基于散乱数据预给极点的两类二元有理插值对比研究

胡 枫

(安徽理工大学数学与大数据学院,安徽 淮南 232001)

在自然科学与工程计算中经常会需要采集大量无规则的数据和遇见带有极点的奇异函数的计算问题,前人在这方面做出了大量的贡献[1-16]。朱功勤针对对角数据基于倒差商给出了一种逐步有理插值算法。在2016年,钱江基于逆差商提出了二元非张量积型连分式插值来处理散乱数据插值问题。本文研究散乱数据预给极点的二元有理插值,将原有节点的函数值乘以一个确定的数,变成无预给极点的二元有理插值,最后除以带有极点信息的函数得到散乱数据预给极点的二元有理插值函数,该方法具有预给极点的位置并且保持原来每个极点的重数,数值例子也给出了上述两类插值算法之间的相对误差比较。

1 二元对角逐步有理插值

设Dn={(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}是R2中n+1个不同节点的点集,当i≠j时,xi≠xj,yi≠yj。对应函数值zi=f(xi,yi),i=0,1,…,n构造二元有理插值函数R(x,y)=p(x,y)/q(x,y),其中p(x,y)和q(x,y)是关于x,y的多项式,满足插值条件

R(xi,yi)=f(xi,yi),(xi,yi)∈Dn。

将已知数据按下列对角形式排列如表1所示。

表1 对角形式的散乱数据

给出倒差商算法

(1)

可以导出散乱数据对角排列如表2所示。

表2 导出的散乱数据对角排列

下面定义序列

(2)

l=1,2,…,n。

2 二元非张量积型连分式插值

给定既不在水平线上,也不在垂直线上n+1个互异的插值节点Dn={(xi,yi),i=0,1,…,n},通过二元非张量积型逆差商的递推算法来求解系数,定义了二元连分式插值如下：

(3)

其中插值系数满足ci=φ0,…,i=φ[x0,…,xi;y0,…,yi],i=0,1,…,n。

具体系数算法如下

φi=φ[xi;yi]=f(xi,yi)=fi,i=0,1,…,n,

φ0,1,i=φ[x0,x1,xi;y0,y1,yi]

φ0,1,2,i=φ[x0,x1,x2,xi;y0,y1,y2,yi]

…

φ0,…,n=φ[x0,…,xn;y0,…,yn]

3 散乱数据预给极点的二元有理插值

(4)

其中(xi,yi)是对应分量互不相同的插值节点,通过上述两类插值算法构造无预给极点的散乱数据二元有理插值

G(x,y)=d(x,y)R(x,y),

满足

G(xi,yi)=d(xi,yi)f(xi,yi),i=0,1,…,n。

(5)

进而得到散乱数据预给极点的二元有理插值函数

(6)

4 数值实例

例1 对于给定函数

选取9个插值节点

虽然《中图法》明确规定：当遇有国籍改变的作家时，应以作品发表时作者的国籍（国家）作为分类的依据；国籍不明，无从考察者，宜参考作品内容分入相应国家的文学类目。国籍不明的文学作品按内容涉及的国家、地区归类，也是基于作品所呈现的国家或民族意识因素考虑的。但在分类标引实践中仍存在许多做法和观点不同于《中图法》的规定，归纳起来主要有两种。

如图1所示。

图1 散乱数据D8

对应函数值

z0=0.07692308,z1=0.25279074,z2=0.74365637,z3=0.23686735,

z4=0.21069099,z5=0.31425685,z6=0.27088253,z7=0.14437886,z8=0.43275472。

显然由上可知

d(x,y)=(x-3)2+(y-2)2,

依据二元对角逐步有理插值算法构造关于散乱数据无预给极点的二元有理插值

其中

p8(x,y)=-2.48739910xy+8.42934257x4y4-15.95166282x4y3-14.65454045x3y4+10.057583

05x4y2+7.32833591x2y4-2.01249725x4y-1.01736052xy4-0.11479825x2-1.04778487y2+17.67542827x3y3-7.82721866x3y2-0.80752730

x2y3+1.64619713x3y-2.89956393xy3-5.3627

2427x2y2+1.91453289x2y+5.55058918xy2+0.00976563x4+0.04101563y4-0.08198626x3+0.37508028y3+0.27919397x+0.70189558y-0.10837392

q8(x,y)=-2.18689442xy+x4y4-1.5x4y3-2x3y4+0.765625x4y2+1.390625x2y4-0.15234375x4y-0.40234375xy4-0.11479825x2-1.04778487y2+0.48938517x3y3+1.05770807x3

y2+1.80450143x2y3-0.19301445x3y-1.535516

81xy3-4.36064226x2y2+1.83347089x2y+3.83740901xy2+0.00976563x4+0.04101563y4-0.08198626x3+0.37508028y3+0.27919397x+0.70189558y-0.10837392

由式(6)得到

同时根据上文中的二元非张量积型连分式插值

同理可以得出

两类插值算法的相对误差部分曲面图像如图2和图3所示。

图2 逐步对角插值相对误差的部分曲面

图3 二元非张量积型连分式插值相对误差的部分曲面

从上可以得出对于处理散乱数据预给极点的二元有理插值问题,二元非张量积型连分式插值相对误差更小,逼近效果要比逐步对角有理插值更好,同时保有预给极点的位置和保持原有的重数。

5 总结

文章中研究散乱数据预给极点的二元有理插值,每个节点处函数值乘上一个确定的数,分别通过基于逆差商的二元非张量积型连分式插值和基于倒差商的对角逐步有理插值算法构造无预给极点的二元散乱数据有理插值,最后除以带有极点信息的函数得到预给极点的散乱数据二元有理插值,经过两类插值算法的相对误差比较,非张量积型二元散乱数据有理插值函数相对误差更小,同时也保有极点的位置和原来的重数,数值例子也很好的说明了该算法的有效性。