氛围中，概念教学又常常被压缩，因为在应试中积累起来的“技巧”之一就是“淡化概念的教学，重视概念的应用”，这种逻辑的背后存在着这样的认识，即高中数学概念作为最基本的教学单元，其不需要花费太多的时间实施教学. 从“现实”角度来看，这样的认识是有其合理的一面的，但从学生的数学知识建构以及数学学科核心素养提升的角度来看，这样的认识又显然是有缺陷的. 而笔者认为，无论是在应试的氛围中，还是在核心素养的氛围中，概念教学还是要回归其应有地位，在概念教学的过程中还是要去认真研究学生. 于是这就引申出另外一个问题：怎样的概念教学研究才是有效的？从理论角度来看，信息加工理论专家提出的“概念转变”值得仔细研究.

[?] 概念转变在高中数学教学中的意义

概念转变是一个特别有意思的概念，概念转变意味着学生在学习过程中形成的科学概念是转变的结果，这也意味着概念学习的过程就是概念转变的过程. 在概念转变之前学生对相关知识是有概念的（这个观点是不是很熟悉呢？这就是很多高中数学教学研究中出现的“前概念”的意味），而从概念转变之前的概念到科学概念的转变过程的质量，也就体现着教师概念教学的质量. 由此可见，用概念转变来描述概念教学是有积极意义的. 同时，研究概念转變不要忘记一个著名的发生认识论的专家皮亚杰的一个观点，皮亚杰认为：儿童（学生）在他的经验中进行学习是最有效的学习，如果经验能够引起认知冲突并让学生感觉到自身的思维的不足，那这样的学习就更为有效.

结合自身的数学教学经验理解这句话，笔者以为其很有道理，原因在于：其一，每一个学生在学习之时都不是在“白纸上画画”（这样的隐喻在课程改革中已经多次被提及），而是在自身经验的基础上进行再加工；其二，经验之所以能够发挥作用，在于学生能够在新的问题情境中感觉到自身经验的不足，于是这就形成了皮亚杰所强调的认知冲突，而当这个认知冲突并不那么容易得到解决的时候，学生就会感觉到自身思维的不足，于是有效学习就有可能产生.

然后我们到自身的教学中去寻找能够佐证的例子，结果发现这样的例子并不少见. 比如说“椭圆”概念的教学，在学生原有的思维中，椭圆就是“不正的圆”，也有学生说椭圆就是“被压扁的圆”——尽管在实际教学中有不少学生对这样的答案报以笑声，但这确实是很多学生的想法，也就意味着这是很多学生已有的对椭圆的概念，这个概念虽然不对，但却是教师教学的起点. 后来在学习了集合等概念之后，学生建立起的椭圆的概念是“在同一平面内到两个固定点的距离为定值的点的集合”，于是这个时候学生对椭圆这一概念的认识就不再是基于“形”的了，这实际上是一种抽象的表达，总体而言，这样的概念表述显然是进了一步；再到后来圆锥曲线的学习中，对椭圆的描述又有所不同，其通过标准方程（数形结合）来对椭圆进行描述，而定点与准线成为两个基本概念. 在这样的递进过程中，学生对椭圆概念的理解不断深入，而每次深入的过程，实际上也就是概念转变的过程，在这个过程中学生的认知平衡不断地被打破，然后又不断地建立起新的平衡. 无论是教学经验，还是从理论角度来看学生的这一思维过程的转变，都可以认为这样的概念转变过程是有意义的.

这也提醒我们，在高中数学教学中对于概念的教学，要同时研究起点与终点，要知道学生对某个数学概念已经知道了什么，要研究一个科学的数学概念应当如何形成，在概念转变的过程中学生可能的思维有哪些，应当采用哪些方式进行引导等. 如果在教学中真的能够做到这一点，那概念教学一定会彰显其促进学生数学理解、提升学生数学学科素养的作用. 但这里有另一个问题不可回避，那就是概念的转变究竟应当沿着什么样的途径进行？

[?] 高中数学教学促进概念转变的环节

要促进学生在数学学习中有效的概念转变，首先就必须让学生有概念可供转变. 这就意味着学生对某个数学概念的前概念必须是清晰的、明确的，而要做到这一点并不容易，因为学生在生活中形成的认识往往是隐藏在纷繁复杂的生活经验之后的，其并不会自然凸显出来供数学学习所使用，因此促进概念转变的第一个环节就是：让学生的已有概念清晰化.

在“椭圆”概念最初的教学中，学生对椭圆概念的认识局限于上面所列举的那些认识，这种认识其实在实际教学中是需要加工的，无论是“不正的圆”还是“压扁的圆”，其实反映的都是学生对椭圆最原始的认识. 而到了圆锥曲线中研究椭圆的标准方程的时候，学生大脑中清晰的椭圆的表象，必须是那个“到两个定点的距离之和为定值”的作出椭圆的动画，只有这个表象清晰，那在建立椭圆标准方程的时候，才有一个坚实的基础.

在此基础上，就进入了概念学习的关键环节，即“概念转变”. 概念转变的关键是学生能够在原有对概念理解的基础上，发现认知的失衡并意识到自身思维的不足. 于是概念教学就进入了第二个环节：在数学教学中更多的是通过问题来实现学生的概念转变.

比如说椭圆教学的第一个环节，教师完全可以顺势反问：是不是把圆压扁了就是椭圆？那一个圆是不是就可以压成无数个椭圆？这样的问题往往可以让学生原有的认识遇到挑战，但他们又无法形成对椭圆的准确认识，这个时候教师如何引导才能让学生认识到椭圆的定义需要有标准的方法呢？笔者以为，此时直接呈现椭圆的作法是不太妥当的，更好的办法应当是在学生的思维中形成一个较好的思路，而这又可以以圆的定义来作为一个前概念. 在此之前，学生已经知道了“到一个固定点的距离为定值的点的集合就是圆”，那教师不妨引导学生思考：在圆的定义的基础上大家不妨思考一下，如果不是一个定点，而是两个定点，那会出现什么样的结果？这个问题的提出可以让学生的脑洞大开，用一些学生的话说是“我怎么没有想到这个问题呢？”而有了两个点之后，肯定就不可能是到两个点的距离了，那又应该是什么呢？一番思考（实际上了就是概念转变的过程）之后，学生就会认同到两定点的距离为定值. 在这种情况下，让学生去实际体验作出椭圆的过程，或者简单一点用现代教学手段展示椭圆的生成过程，就比较适合了. 经由这个过程，学生就经历了一个有效的概念转变过程，学生对数学视角下椭圆的科学定义就有了深刻的理解，数学概念也就不再是一个机械记忆的内容.

概念转变的第三个环节是对数学概念的内化，这是一个对数学概念进行咀嚼的过程. 而所谓的咀嚼，实际上就是将数学语言表述出来的概念，变成一个相对形象的思维表象. 如在椭圆的标准方程得出之后再让学生去理解椭圆的概念，学生大脑中应当出现的就不仅仅是PF1+PF2=2a这样的表述（当然即使是这个表述，大脑中也要出现基于直角坐标系上的椭圆及焦点、固定的距离之和等），还应当在此坐标系上有效地说出+=1（a>b>0）及其意义. 这种基于同一坐标系上的同一图形进行的不同层次的表述，恰恰是可以表征学生对概念理解的结果的，这也就是数学概念内化的过程.

[?] 概念转变的教学研究必须以生为本

课程改革中一个基本的观念是“学习是学生自己的事”，那高中数学概念的教学，就需要从学生的角度去思考如何实现概念转变，这也是“以生为本”教学理念真正落实的重要体现.

概念转变其实本来就是学生所具有的概念的转变，学生概念转变之前已经知道了什么？这些内容与概念转变又有什么样的关系？教师如何帮学生实现有效的概念转变呢？这些问题的研究与回答，必须基于学生这个学习主体，只有这样，教学研究的方向才是准确的，这也是以生为本的本义. 说得具体一点，即概念转变实际上是一个以学生已知为起点，以对科学数学概念的表述的理解为终点的教学过程. 真正把这个过程抓实，真正让学生的概念得到有效转变，那数学概念的教学就超越了简单记忆的层面，其在学生将来的问题解决过程中也就能够发挥更大的作用. 这样实际上也就解决了过多的概念教学不能让学生形成问题解决本领的认识问题.

总之，高中数学教学要重视概念的教学，而从概念转变的角度来研究概念教学，则是一个真正引导学生发现数学魅力、提升数学学科核心素养的重要途径.