不同版本周期函数概念的解析·比较·疑惑

☉上海市奉贤中学 蔡 悦

在沪教版高中教材中，函数周期性这一概念出现在6.1章节：“一般地，对于函数f（x），如果存在一个常数T（T≠0），使得当x取定义域D内的任意值时，都有f（x+T）=f（x）成立，那么函数f（x）叫做周期函数，常数T叫做函数f（x）的周期.对于一个周期函数f（x）来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数f（x）的最小正周期.”［1］

笔者翻阅资料，高中数学教材中较有代表性的北师大版、人教版、苏教版，虽然这些教材中周期函数的引入方式各有差异，但对于周期函数这一概念的表述基本一致.根据这一概念，结合笔者多年的教学经验，有以下思考.

一、对于概念中“任意”的理解

如何正确理解概念中“当x取定义域D内的任意值时，都有f（x+T）=f（x）成立”，首先要将其中的“任意”与“存在”类结论进行区分.例如，判断函数f（x）=sinx（x≠0）是不是周期函数.我们知道f（x）=sinx（x∈R）是一个周期为2π的周期函数，然而应当注意到定义域中挖去0后，当x=-2π时，f（x+2π）=f（0）无意义.于是该函数并不是周期函数，因为有一个地方不满足要求，不符合“任意”一词.也就是说，周期性应当是函数的整体性质，并不存在函数局部满足周期性的说法.

而进一步挖掘概念中这句话，我们可以得到一个隐含的条件“若x∈D，则必有x+T∈D”.于是就有了这样的结论：“若函数f（x）存在正周期T，则其定义域必定正向无界，也就是自变量的值可以趋向正无穷；若函数f（x）存在负周期T，则其定义域必定负向无界，也就是自变量的值可以趋向负无穷.”于是对于如y=sinx这样的既有正周期又有负周期的函数而言，其定义域必定可以趋向正无穷和负无穷.于是在判断一个函数是否为周期函数时，定义域可以作为一个先决的条件.

二、概念理解中的两个常见误区

（1）教材中指出：“在本书中提到三角函数的周期

我们不妨再进一步，如果将命题改为“所有存在正周期的非常值函数的周期函数都一定存在最小正周期”，［2］又是否正确呢？其实这个命题仍然错误，比如Dirichlet函数：为有理数，所有的有理数都是它的为无理数，周期，自然存在正周期，同时也是非常值函数，然而它还是不存在最小正周期.

（2）若函数（fx）存在周期T，则kT（k为非零整数）一定也是（fx）的周期吗？这个命题对于初学的学生来说，是很容易弄错的.因为如果仅着眼于如y=sinx这样的既有正周期又有负周期的函数，那么就无法找到反例.事实上，对于像前面提到的函数y=sinx（x≤0）这样，仅存在负周期而无正周期的函数而言，不难发现，若T和kT都是其周期，则，于是命题中的常数k必须是正整数.同样，对于仅存在正周期而无负周期的函数也是如此.时，一般都是指它们的最小正周期.”那么，是否所有的周期函数都一定存在最小正周期呢？其实不然，比如函数y=sinx（x≤0），因为满足sin（x-2kπ）=sinx（k∈N*），所以它有负周期-2kπ（k∈N*），却不存在正周期，更不存在最小正周期.

那么，如果将这个命题改为“所有存在正周期的周期函数都一定存在最小正周期”，又是否正确呢？其实仍然可以找到反例，比如，常值函数y=1（x∈R），显然任意的正实数都是它的正周期，但不存在最小正周期.

三、概念的几何解释

从概念上理解，不难得到周期函数的图像存在这样的特征：若周期T＞0（T＜0），则函数图像上任意一点向右（左）平移T个单位后仍在该函数图像上.为了辨析理解，笔者在课上设计了两个函数的图像（图1、图2），其实只要理清周期函数的图像特征，不难发现它们都不是周期函数.

图1

图2

至此，我们对于周期函数的图像特征似乎已经挖掘得较为透彻.然而笔者发现，更多的学生对于周期函数的图像停留在了“周而复始”、“不断重复”这样的印象上.那么，周期函数的图像是否一定是学生所认为的“周而复始”、“不断重复”呢？我们不妨来考查这样一个函数：我们将周期函数f（x）=|x-2k|（x∈［2k-1，2k+1］，k∈N） 的图像仅仅取…（其中m∈N）的部分，于是就得到了如图3所示的函数图像.从图像上来看，似乎与学生印象中的“周而复始”、“不断重复”并不吻合，该图像上相邻两段通过平移并不能重合，然而这的确是一个周期函数，满足周期的定义：当x取定义域D内的任意值时，都有f（x+2）=f（x）成立，所以这是一个周期为2的函数.

图3

四、概念的延伸

若定义域为R的函数f（x）、g（x）都是周期函数，那么f（x）+g（x）也一定是周期函数吗？对于这个命题，学生甲给出这样的解答：假设函数f（x）的周期为T1，函数g（x）的周期为T2，则有f（x+T1）=f（x），g（x+T2）=g（x），所以只需取T=［T1，T2］（［T1，T2］为T1和T2的最小公倍数），那么f（x+T）+g（x+T）=f（x）+g（x），所以T为函数f（x）+g（x）的周期.如此解答粗看似乎挺有道理，但其实经不起推敲，倘若T1和T2不存在最小公倍数呢，比如T1是无理数，T2是有理数，那就找不到这样的周期T了.所以这个命题其实是假命题.同样地，对于两个周期函数作其他四则运算也是如此.

反过来，如2016年上海高考卷第18题，判断命题真假：设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，若f（x）+g（x），f（x）+h（x），g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数.这个命题是真命题，因为条件中这三个函数的周期相等，那么它们作四则运算的结果也都是周期函数.比如：f（x）=所以函数f（x）也是周期函数.

那么对于两个定义域为R的函数的复合函数y=f（g（x））呢？容易发现，若f（x）是周期函数，而g（x）不是，则函数y=f（g（x））不一定是周期函数；若g（x）是周期函数，则无论f（x）是不是周期函数，函数y=f（g（x））一定是周期函数.

反过来，若函数y=f（g（x））是周期函数，那么定义域为R的两个函数f（x）、g（x）是否至少有一个是周期函数呢？其实，这还是一个假命题.如：f（x）=x2，g（x）=sin|x|；再如

五、对于概念的疑问

虽然沪教版、北师大版、人教版、苏教版高中数学教材中函数周期性的表述基本一致，但查阅大学代表性教材，如高等教育出版社的同济版高等数学（第六版）：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个正数l，使得对于任意x∈D有（x±l）∈D，且f（x+l）=f（x）恒成立，则称f（x）是周期函数，l称为f（x）的周期.［3］

再如高等教育出版社的数学分析讲义（第五版）：设函数f（x）定义在数集A上.若∃l＞0，∀x∈A，有x±l∈A且f（x±l）=f（x），则称f（x）是周期函数，l称为函数f（x）的一个周期.［4］

我们不难发现，与中学教材中“周期函数”概念不同的是，大学教材中要求周期函数必须同时满足f（x+T）=f（x）和f（x-T）=f（x）两个条件，这也意味着其定义域的值可以趋向正无穷及负无穷.如此一来，以上所探究的很多问题显然都会出现不同的结果.再如问题：周期数列是不是周期函数？按照高中概念，理当算是，因为数列也是一类特殊的函数，显然周期数列存在正周期，但不存在负周期.然而按照大学教材，肯定不是.

同一概念上如此的偏差势必会对各自的教学带来影响，也不利学生前后学习的连贯性.希望能够尽快看到两者的相融，释疑笔者一直以来对于这一概念的困惑.

1.袁振东，赵小平.高级中学课本高中一年级第二学期数学［M］.上海：上海教育出版社，2007.

2.黄利娜.周期函数和的周期性［J］.中学数学，2004（1）.

3.同济大学数学系.高等数学第六版上册［M］.北京：高等教育出版社，2007.

4.刘玉琏.数学分析讲义（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2008.F