几何画板技术对数学探究实验的创新性应用研究
——以“用表格表示数量之间的关系”为例

王小磊 邢志新

(1.荣成市第二十三中学，山东 荣成 264300； 2.荣成市第十四中学，山东 荣成 264300)

一、案例分析

1.原实验的实践可行性分析

在鲁教版教材六年级下册第九章第一节的“用表格表示数量之间的关系”这个实验中，教材中所设计的小车下滑实验很难实现，究其原因主要有三方面：一是实验所需器材种类太多，难以凑齐；二是因为设备较复杂，实验不易成功(受木板宽度所限，小车很容易跑偏；而且实验对精度要求很高，受木板长度所限，小车下滑时间很短，测量数据误差很大)；三是做该实验费时费力，探究过程至少需要30 min，妨碍后续问题的深入探究。更有可能因前期实验气氛过于热闹，导致结果草草收场，没有达到理论的高度，使得数学实验流于形式而忽略了数学的本质。因此，该实验在实际的课堂教学中用实物操作很难实现。在实际教学中处理该部分内容时，实验多停留在教材的描述层面。由于课堂受场地条件的限制，只能用flash课件演示该实验，学生仅从电脑模拟的情境中观察、体验整个实验过程，而后直接进入“××所在的学习小组……”问题串的探究过程。

2.原实验在教学中面临的问题

在实践的难度极高时，能否放弃该实验的课堂实践呢？学生没有亲手完成实验的弊端很明显，主要体现在以下三点：首先，错过培养学生相互合作、相互配合的时机；其次，没有让学生经历探索具体情境中两个变量之间关系的直观体验，影响对后面问题的理解和探究；第三，忽略对学生收集数据、整理数据并进行推断等能力和思维的培养。

尤其在现行教材安排对学生各项意识和能力的培养要求很强的情况下，教材的各章节之间相互交叉、相互渗透，互补性极强。如果教师不组织学生分组完成实验，那么教学目标的落实以及学生动手能力的锻炼、合作精神的培养、统计意识的形成，就会大打折扣。

二、探究与发现

1.创新实验的思路

那么，怎样能够做到既解决当前困难，又实现预期的课堂教学效果呢？经过对课标教材的不懈钻研，以及对教学内容的深入挖掘，在忠于教材的编写意图并不影响探究结果的前提下，大胆创新，完成了以下探索研究。

本研究既利用了教材中提供的内容，又创造性地使用教材，采用几何画板技术设计了一组与教材内容相对应的模拟实验，较好地还原了小车下滑的过程，代替教材中的实际操作实验。从而解决了原实验难以操作的问题，突破了教学的重、难点，达到了课堂教学的期望效果。

2.创新实验的内容

为了更全面地比较传统实验与几何画板模拟实验的效果，现把本节教材内容和几何画板模拟实验的思路呈现如下。

(1)教材实验内容再现。××学习小组利用同一块木板进行实验，记录了小车从不同高度沿斜放的木板从顶部下滑到底部所用的时间，得到如表1数据。

表1 实验数据

支撑物高度为70 cm时，小车下滑时间是多少？

如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？

h每增加10 cm，t的变化情况相同吗？

估计当h=110 cm时，t的值是多少？你是怎样估计的？

随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？

(2) 模拟创新实验思路呈现。

实验一：改变支撑物的高度并记录小车下滑时间。

实验过程中用同一块木板，记录小车从不同高度沿斜放的木板从顶部下滑到底部所用的时间。

首先让我们请上三位同学完成本次实验：一名同学负责操作实验；一名同学负责读数；一名同学负责记录。注意：木板每升高10 cm记录一次。其他同学一边观察一边在导学案中完成数据的收集与记录，并思考：在这个变化过程中的常量与变量分别是什么？自变量与因变量呢？

实验二：改变斜坡木板长度并记录小车下滑时间。

在支撑物高度一定的情况下，记录小车沿斜放的不同长度的木板从顶部下滑到底部所用的时间。在这个变化过程中，常量与变量又分别是什么呢？

实验结果对比作用有三：一是对于四个量的深入认识；二是前后两次的对比实验发现常量与变量并不是绝对的，要让学生学会从相对的角度看待问题；三是体会类比的数学思想。

通过总结得出结论：常量和变量并不是绝对的，常量和变量是对于某一个变化过程而言的，同一个量在不同的问题情境中，可能是常量，也可能是变量。

三、实验过程与讨论

“教师可以引导学生自己动手，让学生根据自己的想法对几何画板进行自主操作探究。”[1]通过以上分析探究，笔者及所在教研组在教学实践中几易其案，编制了以下教学实验方案。该方案着眼于学生发展，通过三人一组参与实验，经历“提出问题——收集问题——整理描述数据——分析数据——发现结论——验证结论”的过程，使学生既获得了数学知识，又积累了数学活动经验，实现学生的数学认识和经验的同步成长。

1.实验原理

利用秒表将小车与表格中的数据关联起来；通过调整支撑物的高度来改变小车下滑时间；通过调整斜坡木板长度来改变小车下滑时间。

小车在无阻力的情况下，应该是匀加速运动，按运动状态来说，前面应该有一段滑行，此处为了教学需要到底部就停下来。

2.实验过程(几何画板制作小车滑行)

(1)工具。几何画板(5.0以上版本)、小车图片(一张)。

(2)制作步骤。打开几何画板，绘制点A(此时点A处于被选中状态)，水平方向平移点A(变换——平移，参数选择：极坐标、固定距离为1 cm、固定角度为0°、平移)得到点A′，作射线AA′，将射线AA′绕点A旋转90°(变换——旋转，旋转参数中固定角度为90°)得到射线AA″，在射线AA″上取一点C，作线段AC(AC为斜坡的高度，即小车下滑的高度)，将点C向上平移得到点C′,作射线CC′，在射线CC′上取一点D,连接AD(设定AD长度为斜坡的长度，即小车下滑的路程)；以点C为圆心、AD长为半径绘制圆C，圆C与射线AA′交于点E，作射线EC(射线EC为小车下滑坡面)；以点C为圆心CC′为半径作圆。

(3)安装小车。将线段CE绕点C旋转90°得到线段CE′，在线段CE′上取一点H,经平移旋转得到H′、H″。将小车图片固定于C、H、H″位置，再按标记向量CG平移，此时拖动点F可以看到小车移动。选中点C处小车：右击—属性—不透明度改为50%。

(4)制作秒表。准备秒表图片(将图片置于底层)，绘制一点O，将点O向上平移2 cm得到点O′,作线段OO′，选中线段OO′。计算秒针旋转角度α。

(5)制作表格。依次选中支撑物体高度/厘米、斜坡长度/厘米、小车下滑时间/秒，菜单中选数据—制表即可(说明：点C和点D均可分别自由调整高度和斜坡)。

四、理论依据和实践意义

1.几何画板在教学中应用的特点

几何画板易于掌握，使用几何画板可以增加教学中的师生互动，几何画板的运用使抽象、枯燥的数学实验变得直观、形象，让学生通过自己动手实验的方法，获得探索变量之间关系的体验，并进一步发展了学生的符号感，使其能在具体情境中初步认识变量——自变量和因变量，从而使学生学会收集数据、整理数据及由数据进行推断的思考方式。同时我们应该认识到，几何画板的特征是动态性，它可以准确地阐释数学理论，但是在此过程中，需要教师正确地指导，如果在教学实践中出现失误，数学理论就不能被准确地表达出来。这就需要我们教师平时苦练内功，增加自身的知识素养，只有这样才能正确地利用几何画板，提升数学探究实验的效率。

2.利用数形结合，提高学生的学习效率

在以往的教学实验中，因实验器材及实验数据的固定性，使学生在学习的过程中往往难以理解，这种不理解的累积，极大地挫伤了学生对教学实验的兴趣，导致其学习效率难以提高。而几何画板作为一个教学中非常有用的教具，具有动态性特征，打破了传统教学实验的固定性，将数形结合的教学方式应用其中，明显增加了学生对数学实验的兴趣。因为有学生的亲自动手参与，使其对数学实验有了更加深入的了解，能更加准确把握实验的精髓，加深对数学理论的理解，从而提高学生的学习效率。

几何画板的几大好处是：通过动画和数据的动态性变化，能够使枯燥、抽象的数学概念生动地展现给学生[2]；能够帮助学生理解抽象的数学理论；能够让数学实验更加生动活泼；因为其容易掌握，可以增强师生互动，让学生通过自己动手来提高对实验的兴趣。

3.实验创新对本节课程的教学意义

正如《数学课程标准》中所要求的让学生“动手实践、自主探索、合作交流”，本实验设计以上述思想为出发点，在两个对比实验的操作环节中以实验法教学为主，让学生在动手操作中获取知识；在实验数据的分析和预测环节，以谈论法和几何画板技术相结合的教学方法，培养学生的思考与分析能力。在整个教学过程中让学生保持强烈的好奇心和求知欲，使学生成为学习的主人，通过亲自参与、经历数学知识的形成过程，在掌握基础知识的同时领会数学在实际生活中应用的魅力。

4.实验创新对实验应用的实践意义

本实验设计可多次应用以达到不同的目的。

首先，本设计可用于翻转课堂教学的课前预习。学生可根据导学提纲预习本节内容，对本节重点和难点知识进一步加深理解；甚至可以提前尝试完成练习，培养学生自觉学习的好习惯，又可以减轻教师课堂教学的压力。

其次，本设计可用于课堂的教学之中。通过操作实验，解决学生在预习过程中出现的疑问和障碍，对于本节课的重点和难点，模拟实验引导学生深入探究思考，逐一突破。

最后，本设计还可以用于课后的知识梳理中。学生在课堂教学中，可能对一部分重难点知识掌握得不是太好，本设计可以反复操作，很容易就达成他们的学习目标，是课后查漏补缺的工具和巩固知识的途径。

五、结论与建议

几何画板可以很生动地把用表格表示数量之间关系的、抽象枯燥的实验理论表现出来；运用测量、计算、数形结合功能，准确地表达用表格表示数量之间的关系实验中两个变量之间的关系。课堂实践证明，通过师生互动，让学生自己设计、动手，会比简单的记忆练习有效得多；同时，几何画板的应用需要教师正确的指导，这就需要教师平时苦练内功，增加自身的知识素养。虽然几何画板在实验教学方面有非常大的优势，但是，也不能完全否定传统的实验教学方式，某些方式依然在学习中有着不可替代的作用。所以我们不能仅仅因为要用几何画板，而忽略传统的教学方式，有时候传统教学方式能更好地帮助我们实现教学目标[3]。这就需要运用我们的经验和智慧，不能让现代技术束缚我们的思想。

[1] 车锦阳.几何画板优化数学教学的案例浅析[J].教育现代化，2016(29)：344.

[2] 刘培山.试分析初中数学教学中几何画板的教学[J].教育教学论坛，2015(29)：279-280.

[3] 耿秀荣，唐剑岚.“几何画板”在定积分概念变式教学中的应用[J].攀枝花学院学报，2011，28(3)：78-80.