培养创新意识 开展“新概念”教学

佛山市南海区华附南海实验高中(528200) 丘红萍

培养创新意识 开展“新概念”教学

佛山市南海区华附南海实验高中(528200) 丘红萍

由知识立意转向能力立意已经成为高考数学命题的改革趋势.最近几年全国和各省的高考数学试题较好地体现了能力立意,体现了命题的理性思维和改革的思想.为了考察考生的学习潜能,改革后的高考命题在学生原有知识水平的基础上不断创新,引申或设置新的定义、术语、表述等,要求答题者根据新信息进行解题.这类试题情境陌生,设问新颖灵活,解答时需要考生通过观察、分析、归纳、概括,对信息进行处理,再与所学知识进行类比、联想,体现了思维的深刻性、灵活性和多样性,有利于培养学生的创新意识,是高考数学中一个新的亮点.

1.“新概念”及“新概念”教学的含义

我们把中小学数学教材中未出现的定义、术语、表述等称为“新概念”.“新概念”题一般通过设置新情景、定义新概念、规定新运算等提供信息,要求学生按照这个新概念的定义,内化题给信息并与原知识能力结合,运用逻辑推理和有关计算进行解题.自然地,“新概念”教学就是以自定义“新概念”为起点所实施的系列教学过程.解答“新概念”题可反映学生对数学语言文字和数学概念理解能力的高低,独立分析和解答问题能力的强弱.

案例1 设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“∗”(即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a∗b与之对应).若对任意的a,b∈S,有a∗(b∗a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是( )

A.(a∗b)∗a=a

B.[a∗(b∗a)]∗(a∗b)=a

C.b∗(b∗b)=b

D.(a∗b)∗[b∗(a∗b)]=b

题中出现了一种新运算“∗”,它与我们平时学的普通的加减乘除、乘方开方等运算不一样,于是我们将这个自定义的的新运算“∗”称为“新概念”.为了让学生掌握新运算“∗”,教师要让学生先建立新观念,再观察式子a∗(b∗a)=b,找出∗运算的本质.理解∗运算的本质后,便可顺利解决问题.我们称这系列的教学过程为“新概念”教学.

“新概念”的形式多种多样:有的用符号、式子表示;有的是以基础概念的叠加的形式出现的;有的是在原有概念的限制、延伸或者扩充而形成的......正所谓“教学有法,但无定法”,在“新概念”教学的过程中,我们可以针对不同的“新概念”的形式采用不同的教学方法,只要把握住“新概念”的本质属性,真正理解“新概念”的内涵和外延,就能建立良好的知识体系,顺利地解决问题.

2.“新概念”教学的研究现状

文献解析函数创新题的求解策略及聚焦高考题中的高等数学背景(二)列举了“凹凸函数”、“闭函数”、“不动点”、“利普希茨条件”等“新概念”,然后给出了与这些“新概念”相关问题的解答和点评,同时说明了这些题不过是以学生熟知的知识为载体,用“新概念”进行包装,解这些题时需把已有的知识、方法和经验迁移到新的情境中.这些文献注重的是解题,没有论述学生如何获得这些“新概念”及运用这些“新概念”来解决相关问题,也没有论述教师如何进行“新概念”教学.

文献新课标下高中数学概念课的教学仅仅论述了新课标下数学概念课的教学的一些理论,基本上没有涉及“新概念”教学.文献新课程下的高中数学概念教学教学设计中虽然有概念教学理论及APOS理论支撑,但所举的教学案例(函数的概念,直线与平面垂直的概念,二分法的概念)均为教材中的基本概念,未涉及“新概念”的教学.

从上面的分析可以看到,有部分文章论述了概念教学,有部分文章在讲“新概念”题的解答,其中仅有一部分的文章涉及到函数问题的概念教学,都是一些非常零散的叙述,但都未涉及“新概念”教学,目前能把高中函数问题的“新概念”教学研究进行系统化、条理化的文献仍极为罕见.“新概念”教学还缺乏理论支撑,所以“新概念”教学理论还有待研究,有待发展并将其系统化、条理化.

3.“新概念”教学的意义

数学概念是数学基础知识中最基本的内容,是数学结构中的重要组成部分,理解和掌握数学概念是学生进入数学学习的基点,是发展学生数学能力、提升学生数学素养的前提.从而概念教学是中学数学中至关重要的一项内容,是基础知识和基本技能教学的核心.概念教学不仅要突出学生对数学知识的掌握和数学能力的培养,还要关心和改善学生的学习方式.事实上,数学概念学习的本质是概括出数学中一类事物对象的本质属性,正确区分同类事物的本质属性和非本质属性,正确形成数学概念的内涵和外延.因此教师在传授数学知识、培养数学能力的过程中,都必须以数学概念为前提和基础,即先掌握数学概念后形成解题技巧.

由于长期以来受应试教育的影响,不少教师在教学中重解题轻概念,造成概念与解题脱节的现象.有些教师认为学好数学就要做大量的练习,学生做的题多了,成绩自然就会好,而不注重基本概念的教学;有些教师仅仅把数学概念看作一个名词而已,认为概念教学就是对概念作解释,要求学生记忆,而没有看到像函数这样的概念,本质是一种数学观念,是一种处理问题的数学方法.从这样的数学概念的教学的实际来看,导致学生会出现两种倾向:一是认为基本概念单调乏味,不重视它,不求甚解,导致概念认识和理解模糊;二是对基本概念只是死记硬背,而不去透彻理解,只有机械的零碎的认识.从而导致学生在解答新概念题的过程中主要存在如下几个问题:(1)对问题的背景不熟悉;(2)不能正确理解创新题中涉及的新概念、数式及图表的含义;(3)没有弄清数量、图形间的关系;(4)不能正确地将问题模型化、模式化或分解、转化为熟悉的数学问题.

其实,“新概念”题源于教材又高于教材,从简单到复杂,充分展示了更深层次的探索过程.当学生遇到“新概念”题时,学生原有的知识经验与“新概念”产生了矛盾,在心里自然而然地就会产生一种解决问题的心理需要,以数学问题激发了学生的好奇心和求知欲,引发了学生的认知冲突,让学生有机会像数学家一样去思考,从而激发了学生学习“新概念”的兴趣,产生了学习的内在动力,把数学从“冰冷的美丽”转化成“火热的思考”.故教师可以在日常教学中渗透一些“新概念”题,让学生通过“新概念”的学习,更透彻地理解基本概念,同时也可以促使教师更注重概念教学,这样便可促使学生更好地理解创新题中设计的“新概念”,也可以更好地将新问题转为熟悉的数学问题.可以看到,“新概念”教学既可以弥补概念教学中的不足,又可以培养学生提高独立获取信息、加工信息的学习能力和对新问题的分析、解决能力.

因此,将“新概念”教学融入日常教学和将“新概念“教学理论进行系统化、条理化,具有一定的可行性和现实意义.

4.实施“新概念”教学的要点

4.1 “新概念”教学本质是概念教学.

概念教学是要帮助学生获得概念的心理意义,即形成概念内涵的心理意义,或者说建构起良好的概念图示.而概念的获得主要有三种基本形式概念的形成、概念的同化和概念的顺应.

4.1.1 概念的形成

4.1.2 概念的同化

概念的同化是指学习者利用原有认知结构中的观念来理解接纳新概念,或者对原有的概念重新加工整理的过程.它是一种有意义的学习.概念的同化过程不仅使新概念获得了意义,而且扩大和深化了原有的认知结构.在数学中,大多数概念是以属概念(在概念的从属关系中,外延大的概念称为属概念)加种差(即关键属性)的方式定义的,并借助于具体的例证进行.正是由于这些特殊的关键属性,使得人们区分各种不同的概念.同时,学生必须弄清概念的内涵和外延的相互依存关系:概念的内涵越大,其外延就越小;换言之,概念的外延越大,其内涵就越小.

如同化题中“单峰函数”的概念:设f(x)是定义在[0,1]上的函数.若存在x∗∈(0,1)使得f(x)在[0,x∗]上单调递增,在[x∗,1]上单调递减,则称f(x)为[0,1]上的单峰函数,x∗为峰点,包含峰的区间为含峰区间.就要对属概念“函数”进行分类,分类的依据是种差“若存在x∗∈(0,1)使得f(x)在[0,x∗]上单调递增,在[x∗,1]上单调递减.”于是从属概念中分化出一个新的种概念“单峰函数”.这个“新概念”里隐含了两个基础概念:单调递增和单调递减,而单峰函数就是由这两个基础概念叠加而成的,所以基础概念是构成“新概念”的基础.单峰函数是一种特殊的函数,它既不同于在定义域上单调递增的函数也不同于在定义域上单调递减的函数.搞清楚了单调递增、单调递减与单峰函数的联系与区别,学习者就明确了单峰函数的内涵和外延.同化的结果,使单峰函数的概念获得了心理意义,将单峰函数这个数学概念纳入到相应的数学概念系统中,使原有的数学结构得到拓展和深化,从而完善认知结构.于是,我们也得到了概念同化的一般过程:阅读定义——以旧概念来明确定义的内涵外延——区分和联系新概念.

4.1.3 概念的顺应

概念的顺应,是指当原有的认知结构不能同化新概念时,就要调整或者改变原有的认知结构,以便概括新概念.例如:运算和运算

(1)对于任意的有理数x,y定义一种新运算∗,规定x∗y=ax+by−cxy,其中a,b,c表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算,又知道1∗2=3,2∗3=4,x∗m=x(m≠0),则m的值为( )

对于这类题——在数学问题中给出一种全新的运算方法,解题时要运用这种方法才能解决,这类题的突破口主要是对所给的新运算的理解,只要把握运算的本质,便可得到顺利解决.

4.2 “新概念”教学的内容及可操作性

高等数学中有些内容与中学比较接近,有些概念或者结论只要稍作变式叙述,就能以中学生能接受的形式出现.这些题既能考查学生的能力,又有利于高等数学与中学数学在知识内容的衔接.于是,教师可适当选取和编拟一些“新概念”题融入日常教学中.但要注意一下几点:

(1)教师要紧密地结合教学目标,围绕教学的核心内容和主要任务设计来提出“新概念”题,随着“新概念”的提出和“新概念”题的解决,有层次有步骤地完成教学目标.

(2)教师要了解学生的认知水平和认知结构特点,设计的“新概念”题应符合“最近发展区”原理,始终保持在欲知未知、半生不熟的中等强度上,不能过易或者过难,这样才能激发学生去思考、解决问题,改善认知结构.

(3)教材是教学的重要依据,教师设计和提出“新概念”题要充分考虑和利用教材,同时也不局限于教材.

在“新概念”教学中,设计和提出“新概念”题要以学生为中心,要有助于启发学生独立思考,帮助学生解决问题而不能代替学生解决问题,以问题推动学生的自主学习,逐步提高学生学习的主体性.

例如:函数教学是中学数学教学中的一条主线,它既是中学书中的重要知识,也是高等数学中继续深入研究的重要对象.在高中阶段函数的学习中,学生已经学习了函数的概念、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性和周期性等基本概念和基础知识,也学习了指数函数、对数函数和幂函数等基本初等函数.有了这些基础知识作依托,我们可以对函数做简单的性态分析.在高等数学中还通过函数的凹凸性、有界性和峰值等研究函数的性态.只要将高等数学中的这些概念修改一下,便可成为中学数学的“新概念”.有了这些“新概念”,我们将可以更加完善地研究函数的性态.

综上所述,我们可以看到,求解函数“新概念”题必须在题设中陌生的、新颖的信息做出深刻的理解,把已有的知识进行复现、延伸、拓展,充分对新旧知识进行联想、类比,把已有的知识、方法、经验转移到新的情境中,在迁移的过程中灵活地将新旧知识进行有机地整合,从而让问题顺利得到解决.而问题解决的关键在于如何进行转换和过渡,如何进行知识的迁移,从而构建出熟悉和谐的知识体系和问题背景.

巴甫洛夫曾经指出:任何一个新问题的统一,分类讨论是通过化整体为局部而策略性地解决问题,等价转化是通过匹配的原因和结果分析而实施,教学设计应关注学生现实的认知结构与可能生长的最近发展区才能达成最佳效果.数学教育工作者应将哲学的辩证法思想、认识论思想贯彻于认知数学、研究数学及数学教学的过程中,用哲学的思想去统帅数学的思想和方法,辩证地讲解数学演译的逻辑过程,才能让学生掌握好数学的思想方法,领悟数学的理性精神,同时获得更高层次的智力开发.

3.2 数学育人与哲学

当下,再出发的新课改倡导“核心素养”,又称为“21世纪素养”.它是为人们适应信息时代、知识社会和全球化时代的需要,是解决复杂问题和适应不可预测情境的能力和道德.对学生而言,“核心素养是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力”.而哲学是系统化理论化的世界观,辩证法则是世界观的灵魂,是我们认识改造世界的最好的劳动工具和最锐利的武器.这充分显示出哲学对提升人的核心素养,具有很强的前瞻作用.相对于具体学科而言,哲学是科学中的科学.对哲学的认识有利于具体学科的学习,而具体学科的学习又能促进对哲学的理解,它们是在相互作用中促进一个人核心素养的发展.

在数学教学实践中,学生的认知发展是一条明线,其中隐蕴的暗线则是数学育人.既然数学育人是暗线,在数学课堂上要防止生硬地说教,防止数学认知与育人脱节,在设计教学时,要体现出认知对育人实在而又具体的层面.具体地讲,数学育人的情感、态度与价值观应以哲学的辩证法思想、认识论思想作统领,这样能将三维目标达到有机的统一,而不是人为割裂.数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个维度.通过数学的抽象、严谨的逻辑推理,孕育学生哲学的真理观,通过数学的直观想象、运算分析、数学建模在解决实际问题中的应用,培育学生辩证法、方法论的世界观,当然,它们也是在相互发展中促成学生数学核心素养的提升.

4 结束语

总的来说,基于核心素养的教学设计,应不崇拜、不跟风、不追求时尚,要实在地着眼于学生的终身发展和社会需求,应有大观念(学科结核)、大视野下的超越理念.二十一世纪的社会公民,接受以哲学思想为统领的数学文明的洗礼,已是科学素养与德育素养不可缺少的组成部分.