多角度解决一个圆锥曲线问题

吉斌波

【摘要】圆锥曲线是高中数学的必考内容，此类题目学生普遍感到无从下手。文章就一个习题的多角度解法进行了探索，较为透彻地解决了该类型题目。

【关键词】圆锥曲线；判别式法；配方法；三角函数；数形结合

习题：已知、是双曲线和椭圆的公共焦点，是它们的公共交点且，则双曲线和椭圆的离心率的倒数之和的最大值为 .

解答：

不妨取点在第一象限，设椭圆的长轴长为，离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为e1，、分别为两者的左右焦点.设=s，=t，可得，① .由于，由余弦定理易知②，离心率的倒数之和.

方法一：判别式法.由①易得，故由②易得，将看作自变量，则关于的一元二次方程，有，即，解得，所以.等号成立时，即取到最大值.

补充说明：此时，发现两者互为倒数.此题中使用“主参”互換思想，根据题意合理确定主变量和参变量，以便求得最值.

方法二：配方法.因为，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，则，取到最大值.

补充说明：将求解对象转化为二次函数，使用二次函数配方法解决最值.

方法三：数形结合.将代入化简后，根据题目求解目标，两边同除以得到，可看作.即，设，则求的最大值即可由的图象可知，当两者相切且切点在第一象限时，取到最大值，所以有，在此令，则，因为，所以.

补充说明：采用数形结合的数学思想，利用图形的几何意义巧妙求解.

方法四：三角函数.根据方法三整理得到的，可令，，，则，其中，所以.

补充说明：充分利用进行代换以及三角函数自身特性求解最值. 数学解题中形式看似繁琐，坚持到底，结果简练精辟！

方法五：柯西不等式.根据方法三整理得到的，构造柯西不等式.即，当且仅当时等号成立.

补充说明：特殊值不等式的使用可以起到事半功倍的效果.

方法六：构造向量.根据方法三整理得到的，构造，因为，所以，即，当且仅当和共线时等号成立，故.

补充说明：向量性质的灵活使用.

方法七：导数.根据方法三整理得到的

，设，代入得.即，设，令，则.当时，；

当时，.所以，当时，取到最大值.

补充说明：导数是求最值的最根本方法.

通过以上解法，不难发现，的大小决定了本题的最终结论.

引申：已知、是双曲线和椭圆的公共焦点，是它们的公共交点且，则双曲线和椭圆的离心率的倒数之和的最大值为[其中]，且取最大值时两者的离心率的乘积为1.

证明：必有解，经化简即，当且仅当时等号成立，利用求根公式易知即又，，

补充说明：从特殊到一般，又回到了方法一，由也易知当时无最大值.

一道较有深度的习题可以将数学解题思想和解题方法淋漓尽致地展现出来，进而升华到对数学思想的认知，通过细化探究，让学生在教师的这一探究活动中发现逻辑之美、数学魅力！endprint