对一道联考函数模拟题的多解探究

☉江苏省宿迁市文昌高级中学 王少鹏

分析：分段函数是一类特殊的函数，其分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应法则不一样.由于分段函数在理解和掌握函数的定义、性质、应用及交汇等知识的考查上有较好的作用，备受命题者青睐，时常在高考试题中“闪亮”登场.本题涉及分段函数的图像问题，因其解析式中涉及变元a，则需对实数a进行a＜0与a≥0分类，结合不同条件下对应函数的图像性质来转化，特别当a≥0时，由于变化的多样性，可以通过导数分析、切线转化、函数图像及存在性法等方法来解决.

分析：结合分类讨论思想先确定当a＜0时函数f（x）的图像恰好经过三个象限，满足题意；而针对当a≥0时，利用条件转化函数y=x3-ax+|x-2|，x＞0，通过进一步细分参数a的不同取值，结合分段函数的解析式与对应的导数，通过函数的单调性来确定其最小值，进而求解满足条件的参数a的取值范围；最后加以综合处理即可.

解法1：（1）当a＜0时，函数y=ax-1，x≤0的图像经过两个象限（第二象限与第三象限），函数y=x3-ax+|x-2|，x＞0恒有y=x3-ax+|x-2|＞0在区间（0，+∞）上成立，其图像仅在第一象限，故当a＜0时，函数f（x）的图像恰好经过三个象限，满足题意.

（2）当a≥0时，函数y=ax-1，x≤0的图像仅经过第三象限，要满足题意，则函数y=x3-ax+|x-2|，x＞0的图像需经过第一象限与第四象限，而y=g（x）=x3-ax+|x-2|=

充分挖掘课本知识，拉近调配与高考之间的距离，架起相应的桥梁，是平时数学教学的一个关键所在.有意识地针对一些典型的真题加以多解剖析，从课本基本知识入手，从多个角度切入，真正达到“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的境界.

例 （2018年江苏省高三第三次调研考试（七市联

综上分析，可知a∈（-∞，0）∪（2，+∞）.

分析：结合分类讨论思想先确定当a＜0时函数f（x）的图像恰好经过三个象限，满足题意；而针对当a≥0时，利用条件转化函数y=x3-ax+|x-2|，x＞0，分离函数y=x3+|x-2|与y=ax在y轴右侧的图像有公共点（且不相切）即可，结合导数的几何意义及相切的临界直线的确定来处理满足条件的参数a的取值范围；最后加以综合处理即可.

解法2：（1）同解法1.

（2）当a≥0时，函数y=ax-1，x≤0的图像仅经过第三象限，要满足题意，则函数y=x3-ax+|x-2|，x＞0的图像需经过第一象限与第四象限，那么只要满足y=x3+|x-2|与y=ax在y轴右侧的图像有公共点（且不相切）即可，作出函数y=x3+|x-2|的图像，如图1所示，与其相切的临界直线l0为y=kx，由图像可知，此时0＜x＜2，则y=x3-x+2，可得y′=所以当a＞2时，函数f（x）的图像恰好经过三个象限，满足题意.

图1

综上分析，可知a∈（-∞，0）∪（2，+∞）.

分析：结合分类讨论思想先确定当a＜0时函数f（x）的图像恰好经过三个象限，满足题意；而针对当a≥0时，利用条件转化函数y=x3-ax+|x-2|，x＞0，分离函数y1=x2+y轴右侧的图像有公共点（且不相切）即可，结合函值的确定来处理满足条件的参数a的取值范围；最后加以综合处理即可.

解法3：（1）同解法1.

（2）当a≥0时，函数y=ax-1，x≤0的图像仅经过第三象限，要满足题意，则函数y=x3-ax+|x-2|，x＞0的图像需经过第一象限与第四象限，那么只要满右侧的图像有公共点（且不相切）即间（0，+∞）上的最小值为y1min=2，所以当a＞2时，函数（fx）的图像恰好经过三个象限，满足题意.

综上分析，可知a∈（-∞，0）∪（2，+∞）.

分析：结合分类讨论思想先确定当a＜0时函数f（x）的图像恰好经过三个象限，满足题意；而针对当a≥0时，利用条件转化函数y=x3-ax+|x-2|，x＞0在第一象限存在点使得y=x3-ax+|x-2|＞0，进一步说明存在x＞0，使得函数y=x3-ax+|x-2|＜0即可，通过分离参数并构造函数g（x）=x2+过确定g（x）的最小值来确定满足条件的参数a的取值范围；最后加以综合处理即可.

解法4：（1）同解法1.

（2）当a≥0时，函数y=ax-1，x≤0的图像仅经过第三此时函数y=x3-ax+|x-2|，x＞0的图像必经过第一象限，而函数f（x）的图像恰好经过三个象限，所以存在x＞0，使得

函数y=x3-ax+|x-2|＜0即可，即存在x＞0，使

综上分析，a∈（-∞，0）∪（2，+∞）.

总评：在解决此类填空题中的函数问题时，往往可以结合函数本身，利用函数的基本性质来转化与处理；也可以优先选择利用数形结合思想，通过分离参数、分离函数等途径转化为两个相应函数的图像问题，数形结合加以直观处理.在解决有关分段函数问题时既要紧扣“分段”特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化，综合数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化.

美国著名的数学家哈尔莫斯曾说过：“问题是数学的心脏.”对学生来说，各类考试题无疑是最熟悉的一个“问题”，特别是高考真题与一些针对性的模拟题.经过理论和教学实践，充分得以证明一题多解是提高数学解题能力的有效途径.通过典型问题呈现不同解法的同时，灵活应用数学知识，充分暴露思维过程，充分使得我们的解题思路更加开阔，数学知识的掌握更加熟练，同时妙法顿生，提高解题速度，培养发散思维能力，有助于激发我们学习的主动性、积极性、趣味性，真正提升能力，培养数学素养.F得最小值为g（1）=2；而当x≥2时，g（x）