浅析分数应用题的解题方法和策略

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(临沂北城小学)

数学新课程标准中指出：“学生将通过数学活动了解数学与生活的广泛联系，学会综合运用所学的知识和方法解决简单的实际问题，加深对所学知识的理解，获得运用数学解决问题的思考方法。”分数应用题是小学应用题教学的重点和难点，由于抽象程度比较高，学生难以理解和掌握。怎样解决好这一难题，成为众多教师教学研究的热点。

我认为解决分数应用题的关键是数量关系，在理解题意的基础上，找准单位“1”，抓住重点词句进行分析，找到数量之间的等量关系，确定了数量之间的相互关系，才能得到解决方法。因此，我们应重视教给学生解决应用题的方法，提高解决问题的能力。

一、分数应用题的类型

根据分数应用题分率句的特点，我们把分数应用题分为两大类型。第一大类是简单分数的应用题，也就是一个数是另一个数的几分之几的问题。它又可以分为三种类型：一是求一个数是另一个数的几分之几，二是求一个数的几分之几是多少，三是已知一个数的几分之几是多少，求这个数是多少。这三种基本题型，是所有分数应题学习的基础，就好比大楼的地基，一定要打好基础，学生才能更好地理解掌握分数应用题的解决方法。第二大类是稍复杂的分数应用题，也就是一个数比另一个数多(少)几分之几的问题。

根据分数应用题结构的特点，学生学习分数应用题的过程分为三个阶段。第一阶段是学习分数简单的应用题，理解分数应用题的结构，打好学习应用题的基础。第二阶段是学习分数复合应用题，采用乘除混合编排方式，让学生进一步感受理解分数应用题的结构。第三阶段学习稍复杂的分数应用题和工程问题。分数应用题的基础题型是简单的分数乘法应用题，它不仅是学习分数除法应用题的前位知识，还是学习分数复合应用题的基础。这样的编排体现了由简单到复杂，由易到难的知识结构，便于学生构建认知结构。

二、分数应用题的解题方法

(一)简单分数应用题的解题方法

在解决简单分数应用题时，我给学生总结出了“一找二判三写四列”的几个步骤。一找，就是找到题中表示两种数量关系的句子，我们把它称作为“分率句”。二判，指分析分率句所表示的意义，判断哪种量作为单位“1”。三写，是根据分数乘法的意义写出数量关系，单位“1”×分率=对应量。四列，根据数量关系和已知条件进行列式解答。利用这样的方法，根据单位“1”是已知还是未知，就能判断出已知用乘法，未知用方程或除法解答。在简单的分数乘法除法应用题中，反复使用这个解答步骤以达到熟练程度，解决复合应用题就变得非常简单了，并且对后面的稍复杂分数应用题教学能有相当大的帮助。

(二)稍复杂分数应用题的解题方法

在解决稍复杂的分数应用题题型时，仍然运用“一找二判三写四列”方法进行解决。但是和简单应用题不同的就是分率句，重点要理解分率句所表示的意义。这种应用题有两种解题思路，第一种是，明白单位“1”×分率=多的(少的)，然后再用单位“1”+(-)多的(少的)=比较量，综合式子为单位“1”+(-)单位“1”×分率=比较量；第二种是，把稍复杂的分率句转化成简单的分率句，利用1+(-)分率表示比较量是单位“1”的几分之几，然后用单位“1”乘几分之几求出比较量，综合的式子为单位“1”×[1+(-)分率]=比较量，这种解题方法要加强转化训练，要熟练转化“甲比乙多(少)几分之几”变成“甲是乙的1+(或-)几分之几”，对这种转化加强训练后学生就能轻松地从“多(少)几分之几”的分率句中得出“是几分之几”的分率句，从而把稍复杂应用题转变成前面所学过的简单应用题。

三、分数应用题的解题策略

(一)会用线段图

教师要教会学生会看、会画线段图，通过观察线段图，如果单位“1”对应的数量是已知的，就用乘法，找未知数量对应的分率;如果单位“1”对应的数量是未知的，就用方程或除法，找已知数量对应的分率。特别是一些内容较多，关系较乱的问题，通过线段图的方法就能很清晰地找出题中的数量关系，比较容易地解决问题。

如小红和小明两人共存人民币若干元，其中小红占3/5，若小明给小红60元后，则小明余下的钱占总数的1/4，小红和小明两人各存人民币多少元？

根据题意画线段图：从线段图上一目了然，60元的对应分率是(1-3/5-1/4)，于是可求出小红和小明两人共存人民币多少元，进而可求出两人各存人民币多少元。

60÷(1-3/5-1/4)=3200(元)……小红和小明两人共存?3200×3/5=1920(元)……小红

3200×(1-3/5)=1280(元)……小明

或3200-1920=1280(元)

(二)活用转化法

在一道分数应用题中，如果出现了几个分率，而且这些分率的单位“1”不同，在解题时，必须以题中的某一个量为标准量，将其余量的对应分率统一到这个标准量上来，才可列式解答。有些分数应用题，可以通过改变看问题的角度，将题中某些已知数量转化成与之有关联的另一个数量，使之成为一个较为熟悉的简单的问题，从而找到解题的新方法。

如小明、小英、小丽和小华四人爱好集邮，小明的邮票数是小英的1/2，小英的邮票数是小丽的1/3，小丽的邮票数是小华的1/4，已知四人共集邮132张，小明集邮多少张？

题中有三个不带单位的分率，它们的单位“1”分别是小英、小丽和小华；肯定用除法；题中只有一个带单位的数量：132张，列式一定是用132去除；132是指四人集邮总数，应除以四人的分率总和，题目最关键就是要把四人的分率表示出来，由于存在不同的单位“1”，首先必须把不同的单位“1”统一成一个单位“1”。有正确的思路，才知道该做什么。

把题中三个单位“1”，统一转化成以小华的集邮数做单位“1”。小华是单位“1”，根据“小丽的邮票数是小华的1/4”，小丽就是1/4；根据“小英的邮票数是小丽的1/3”，小英就是：1/3×1/4=1/12；根据“小明的邮票数是小英的1/2”，小明就是：1/2×1/12=1/24，现在四人的分率都表示出来了，可以除了。

132÷(1+1/4+1/12+1/24)=132÷11/8=96(张)

算出来的是单位“1”：小华的邮票张数，小明的张数是：96×1/24=4(张)

(三)巧用不变量

对于标准量不统一的分数应用题，如果我们能从题中找到一个不变量，就以不变量为突破口，便能够很快找到解题方法。

如一个车间有工人360人，其中女工占3/5，后来又招进一批女工，这时女工人数占全车间工人总人数的5/8，又招进女工多少人？

从题中可知，女工人数起了变化，引起全车间工人总人数起了变化，但是男工人数始终没有增减，因此，抓住男工人数没有变化这个不变量来分析。当全车间工人为360人时，女工占3/5，则男工占1-3/5=2/5，为360×2/5=144(人)。又招进一批女工后，女工人数占这时全车间工人总人数的5/8，则男工人数占这时全车间工人总人数的1-5/8=3/8，因此，这时全车间有工人144÷3/8=3849(人)。原来全车间有工人360人，现在增加到384人，增加的原因是由于招进了一批女工，故又招进女工384-360=24(人)。综合算式：360×(1-3/5)÷(1-5/8)-360=24(人)。

以上是笔者在教学分数应用题时总结的几点方法，它的解法不是绝对孤立的，因此，在教学中，我们要引导学生灵活运用，以形成自己的解题技能技巧。