数形结合方法在高中数学教学中的应用

☉江苏省锡东高级中学 蔡晓红

数形结合方法是数学思想方法之一，它将“数”与“形”有机地联系到一起，实现了以数助形，以形助数.从某种角度来讲，数是形的抽象概括，形是数的直观表现，而对于数学知识来讲，无论“数”还是“形”都是呈现的方式，领会运用“数”、“形”能够降低数学的难度，提高学生的学习效率和质量.因此，笔者结合多年的教学实践经验，概述了数形结合方法在高中数学教学中的应用原则，并从定义、性质及同角这三个方面，探究了数形结合方法在三角函数中的应用，以期数学结合方法能够科学、合理地运用到数学中，使学生掌握灵活运用数形结合方法的技巧，提高学生的解题效率和正确率.

一、数形结合方法在高中数学教学中的应用原则

数形结合思想既是一种解题思想，又是一种解题方法.在数学教学中，数形结合思想是指，通过数量关系转化为空间图像、空间图像转化为数量关系，实现“数”、“形”两者结合的解题思想和方法.通过研读高中教科书发现，教材中拥有大量、复杂的空间图像问题和数量关系问题，而在解决问题的过程中，教师如若能够潜移默化地将“数形结合方法”渗透其中，既能够降低学生“学”和教师“教”的难度，还能够提高学生“学”和教师“教”的效率.可见，数形结合方法运用到高中数学教学中具有必要性.而数形结合方法应用于高中数学教学中，不要盲目实施，而是要尊重等价性和双向性原则，否则会适得其反.

等价性原则主要是指在“数”与“形”转化的过程中，要确保“数”与“形”的对等.实践证明，数形结合方法确实能够降低某些问题的难度，激发学生解题的积极性，提高学生解题的效率和正确率，但是如若“数”与“形”转化不等价，就定然不会获取正确的答案.

双向性原则就是指在分析数量关系和空间图像的过程中，实现“数”与“形”的优势结合.如在求取函数最值问题时，就要将函数图像与“数”进行整合，这样以来，通过观察图像，就能够轻易获取正确的答案，若数形结合方法未遵循“双向性原则”，解题过程可能会出现各种问题，进而与正确答案失之交臂，而“数”与“形”的转化也失去了应有的意义.

二、数形结合方法在三角函数教学中的应用实践

数形结合方法是数学教学中常用的解题思路和方法，实践证明，科学合理地运用数形结合方法，不仅能够提高课堂的教学质量和效率，还能够强化学生对于数学知识的理解，促使学生完成知识内化.而三角函数作为高中数学的重要组成部分，它具有抽象性、难度大等特点，导致学生学习的兴趣不高，导致课堂的教学效果不甚理想.结合三角函数相关知识的特征，笔者在日常的教学中，采用了数形结合方法，取得了理想的教学效果.

1.数形结合方法在三角函数定义教学中的应用

从定义来看，三角函数就是数形结合的产物，因此在定义教学中，教师应该合理地运用“数形结合方法”，强化学生对于三角函数定义的理解，从而提高学生运用“定义”解决问题的能力.结合学生解决问题的过程可以发现，定义求解一般运用“取点法”和“单位圆”的方法，而相比较而言，单位圆的方法更为简便，且解题的速度更快.

分析：由已知条件可知，解决此问题可以通过“取点法”、“单位圆”两种方法进行解题.

表1 的正弦值、余弦值、正切值的解决方法及过程

表1 的正弦值、余弦值、正切值的解决方法及过程

方法一取点法 方法二单位圆y y A图O 60° x x M O 30°P（1，y）P（x，y）解（略） （略）将角5π 将角5π 3放置到直角坐标系xOy中，并换一个单位圆，而角5π 3的正弦值、余弦值及正切值.3的正弦值、余弦值及正切值.备注 两种方法都运用了数形结合法，但比较而言，单位圆较为简洁，仅仅需要知道点P的横坐标就可以得到答案评注3放置到直角坐标系xOy中，并在角的边上取点P，并从点P向Ox的正方向引垂线PA，构建直角△PAO.通过点P的坐标可以得出Rt△PAO的各个边长，然后结合定义，就可以得出角5π 3的终边与单位圆的交点为P，并由点P向x轴引垂线PM.结合三角函数在单位圆里的特殊性质，轻松、便捷地就可以得到角5π

2.数形结合方法在三角函数性质教学中的应用

大多数学生对于三角函数的性质都较为了解，但是在具体的问题中，并不能够灵活地运用，进而导致问题的解决过程不够顺利，甚至得不到正确的答案.性质是解决三角函数相关问题的重要着手点之一，但是要想合理地运用，就需要能够灵活地运用“数形结合方法”.因此，作为一线的教育工作者，在日常的教学实践中，要将数形结合方法渗透到三角函数性质教学中，使学生准确把握“数”和“形”两者之间的关系，能够降低问题的难度，提高学生解题的正确率和效率.三角函数性质往往被运用到不等式、不等式方程及比较大小等问题中，如若能够将具体问题转化成为图形，再结合性质，就能够轻松地解决问题.

分析：单从已知条件根本找不到着手点，若了解三角函数的性质，可以将其构建出“形”，认真观察，就可以得出答案.首先，根据已知条件，构建关于未知数x的函数f（x）=sinx；然后，在直角坐标系xOy中画出函数f（x）=sinx的图像（图1）；最后，结合题意和三角函数的性质，得出满足（k∈Z）.

图1 函数f（x）=sinx的图像

评注：将问题转化为求“角”的问题，也要运用到“数形结合方法”，它利用了正弦图像和代数式结合的方法.针对该题目，不仅要掌握三角函数的性质，还要能够完成构建函数的环节，并将函数图像呈现于大脑中，甚至于纸张上.这样，降低了题目的难度，还有助于拓展学生的思维.在此需要注意的就是，该题目解决的方法并仅有这一种，还有“单位圆”的方法，此文中就不详细阐述.

3.数形结合方法在同角三角函数关系教学中的应用

同角三角函数的关系是三角函数教学的重要内容之一，而通过研读数学教材发现，同角三角函数关系可以从“数”和“形”两个角度进行理解和掌握.同角三角函数关系有平方关系（表2）和商数关系（表2），无论是平方关系还是商数关系都可以从“数”和“形”两个角度进行推导.在实践的应用中，大多数学生不能够灵活地运用三角函数的平方关系和商数关系，归根究底就是因为学生未曾真正掌握同角三角函数的关系，导致在实际问题中，不能够完成迁移，进而导致出现各种问题，长此以往，会降低学生学习数学的兴趣和欲望.

表2 同角（α）三角函数关系

图2 tanα=-的图像

解：由定义和图得知，点P的坐标为（4，-3），|OP|=5，所以

评注：利用已知条件画出对应图像，然后结合定义，就能够直观地将结果呈现于脑海中，这样不仅避免了繁杂的代数运算，还提高了学生的解题效率，更能够避免由于细心答疑，而出现“漏符号”的情况.

三、结束语

高中阶段，数学学科中涉及大量的空间图像、数量关系及数形结合的问题，而这些问题的难度并不大，关键就是学生能够正确地运用“数形结合方法”.但是，由于受到各种因素的影响，部分学生对于“数形结合方法”的运用并不能够满足当前解题的需求，所以作为一线的教育工作者，要认识到数形结合方法的重要性，并将其渗透到数学教学过程中，使学生“数”、“形”转化以及“数”、“形”结合的能力得到锻炼和培养，从而能够从容面对相关问题，促使学生的解题效率和正确率得到提高.除此之外，还应该让学生认识到，数形结合方法并不是万能的，不能够盲目运用，否则会适得其反.F