导函数零点不可求问题的解答策略

叶良铨

摘 要：在全国卷中，导数几乎是年年作为必考综合，它是研究函数问题的一把“利剑”，但模式还是比较固定的，都是利用下一阶导数的正负来研究上一阶导数的增减，从而求导函数的零点是个关键点.所以当导函数零点不可求时就成了一道拦路虎，但也不是无法逾越，可以通过猜想验根，虚拟设根，多次求导，局部求导，泰勒展式几个策略来应对解决.

关键词：导函数零点；虚拟设根；多次求导；局部求导；泰勒展式

导数是研究函数强有力的工具，可以研究函数的单调性，极值，最值.通过导数值的正、负来区分原函数的增、减性，进而来求极值，最值或是其它问题.可见求出导函数的零点是解决问题的关键，然而事与愿违，有些时候，导函数的零点不易求，更甚是有的导函数的零点是不可求的，如果此“点”得不到解决，那后继的问题将戛然而止，导数的作用也就暗然失色，那怎么办呢？本文就这个问题通过具体的例子谈谈我个人的看法.

1 观察猜想，代入验根

当导数零点不可求时，可猜想在特殊值处取得，如x=0，x=1……是经常被拿来猜想验证的.

通常情况下，当导数零点不可求时，首先想到的应该是猜想可能的几个特殊值去试验.在含ex的复合函数中，一般取x=lnk（k>0）去验；在含lnk的复合函数中，一般取x=ek去验.

2 虚拟设根，谋求代换

在近几年的高考全国卷中，导数问题都出现了求函數在给定区间上的零点，这就需要通过其导函数来分析，然而经常会遇到导函数具有零点但求解很烦琐，更甚是根本无法求出导函数的零点.此时我们可类比解析几何中“设而不求”思想，可以把导数的零点只设不求，如设x=x0，则有f'（x0）=0，此时我们就可以得到一个关于x0的代换式，然后寻求一种整体的代换，再结合已有的条件，从而使问题得以解决.

以上所述的几个策略，是解决导函数零点不可求的有效途径，成功逾越了障碍，有效摆脱了解题过程中的一些困境，时常给人一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的心灵愉悦.