新课标背景下高中函数教学方法
——以苏教版高中数学为例

☉江苏省常熟市尚湖高级中学 江 政

一、新课标对高中函数的教学要求

新的课程标准对函数内容的要求发生了较大的变化，主要体现在以下两个方面：

（一）强调函数背景，加强对函数本质的理解

无论是引入函数概念，还是讲授二次函数、幂函数、指数函数及对数函数等常见的函数模型，新课标都要求教学过程要结合生活背景，用实际案例辅助教学，加深学生对函数本质的认识.从学生的角度来说，函数的学习就是从案例出发，在老师的指导下探索、总结，直至抽象出函数知识，再将抽象出来的函数知识运用到案例的解决过程当中，实现“具体-抽象-具体”的认识变化过程.

（二）重视函数思想

函数的本质就是分析运动变化情况，因此函数思想就是用动态的、变化的思维去分析具体问题，明确其中的数量关系，建立函数关系进行求解.新课标极为重视培养学生解决问题的能力，在函数学习方面就是要运用好函数模型，在面对具体问题时，能根据实际情况选择或建立适当的函数模型，使问题得到有效解决.

二、新课标下高中函数教学方法评析

（一）函数概念引入

在函数的教学过程中，首先需要通过具体的案例让学生对函数有一个初步的认知.教师以教材为基础，通过演绎案例来创设情境，引导学生进行思考与讨论.通过这种教学活动，让学生对变量间的变化规则有初步的认识，为之后函数概念的讲授奠定基础.下面以苏教版高中数学必修1第2章“函数概念与基本初等函数”为例进行说明.

1.问题情境

估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得，我国1949年人口为542百万人，1954年为603百万人，1959年为672百万人，1964年为705百万人，1969年为807百万人，1974年为909百万人，1979年为975百万人，1984年为1035百万人，1989年为1107百万人，1994年为1177百万人，1999年为1246百万人.你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？

2.案例分析

集合A是由年份数组成，即A=｛1949，1954，1959，1964，1969，1974，1979，1984，1989.1994，1999｝，另一个集合B是由人口数（百万人）组成，即B=｛542，603，672，705，807，909，975，1035，1107，1188，1246｝.

存在某种对应法则，对于A中任意元素x，B中总有一个元素y与之对应.例如，x取1949，则y取542，这时，我们说“1949对应到542”或者是“输入1949，输出542”，简记为：1949→542.

下面的“箭头图”可以清楚地表示这种对应关系，这种对应具有“一个输入值对应到唯一的输出值”的特征.

1949→542

1954→603

1959→672

1964→705

1969→807

1974→909

1979→975

1984→1035

1989→1107

1994→1177

1999→1246

3.概念总结

一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y=f（x），x∈A，其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f（x）的定义域.

4.方法评析

通过这种教学方式，能让学生充分感受到函数概念的产生过程，切身参与，积极地进行思维训练，探索出对于函数概念的个人理解.在这样的学习过程中，学生的比较、抽象概括等能力都会得到大幅度的提升.

（二）函数图像及性质教学

高中阶段所学的函数都是连续的，能用图像进行表达.因此会画图、能看图，就能有效地解决函数问题.

1.熟悉基本初等函数图像

很多复杂的函数都是由初等函数变换而来的，因此掌握初等函数的图像、性质就能给函数学习带来巨大的便利，比如：y=sin（ωx+φ）的图像可以看成是由y=sinx先向左平移φ个单位，然后将横坐标压缩ω.

2.重视函数图像的对比

指数函数和对数函数的底数a值的范围不同时，函数的图像、定义域、值域及增减性都会发生变化.比如指数函数y=2x与y=，底数互为倒数，但两个函数的图像、性质都存在较大变化.因此，学生在学习过程中如果把各种情况孤立来看，很容易就会混淆.老师可指导学生自行总结，编制函数图像对比表，通过这种方法系统区分不同的函数之间的差异，加深记忆.

（三）函数思想渗透

1.明确对应关系

函数正是由于变量的存在而产生相互间的关系，因此学生在学习函数的过程中也要注意紧抓函数的本质，学会用“对应”的思想去解决问题.

比如，已知二次函数f（x）满足f（3x+1）=9x2-6x+5，求f（x）的表达式.

分析题干可知，如果利用假设f（x）=ax2+bx+c来求取a，b，c的值，解答过程比较烦琐，容易出错.如果假设3x+1=z，那么x=，则（fz）=（z-1）2-2（z-1）+5，进而就可以求解得到函数的表达式.

2.数形结合

数形结合思想指的就是利用几何图形来处理代数问题，使得题目的数量关系更为直观地反映出来，将数字与图形巧妙地结合起来，在此基础上寻求解题思路，简化问题的解决过程.

比如，若要求取函数y=|x-7|+|x-8|的最小值，如果采用纯数学运算的话，计算难度较大，但是如果运用数形结合的方法，绘制示意图（图1），很容易就会发现在［7，8］范围内任意一点都能取到最小值，函数最小值为1.

图1

三、新课标下高中函数思维能力培养

（一）避免思维定式，培养创新思维

思维独创性在函数学习中最直观的体现就是解题思路，方法多样，能够积极探索，敢于创新.在教学过程中，教师首先要引导学生形成准确的思维习惯，这种定向、定序思维方式能极大地简化学生的思维进程，提升学生的学习速度及学习效率.尽管如此，如果这种思维习惯演变成了思维定式，那么学生就会陷入单一的思维方式，无法多角度、全方位地去看待问题，分析问题会有偏颇.因此，高中数学教师在教学环节中要注意引导学生突破惯性思维，让学生更具思维张力，更具创造性.下面以苏教版高中数学必修1第2章“函数概念与基本初等函数”为例进行说明.

已知：对满足m≤2的任意实数m，函数f（x）=mx2+2x+m-1的值恒等于0，求f（x）的定义域.

一般情况下，学生碰到的都是使函数有意义的定义域或者是已知定义域求值域.但是本例却是在参数未知的情况下，已知值域，求解定义域.这就提醒学生要看清题目要求，将问题转化为已知关于数m的一次函f（m）=（1+x2）m+2x-1的定义域、值域，从而求取参数的取值范围.

（二）举一反三，思维发散

高中数学教师在讲授函数内容的过程中，可以结合具体的习题举一反三，对典型的题目进行“再命题”，反复训练，加强学生对解题方法认知的全面性.

比如，在求解函数y=x2+3x-2与x轴的交点的时候，教师在讲解完以后可以设置一些新的问题让学生去探究，如求解函数y=x2+3x-2与x=4的交点、求解函数y=x2+3x-2与-2的交点个数等.

四、结束语

在高中数学的学习中，函数是极为重要的内容，难度也比较大，在整个高中数学的教学体系中起到不可替代的作用.因此，广大高中数学教师要明确新课标的要求，提升函数教学的有效性，加深学生对函数的理解.

1.刘才华.例谈新课标下高中数学概念课的教学［J］.教学月刊，2007（2）.

2.康卫兵.浅谈新课改下的高中数学函数教学［J］.高中数学教与学，2013（7）.

3.李强.高中新教材中函数概念教学思考［J］.数学通报，2007（5）.

4.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（试验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.F