复习课中设计课题学习的尝试与思考*以“有理数减法法则新探”为例

江苏师范大学附属实验学校(221011) 张平

复习课中设计课题学习的尝试与思考*以“有理数减法法则新探”为例

江苏师范大学附属实验学校(221011) 张平

一、问题提出

教学实践表明,课标中倡导的课题学习是研究性学习的良好素材,有利于激发学生学习数学的兴趣,增强学生做数学、用数学的意识.我们的思考是:能否在某些复习课中,设计一些课题学习的素材,一方面改变复习课上常见的知识罗列加习题变式训练的设计方式,另一方面以课题学习为载体提升学生的思维能力.笔者在研读教材中发现,作为乘法的逆运算除法的法则,教材中给出了两种描述方式,一种是“除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数”,另一种是“两个不等于0的数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数,都得0”,而作为有理数加法的逆运算减法的法则教材中只给出一种方式即“减去一个数等于加上这个数的相反数”.减法法则能否类比加法的法则,采取新的描述方式呢?

二、教学案例

1.教学背景

在一次区级公开课上,某教师执教苏科版七年级上册第2.3节“有理数的加法”,在课堂小结时,教师提问你还想学习哪些内容,有的学生提出两个有理数相减的法则是怎样的?教师让学生讨论了这个问题,有的学生试图通过实际生活中所蕴含的算式来总结规律,被教师否定了.我在进行有理数单元复习时,豁然回想起上次听课中被教师否决的问题,学生的想法可行吗?能否类比有理数加法法则产生的过程来探究有理数减法的法则,此时有理数减法的法则是否有新的表述方式呢?于是设计了一个课题学习“有理数减法法则新探”.

2.案例呈现

师:我们已经学习了减法的法则?教材中是如何描述的,哪个同学来说一下?

生1:减去一个数,等于加上这个数的相反数.

师:有理数减法法则还有其他表述吗?

生:(疑惑的眼神中带有好奇)没有呀!

图1

师:今天我们来共同探究这个问题,如果用温度计测量A、B两溶液的温度,得到A溶液的温度为+9°C,B溶液的温度为+4°C,那么A溶液的温度比B溶液的温度高5°C,你能用有理数算式来表示上述过程吗?

生2:(+9)−(+4)=+5.

师:如果A溶液的温度为+9°C,B溶液的温度为−4°C,那么A溶液的温度比B溶液的温度高13°C,那么用有理数算式如何表示上述过程.

生3:(+9)−(−4)=+13.

师:如果A溶液的温度为+9°C,B溶液的温度为+18°C,那么A溶液的温度比B溶液的温度低9°C,用有理数算式表示为

生:(+9)−(+18)=−9.

师:请同学们再举出几个相关的例子,并完成下表:

温度计示数A溶液B溶液A、B溶液温度比较(高出的示数记为+,反之记为−)算式+5−6+11(+5)−(−6)=+11+5+6−1(+5)−(+6)=−1+5+5 0(+5)−(+5)=0−5+2−7(−5)−(+2)=−7−5−7+2(−5)−(−7)=+2−5−5 0(−5)−(−5)=0 0−2 2 0−(−2)=2−2 0−2(−2)−0=−2

(学生独立完成了上表)

师:这样我们得到了11个算式,你能用学习加法法则的经验来对这些算式进行分类吗?

学生经过讨论,得到了如下两种较为典型的结果:

生4:从减数、被减数的符号同异的角度可以分为:

同号相减:(+9)−(+4)=+5,(+9)−(+18)=−9,(+5)−(+6)=−1,(+5)−(+5)=0,(−5)−(−7)=+2,(−5)−(−5)=0;

异号相减:(+9)−(−4)=+13,(+5)−(−6)=+11,(−5)−(+2)=−7;

0与一个数相减:0−(−2)=2,(−2)−0=−2.

生5:从差的正负性的角度分类:

差为正数:(+9)−(+4)=+5,(+9)−(−4)=+13,(+5)−(−6)=+11,(−5)−(−7)=+2,0−(−2)=2.

差为负数:(+9)−(+18)=−9,(+5)−(+6)=−1,(−5)−(+2)=−7,0−(+2)=−2.

差为0:(+5)−(+5)=0,(−5)−(−5)=0.

师:能否根据分类的结果,总结出两个有理数的减法法则吗?

(学生模仿有理数加法的法则,由第一种分类方式总结减法法则,没能成功)

生7:从差的正负性出发可以得到启示,两个数相减,首先要比较大小.

师:那如何确定差的符号及绝对值呢?(学生讨论)

生:如果是大数减小数,那么差的符号为+,两数同号时,用较大的绝对值减较小的绝对值,两数异号时,把绝对值相加;如果是小数减大数,那么差的符号为−,两数同号时,用较大的绝对值减较小的绝对值,两数异号时,把绝对值相加;如果两数相等,那么差为0.

师:同学们,讨论一下该生的结论,你们是否赞同他的观点.

生:赞同.

师:哪个同学能总结一下呢?

生:两个有理数相减,首先要判断两个数的大小,再看两数的符号同异,具体的说法同上.

师:看来只要我们用发现的眼光,尝试换种角度去探究某个问题,就可能发现新的一片天地,有理数减法法则看来又多了一种表述,这种表述与教材中“减去一个数等于加上这个数的相反数”的表述有何不同呢?请同学们讨论一下!

生:课本上采用的是转化的方式,而我们采取的是直接的方式.

生:课本上的简单,我们习惯做加法,而减法是加法的逆运算,因此把减法转化为加法做,我们更容易接受.

师:大家讲的很好,这大概是惯性思维所起的作用,如果先学习有理数减法法则,那么加法法则可能就变为“加上一个数等于减去这个数的相反数”,我们今天讨论的问题先到这里,谈谈你的收获吧!(略)

3.教学反思

复习课常给学生一种旧课的感觉,但本节课学生探究的欲望强烈,最后在他们习以为然的法则中获得了新的发现.回顾本课题设计正是利用学生已有的知识经验,另辟蹊径,提高了复习的效益.如何更好的运用课题学习来提升学生的思维品质呢?笔者做了以下思考:

(1)设计好课题学习的梯度,提升学生思维的深度

复习课中的课题学习在知识的应用及创新上将有更高的要求,学生通常感到有难度,因此对于较难的课题学习素材要注意知识间的衔接与过渡,做到有层次、有梯度,使课题学习符合学生的“最近发展区”.让学生在逐层逐梯的探究中,理解知识产生的根源及其所反映的本质问题.在有理数减法法则新探中,学生已经学习了一种减法法则,知晓一个有理数可由符号与绝对值来确定,并且加法的法则的学习经验为本课题学习提供了正能量,所以有理数减法法则新探成为了可能性.再结合溶液的温度比较的生活情境,由生活问题到数学问题的梯度自然,有利于学生理解有理数相减的算式意义,让学生观察算式的特点并根据特点进行分类,有效的分类为减法法则的产生提供了便利,而由具体算式到法则的形成之间的梯度度较大,教师要给予充分的时间让学生讨论交流,如果对学生思维活动过早表态往往会压抑思维的展开,导致学生思维“终止”或浮于表面.教师要在留白处耐心等待学生的心灵转向,把学生当成是交流思想的朋友.让学生在自由的时空里进行思维活动,从而逐步提升学生的思维深度.

(2)把握课题学习的尺度,提升学生思维的广度

数学知识具有一定的系统性,已学知识是后继知识的基础,而后继知识常是已学知识的发展与提升,因此在复习课中设计课题学习时要注意知识延伸的尺度,不要一味地补充新的知识,而要思维的联系上下功夫,在有理数减法法则新探中,教师设置了以下几个问题:有理数减法法则与加法法则的产生过程有何联系、两种减法法则的描述有何不同、你能从数轴的角度解释有理数减法的几何意义吗?如何从具体算式中总结出运算的规律,诸如此类问题可以引发学生对于已学知识间的比较与分析,启发学生用普遍联系的观点去审视问题,拓展学生思维的广度.

(3)拓宽课题学习的角度,提升学生思维的高度

课题学习要着眼于知识的多维角度,从兴趣与需求、过程与结果、知识与能力等方面研究,让学生从知识系统和方法论的高度,去把握知识、观察生活和进行思考.有理数减法当h＜a时,S2＜S1.即高＜长时,纵展路程＜横展路程,推出高“矮”纵路近.

当a＜h时,S1＜S2.即长＜高时,横展路程＜纵展路程,推出长“短”横路近.

由此,引导学生发现规律:高“矮”纵路近,长“短”横路近.这样,将学生的疑问转变为探究的新起点而成功开展,不仅让学生对知识进行了拓展和补充,探究发现了知识规律,还提升了解决问题的能力,可谓一举多得.再出示两个如下难题,也极容易解答.

题1 (淄博中考)如图4所示,是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米和3厘米的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一顶点A处,沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是( )

题2 如图5所示,如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到B点,最近的路线长为多少?

图4

图5

苏霍姆林斯基说:“教育的技巧并不在于能预见到课的所有细节,而在于根据当时的具体情况,巧妙地在学生中不知不觉地做出相应的变动.”课堂教学是一个动态的、不断生成的过程.课堂上,学生根据自己的独特感悟,随时可能提出让教师感到意外的问题.面对这样的“意外”,教师应该理性对待,随机调整教学策略,有分寸地适时地将“意外”纳入教学当中进行化解,重构课堂的动态生成,从而使意外成为探究的新起点,给师生带来探究的无穷魅力,变成课堂上的精彩瞬间.

*本文系2015年度江苏省教育科学“十二五”规划课题“初中选学走组制教学的实践研究”(编号:B-b/2015/02/240)的阶段性成果之一.