因轴而生 想象为翼

王志南

【摘 要】本文对“苏教版”小学数学三年级上册“轴对称图形”一课的两种教学设计进行了详细比较，教学设计的差异反映出教师对教材内涵的不同理解。要让学生走向数学意义的深入理解，教师就要让教学更加贴近学生，将教学的节奏放慢下来，把数学学习的过程做完整、做丰富。

【关键词】“苏教版”；轴对称图形；教学设计；比较

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）28-0055-03

近期参加市级教学研讨活动，听了两位老师同课异构的“轴对称图形”一课。本课是“苏教版”小学数学三年级上册的教学内容，也是学生初次认识轴对称图形。两位老师的设计在教学思路是一致的，但细节的处理却迥然不同。教学设计的差异反映出教师对教材内涵的不同理解，而在两种教法的比较和思考中，笔者也获得了许多有益的启发。

【教学设计一】

1. 认识物体对称

教师引导学生欣赏自然界中的对称现象后，出示例3中的蝴蝶、祈年殿、飞机模型的实物图片。请学生观察图片，找出这些物体的特点，再在组内交流它们的共同特征。

交流：这些物体有什么共同特征？

指出：我们观察这些物体的两边，经过比较，发现它们的形状、大小都一样，是完全相同的，我们就说这样的物体是对称的。

你还见到哪些物体也具有这样对称的特征？

2. 认识轴对称图形

引导：我们把蝴蝶、祈年殿和飞机沿着轮廓画好剪下来，可以得到你们手中的3个图形。

提出要求：请同学们拿出这几个图形。对折，比一比，看一看，你能发现什么，把你的发现和同组的同学说一说。

指出：对折后两边大小相等、形状相同，可以说成“完全重合”。

揭示：像这样，对折后能完全重合的图形，是轴对称图形。

3. 操作深化：出示例4，明确要求

（1）教师演示剪松树图的完整过程。

（2）让学生用一张纸对折，再照样子画一画、剪一剪。

（3）让学生按上面的方法再剪一个轴对称图形。

4. 教学“试一试”

几何图形中也有一些是轴对称图形，你能一眼看出哪些是轴对称图形吗？

每组从材料袋中拿出材料验证，填写记录单。

【教学设计二】

1. 谈话导入，引发思考

谈话：小朋友们玩过剪纸吗？猜一猜，这张纸剪下来的图片是什么？它们有什么共同的特点？在我们身边，你还见过哪些具有类似特征的东西吗？

2. 操作感悟，探究新知

（1）探究轴对称图形。

谈话：刚才同学们说到了蝴蝶、飞机、房子……我们把它画成图形，如果给你这些图形，怎样才能看出它们是对称的呢？

学生活动，对折例题三幅图。

对折时观察：对折后的图形的边线和图形会怎样？

组织汇报：你是怎么折的？（上下、左右）你发现什么？

交流概括：总体上看，只能看到图形的一半，细节上看，对折后左右两边（或上下两边）边线和线条都完全重合。

小结：对折后图形两侧不多不少地“完全重合”在一起。（板书：完全重合）像这样对折后能完全重合的图形就是轴对称图形。

（2）识别轴对称图形。

谈话：如果老师现在给你一些图形图案，你能不能很快说出哪些是轴对称图形？

展示课件中的图，判断哪些是轴对称图形：

①猜一猜：看看哪些是轴对称图形，哪些不是？

②折一折：六人合作，验证猜想。

③填一填：完成答题纸。

学生活动，教师巡视。

组织汇报。随机谈话：怎样验证的？说说你判断的依据。

【两种设计的比较与思考】

在学习本课之前，学生已经从生活中的对称现象中积累了许多对称的经验，因此两位老师的设计有着许多共同之处。如都注重引导学生在生活中感知对称性，在观察、操作中研究轴对称图形的对称性，都注重学生应用所学知识解决实际问题的能力培養。尤其是，两位老师都注重对本课核心概念的意义建构，即“什么是轴对称图形？”“轴对称图形的本质特征是什么？”应该说，两位老师的设计各有特色，都凸显了自己对教学内容的思考。

但是，细细品味两节课的设计，在欣赏之余，却又感觉缺失了什么。比如：两位老师在设计中均未提及轴对称图形的“轴”在哪里？学生对轴对称图形的理解也局限于“对折后两边能够完全重合的图形”，缺少必要的变式。在轴对称图形的判断上方式单一，主要依靠动手操作进行判断和验证。因而，站在更高的视角来看，在这热闹的课堂背后又始终感觉少了点什么，我们必须冷静地思考，课堂中学生究竟该学习什么？又该怎样开展数学探究学习活动？教师又如何在学生的探究活动中发挥应有的主导作用？

事实上，要让学生走向数学意义的深入理解，教师就要让教学更贴近学生，将教学的节奏放慢下来，把数学学习的过程做完整、做丰富。如本课的教学，教师需要教学“轴对称图形”这一核心概念时放慢节奏，组织学生进行充分、深入地探究。基于这样的认识，笔者在此探讨三个问题。

1. 对称轴“呼之欲出”，为何却没有出现？

三年级的学生，教师教学轴对称图形时为什么没有揭示“对称轴”这一核心概念？应该说，整节课研究的是轴对称图形，在学生通过对折、观察等探究活动，明确轴对称图形的含义后，揭示“对称轴”的含义本应是水到渠成，呼之欲出，但两位教师在处理时均未明确揭示“对称轴”这一概念。为什么会出现这样的现象？仔细研读教材不难发现，教材在图中给出了标有“对称轴”的图形，但没有给“对称轴”下定义或做出描述。因此，许多教师就误以为，教学轴对称图形，让学生在观察和操作中体会轴对称图形的基本特征就可以了，至于“对称轴”，只要让学生有一个直观的感受就可以了。因为，有关对称轴的概念，到四年级下册还要具体学习。那么，对于这样的观点，我们又该持怎样的态度呢？endprint

事实上，平移、旋转、轴对称是小学数学“图形与几何”内容中最为生动的部分，是在“图形的运动”这个标题下给出的。而判断一个物体的运动是需要参照物的，我们在拉上了遮光板的飞机上无法感知飞机的运动。史宁中教授这样定义轴对称：“参照物是一条直线。称图形翻转到直线的另一侧，对应点到直线距离相等、对应点连线与直线垂直的运动为轴对称。”从本质上讲，应当是先有参照物然后再规定图形的运动。由此可见，轴对称图形可谓是“因轴而生”，脱离对称轴来学习轴对称图形，或对对称轴这一概念避而不谈，显然是对教材的误解。

在“苏教版”小学数学教材中，虽然不以概念的形式定义“对称轴”，不代表可以忽略对称轴的存在。事实上，我们判断一个图形是否是轴对称图形，就是要寻找一条神奇的线（对称轴），沿着此线对折后，图形的两边能够完全重合则就是轴对称图形。忽视了“对称轴”的存在，谈何“完全重合”呢？事实上，由于图形的不同，学生在进行操作活动时首先需在脑海上进行预设，按怎样的方向（或说沿着哪一条线）进行对折。只要对折活动的存在，就必须思考沿着什么对折的问题，如能完全重合，这条线即这个图形的对称轴。另一个角度而言，在引导学生理解轴对称图形的概念以后，就此揭示对称轴的概念对学生来说是水到渠成的事，学生在具体数学活动中也易于理解对称轴的含义。而在后续的学习活动中，要求学生剪出一个轴对称图形时，先让学生将一张纸对折然后再剪，其实也暗含了轴对称图形是“因轴而生”的。

2.“完全重合”怎样理解，如何走出误区？

在教学中我们不难发现，很多时候由于教师对数学基本概念钻研不够深入，理解不够到位，往往使得概念的教学游离于表层意义，不能引导学生深入理解概念的本质内涵。而就学生而言，数学概念的深入理解和掌握是推动其数学思考的关键因素，一些成人看似简单的数学概念学生在理解时却是复杂和抽象的。如果学生对数学基本概念掌握得不够深刻，那么一段时间以后，学生对这些基本概念的理解将会变得模糊，记忆中的相关知识将不再牢靠。在本课中，理解轴对称图形的特征是本课教学的核心目标，只有学生真正理解，才能在后续练习中正确地判断。而轴对称图形的特征教学的关键在于：一是什么是“完全重合”，其本质属性是什么？二是怎样引导学生深入理解“完全重合”的含义？

具体地说，设计一中师生对“完全重合”的理解是存在偏差的。在学生交流后教师指出：“对折后两边大小相等、形状相同，可以说成‘完全重合。”这样的表述科学吗？还有学生在表述什么是完全重合时，这样表述：对折后的图形是原图形的一半，对折后的图形两边完全相同。这样的表述揭示了完全重合的本质属性吗？显然，这样表述“完全重合”是错误的，将一个平行四边形沿对角线对折所得的两个三角形也是完全相同，对折后的图形也是原图形的一半，但平行四边形并不是轴对称图形。

我们知道，数学语言讲究精确，尤其是当学生表达存在错误或偏差时，教师要正视问题而不是简单地加以肯定。教师可以启发学生：你们同意他的观点吗？你们还有什么补充吗？引导学生在交流中纠偏纠错，不断地逼近正确结论。当然，这也需要教师进行教学设计时更充分地理解和钻研教材，由表及里，逐层深入，理解“完全重合”的本质内涵。相比而言，设计二中教师的处理则准确地把握了“完全重合”的本质内涵。教师提问：你是怎么折的？观察对折后的图形的边线和线条会怎样？进而学生发现：总体上看，对折后只能看到图形的一半，细节上看，对折后左右两边（或上下两边）边线和线条都完全重合。进而教师揭示：像这样，对折后图形两侧不多不少地重合了就是“完全重合”。显然，这样的教学处理比较精细，准确地揭示了“完全重合”的数学含义。

更进一步而言，第二种设计教师还可适当地加以改进，深化学生对“完全重合”的理解。即在学生对折发现轴对称图形对折时完全重合后，教师给学生提供若干图形，有的是轴对称，有的不是轴对称，让学生先判断再动手操作验证，发现有的图形对折后是“部分重合”，进而加深“完全重合”的理解。这样的活动设计放慢了教学节奏，促进学生对“完全重合”含义的深刻理解和内化。有了这样的认识，学生在判断平行四边形是否是轴对称图形时就不会再纠结和困惑了，他们会发现，虽然平行四边形对折后“图形两部分相等”，但是显然图形两部分没有“完全重合”，因而不是轴对称图形。

3.“动手操作”的确实用，是否是判断的唯一路径？

研究表明，几何表象不仅仅是事物或事件的知觉表征，它一方面反映的是图形的相关概念，具有思维的特征；另一方面又具有一定的形象性，可以在头脑中对它进行各种操作，如旋转、切割、黏合、折叠、拓展等。那么，需要思考的是，判断轴对称图形的方法只能依赖于动手操作吗？除了動手操作进行验证，是否可以引导学生借助图形在头脑中展开想象，判断其是否“完全重合”呢？

案例中，两位教师在组织学生判断一些平面图形是否是轴对称图形时，都采用让学生先猜想再验证的教学思路，而验证的主要方式就是动手操作。虽然教师在操作验证前也让学生进行猜想，但问题是：判断一个图形是否是轴对称图形，引导学生猜想时，教师是否可以进行必要地指导，而使猜想不再单纯依靠学生的直觉？

因而，教师在认可动手操作的实用性的同时，还需认识到，判断图形是否对称的方法是多样的。教师还可以引导学生在观察活动中充分感知和建构轴对称图形的形象、位置、关系等特征，形成相应的几何表象。在判断长方形、平行四边形、三角形等是否是轴对称图形时，假设以某一条线为对称轴，在头脑中展开想象，将图形的一边进行“翻折”，想象“翻折”后其是否能够“完全重合”。有了想象“翻折”活动的参与，学生的判断才显得更可靠。当然，对于学生想象“翻折”后仍无法确定是否“完全重合”的图形，教师可引导学生在对图形进行想象“翻折”获得初步结论后再进行操作验证，验证自己的判断是否正确。而这一从纠结到确认的认知过程，有助于学生建立丰富的、精准的平面图形“翻折”的几何表象，促进学生相应空间观念的形成。

在教材的编排中，也渗透了一些需要想象“翻折”活动参与的习题，如图：下面的图案分别是从哪张对折的纸上剪下来的？连一连。这样的题型也可以引导学生在头脑中想象将上一行的图形进行“翻折”的过程，找到相对应的对折的纸。当然，对于极少数想象有困难的学生，教师还可以让其在想象后再动手剪一剪，验证想象是否正确，同时帮助他们逐步建立相应的几何表象，促进学生对轴对称图形的空间形式和关系的深刻理解。

参考文献：

[1] 史宁中.基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社， 2013：60.

[2] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009：274.

（编辑：赵 悦）endprint