分清椭圆离心角与旋转角

☉甘肃省白银市第一中学 胡贵平

在应用椭圆的参数方程解题时，许多学生由于未能深入理解参数的几何意义，没有准确把握椭圆参数方程中离心角与旋转角的区别与联系，从而产生误解，导致错误.

一、问题再现

题目 已知P、Q是椭圆3x2+5y2=1上满足∠POQ=90°的两个动点，则|OP|2+|OQ|2=（ ）.

错解：椭圆3x2+5y2=1，的参数方程为

错解分析：回顾椭圆参数的推导过程，如图1，以原点为圆心，分别以分别a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.

图1

设∠AOx=θ，M（x，y），则A（acosθ，asinθ），B（bcosθ，即M的轨迹参数方程.点M的轨迹普通方程.

椭圆参数方程中的θ为离心角，∠AOx=θ，而旋转角∠MOx≠θ，将旋转角∠MOx增加90°，离心角θ不一定增加90°，那么离心角与旋转角有什么关系呢？

通过几何画板动态的显示，如图2，当拖动主动点A绕着点O转动时，离心角∠AOx和旋转角∠MOx的大小都在发生变化，可以观察出，在第一象限时，∠AOx＞∠MOx；在第二象限时，∠AOx＜∠MOx；在第三象限时，∠AOx＞∠MOx；在第四象限时，∠AOx＜∠MOx；当拖到坐标轴上时∠AOx=∠MOx，一共有四次相等的机会.

图2

由椭圆参数方程知，当焦点在x轴上时，椭圆上除短轴上的顶点外，任意一点M（acosθ，bsinθ）与原点连线的

二、解法分析

（一）应用椭圆参数方程

解法1：椭圆3x2+5y2=1，即参数方程为■

（二）应用椭圆与直线位置

当P、Q不是椭圆的顶点时，设OP ∶y=kx，则OQ ∶y=

（三）应用椭圆的极坐标方程

图3

解法3：如图3，以椭圆中心O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为3cos2θ+5sin2θ

显然与极角θ值有关，故选D.

（四）应用直线的参数方程

显然与倾斜角θ值有关，故选D.

变式：已知P、Q是椭圆3x2+5y2=1上满足∠POQ=90°

分析：解法同例题有多种方法，下面选一种比较简单的极坐标法.

解：如图3，以椭圆中心O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程

评注 此题的常规解法是设出OP、OQ的点斜式方程，再与椭圆方程联立，进而示成OP斜率的函数，最终证得结论.此题还可以推广为：已知P、Q满足∠POQ=90°的两个动点，则（1）