构造函数解决极值点偏移问题

☉武穴市教育科学研究院 刘全丰

☉武 穴 市 育 才 高 中 吴加兴

近年来，导数一直是高考的压轴题，常常需要构造函数，但是如何构造，一直是函数的难点，也是高考的热点.近几年高考题中出现了很多需要构造函数的题，其中不乏一些偏移点的问题，这更是让学生感觉无从入手，部分学生有思路，但是没有方法.本文就对函数的偏移点问题谈一点想法，希望能够对学生有一些帮助.

例1设函数（fx）=lnx-ax（2a∈R）.

（2）在（1）的条件下，若有（fm）=（fn），m＜n，证明：m+n＞4a.

（2）证法1：因为f（m）=f（n），

所以lnm-am2=lnn-an2，

a（m2-n2）=lnm-lnn，

为了消元，达到构造的目的，对于本题我们不妨两边同时乘以（m+n），要使不等式成立，令即证（m+

所以原不等式成立.

f′（x）＞0，0＜x＜1；

f′（x）＜0，x＞1.

所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，如图1.

构造g（x）=f（2-x）-f（x）（0＜x＜1），

图1

g（x）在（0，1）上单调递减，

故g（x）＞g（1）=0.

所以f（2-x）＞f（x），f（2-m）＞f（m）=f（n）.

所以2-m＞1，n＞1，所以2-m＜n，所以m+n＞2.

这种解法它主要是通过数形结合建构m，n之间的关系，把m，n转换到同一个单调区间上.本题由结论我们可以知道n＞2-m＞1，所以f（n）＞f（2-m），即f（m）＞f（2-m），因此可以构建新函数g（x）=f（2-x）-f（x）（0＜x＜1），从而很容易得出.

（A）f（′x0）＞0（B）f（′x0）=0

（C）f′（x0）＜0（D）f′（x0）不确定

所以f″（x）=0存在零点x0.

因为x1，x2∈（0，π），x1≠x2且（fx1）=（fx2），

F（′x）=f（′x）+f（′ π-x）=2-2sinx＞0，

所以f（x）＜f（π-x）.

令x=x1，f（π-x1）＞f（x1）=f（x2），

所以π-x1＜x2，

图2

例3（2016年全国卷Ⅰ）已知（fx）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2.

解析：（1）a∈（0，+∞），过程略.

（2）不妨设x1＜x2，由（1）易知，x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1），又f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，如图3.

构造函数g（x）=f（x）-f（2-x），x＜1，

g（x）=（x-2）ex+xe2-x，

g′（x）=（x-1）（ex-e2-x）.

当x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＜g（1）=0，

所以f（x）＜f（2-x），

所以f（x1）＜f（2-x1），

所以f（x2）＜f（2-x1）.

又x2＞1，2-x1＞1，

图3

所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，

x2＜2-x1，x1+x2＜2.

本题也是为了得到x1，x2之间的关系，从而构建g（x）=f（x）-f（2-x），x＜1.这样能够把x1，x2转化到同一个单调区间上，利用单调性来进行处理.

【问题反思】极值点偏移：对于函数y=f（x）在区间（a，b）只有一个极值点x0，方程f（x）=0的解分别为x1，x2，且a＜则称y=f（x）在（x1，x2）上极值点x0偏移.当，则称函数y=（fx）在区间（x1，x2）上极值点x0向左偏移；当，则称函数y=（fx）在区间（x1，x2）上极值点x0向右偏移.

图4

解决方法：（1）若y=f（x）在区间（a，b）只有一个极大值点x0，则其大致图象如图4，则可以发现：若x1到x0的距离为x，当x0左移时，f（x0+x）＞f（x0-x）；当x0右移时，f（x0+x）＜f（x0-x）.此时0＜x＜x0-a.所以我们可以构造函数g（x）=f（x0-x）-f（x0+x）（0＜x＜x0-a）.有时为了方便，不妨令t=x0-x（a＜t＜x0），因此对于此类问题我们也可以构造函数h（x）=f（x）-f（2x0-x）（a＜x＜x0），然后进行等价转换即可求证.

（2）若y=f（x）在区间（a，b）只有一个极小值点x0，做法同上，只是函数在各自的区间上单调性不同而已.

很多函数的题目看起来很难，只要我们把握住数形结合这个武器，克服畏难情绪，认真分析，注意细节，我们一定能够体会到成功带给我们的喜悦.