浅谈过程性教学中“弯路”的重要性

☉江苏省张家港市塘桥高级中学 汤 鸿

学生学习数学的快乐往往源于两个方面：一是利用数学上巧妙的结论对数学问题实行“秒杀”获得愉悦；二是通过对数学问题的探索获得享受，但时常走弯路，好似古人说的“曲径通幽处”.所以作为教师在教学时也经常会遇到让学生走“弯路”还是直接给“捷径”的选择，面对这种选择，笔者结合实际教学，从教学设计、例题选择、解题方法三个方面谈谈对此的认识，回答为什么高中数学教学中要“过程结论需并重，弯路捷径两相宜”，以期抛砖引玉.

一、探究中发现结论，“弯路”通幽处

案例1 《椭圆焦点三角形的面积问题》的教学设计.

学习目标：结合解三角形知识解决焦点三角形的面积问题.

重点、难点：理解椭圆的定义，掌握椭圆性质的灵活应用.

1.创设情境，特例激疑

师：椭圆上的点P符合怎样的条件？

图1

生1：|PF1|+|PF2|=10 3 .

师：条件∠F1PF2=90°的等价条件是什么？

生2：|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=200.

师：如何求△F1PF2的面积？

2.分析探究，认知类比

问题2：将问题1中的∠F1PF2=90°换为∠F1PF2=60°，如图2，结果如何？

生4：条件|PF1|+|PF2|=10不变，由∠F1PF2=60°得到|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=

图2

师：将问题1中的∠F1PF2=90°换为∠F1PF2=∠120°，结果如何？

生5：简单，将问题中的60°换为120°即可，我已经算出来了，S=25

师：好，我们一起来再将问题1进行变式.

问题3：去掉题中的条件∠F1PF2=90°，求△F1PF2面积的最大值.

师：非常好，现在大家回头看看我们刚刚碰到的三种情况，有没有什么问题？

生7：好像真有问题，∠F1PF2=120°时得到的面积超出了最大值，为什么啊？

生8：因为∠F1PF2根本就取不到120°，当P在椭圆上运动时，只有当P落在短轴端点时∠F1PF2最大（如图3，不要求证明），而此题中最大的∠F1PF2明显小于120°.

图3

师：所以和生5一样想法的同学，没注意到这个细节，导致错误了.

3.完善知识，归纳引申

图4

生9：|PF1|+|PF2|=2a，

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=|F1F2|2.

说明：通过特例的研究，要使学生从低级的理论提升到高级的理论，从已有的认知结构同化或顺应成为高一级的新认识结构.为此，适时归纳总结，适当反思评估，对实现“迁移应用”层次具有重要作用.教学过程中，让学生先“犯错”再“纠错”，而且学生错得有价值，层层递进似“弯”实“直”，方法过程与结论皆在其中，表面上的弯路却和本质上的结论同等地位，这样的教学效果远比教师直接将结论告知学生要好很多.

二、训练中提炼结论，“弯路”是阶梯

案例2《和定点、定直线距离相关的轨迹问题》的教学设计.

1.问题的提出

圆锥曲线的“第二定义”，在新课程的教材中被隐去，可是通过对新教材的研读，发现教材编者对该知识点的“恋恋不舍”之情.文2中P47例6，P59例5都是“不舍之情”的真实流露.“通过具体的例子使学生感受椭圆（双曲线）的另一种定义方式，教学时要注意控制难度，不要对学生提出椭圆的“第二定义”的概念，更不要提出建立圆锥曲线方程的要求.”这是教材指导用书对上课教师的要求.针对这种情况，笔者采用的是题组教学法：

2.题组的呈现

题目：求满足下列条件的点M的轨迹.

（1）点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=

（2）点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到直线l：x=

（3）点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=-4的距离之比是常数1.

3.选题的依据

“过程与方法”是新课程标准的一项课程目标.这一目标变“追求学习的结果”为“强调学习的过程”，注重学生学习过程的积极体验和科学方法的掌握与内化.这就要求教师不仅要关注学生对知识目标的认知和追求，更要关注学生个性的差异，关注学生能力的发展，注重学生对学习方法的主动探究，遵循学生身心发展的规律，充分发挥学生的潜能.选用的例题作为教材例题具有代表性和权威性，也符合比较和类比学习的过程要求，顺应学生的认知规律.

说明：通过题组训练，学生重温了直接法求点的轨迹的方程的过程，感受了常数对轨迹的影响，在不违背《指导意见》的前提下，让学生充分体会，同时对引出抛物线的定义也就显得自然了.

三、考试中运用结论，“捷径”变“效益”

在平时的教学过程中，让学生做一些“思考”“探究”，甚至犯一些错误，适当地走一走“弯路”，不但对学生的意志品质有所锻炼，也有助于学生对知识点的深入理解和透彻认识，但往往要耗费大量的时间和精力，老师在讲评试卷的时候，经常会被学生追问有没有简单的方法.必须承认的事实，目前为止，考试是检验学生学习效果的最有效手段，传授给学生一些实用的结论，以及适当的解题方法和技巧有助于提高解题效率，省时省力.

案例3 极化恒等式的引进和应用.

题目：设△ABC，P0是边AB上一定点，满足且对于边AB上任一点，恒有的形状为___________.

常规解法：解决向量问题一般有两条思路：利用平面向量基本定理转化为基底的线性运算，建系设点坐标化处理转化为代数运算.沿着这两条思路，学生比较容易想到的解法如下：

方法2：（利用捷径）基本定理的方式是向量问题解决之本，但是需要花费一定的时间，适时地抛出“极化恒等式”的理论，告诉学生有一种方法能节省时间，立刻就能让学生充满好奇心和求知欲.极化恒等式b）2-（a-b）2］.

说明：在有限的考试时间内，如果能给学生一个行之有效的方法，不仅仅是时间上的节省，也是对学生信心的提升和考试心态的良好调节，此时选择走“捷径”才是明智之举.类似极化恒等式的结论，在考试过程中经常会被应用到的常见结论有：阿波罗尼斯圆，拉格朗日定理，洛必达法则等.

在平时的数学教学过程中，教师可以以自己的经验节省学生的学习时间，往往造成的后果是学生变成做题的工具，对结论一知半解，缺乏必要的数学素养，也偏离了数学教学的正确方向；另一方面，在紧张的考试过程中，如果平时不介绍一些思想方法、解题技巧和常用结论，会让学生陷入大量运算之中，进而导致无法在有限的时间内完成答题，会让学生充满挫败感的负面情绪.教师在教、考之间，如何安排好过程和结论的比重，是一个值得思考的问题.

1.中华人民共和国教育部·普通高中数学课程标准（实验）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

2.中华人民共和国教育部·普通高中课程标准实验教科书：数学选修2-1［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.叶国芳，蒋青松.对一道高考题的通法研究［J］.中学数学教学参考，2016（12）.F