基于加加速度连续的函数逼近加减速算法

黄朝志，王兵兵，刘赣伟，陈海东

1 引言

数控技术是关系到国家民生、制造、军事安全的重要技术，而加减速技术是数控技术的关键之一。轮廓插补过程中，由于轮廓曲线或曲面的曲率不同，待加工零件要达到相应的精度和光滑度，必须使插补速度连续变化[1]。而且在高速、高精密加工过程中，必须保证各进给轴的加速度和加加速度连续变化，避免数控系统力和瞬时力的突变引起柔性冲击[2]。

专家学者对加减速算法进行了一系列深入的研究工作。郑魁敬等基于数据采样法[3]，采用了脉冲当量位移和各坐标轴方向系数实现了5轴联动线性插补。徐创文等在梯形加减速基础上提出了指数加减速控制算法[4]。直线加减速和指数加减速算法实现了速度的连续变化，但是它的加速度会产生突变，导致数控车床产生振动，限制了数控系统的加工精度。文献[5]对S曲线加减速进行了深入研究，给出了加加速度、加速度、速度、位移函数模型，并对相应的情形进行了分别讨论。S型加减速克服了线性和指数加减速算法加速度不连续的缺点，但是计算过程复杂，加加速度存在突变引起柔性冲击。基于此，文献[6]采用三角函数构造加速度曲线，系统柔性度得到了提升。但是三角函数加减速算法计算量大，控制系统的实时性受到了非常大的影响。文献[7]对三角函数加速度函数进行逼近，构造出一种新的加减速算法，大大加快了运算速度，但逼近误差造成加加速度不连续，不适合高速、高精度场合。

基于上述分析，在加加速度连续的和实时插补的条件下，提出采用切比雪夫多项式对三角函数加减速的加加速度函数进行逼近，再反推加速度、速度、位移函数，分别给出长线段、短线段两种情况的速度、位移公式。构造的切比雪夫函数计算简单，避免了数控系统的柔性冲击。为消除减速段的长延时，根据实际加工剩余长度计算减速过程的起始速度，重构加加速度函数，再次反推加速度、速度、位移函数，实现快速定位。最后结合仿真结果对上述算法进行了分析和验证。

2 加减速函数的构造

三角函数加减速的速度、加速度、加加速度没有突变，不会造成柔性冲击，通常分成加速区间、匀速区间、减速区间[8-9]。但是三角函数加减速算法在工程应用的计算量太大。

首先构造基于三角函数加减速的加加速度函数：

式中：jt≤jmax，（jmax—最大加加速度）；Tm—加速时间，0≤t≤Tm。

对上式进行切比雪夫多项式逼近得到加加速度函数：

式中：j=2.5465·jt。

对j（t）进行一、二、三次积分且结合边界条件得加速度函数、速度函数、位移函数：

由式（2）可以得到加速时间Tm，在运行过程中，采用机床的插补周期Ts来离散化加速过程则有运行步数：

3 加减速控制算法

在加减速控制算法里，若L≥Sa+Sd，则可以完成整个加减速曲线，加减速可分为加速区间，匀速区间，减速区间。若L＜Sa+Sd，加减速全程仅有匀速、加速段或者仅有匀速、减速段。

3.1 长线段加减速曲线

加减速曲线有完整的加减速：加速、匀速、减速。

3.1.1 加速阶段

由式（4）通过计算可以得到运行步数Na。

令i∈［1，2，…，Na-1］，系统经Na-1 步加速，到达最大速度 Vmax。

由式（3）得到加速段的位移公式：

当i=Na时，由式（5）得到加速区位移Sa。

3.1.2 减速阶段

减速段推导与加速段一样，同理可以由式（4）得到减速步数Nd。

令 i∈［1，2，…，Nd-1］，则减速段位移公式：

当i=Nd时，由式（6）得到减速区位移Sd。

在程序执行过程中，当剩余插补距离等于Sd时，加减速曲线进入减速区，开始从最大速度减速到V2。

3.1.3 匀速阶段

当L＜Sa+Sd时，加减速曲线包含匀速段，并且匀速段以最大速度Vmax匀速插补，由式（4）得到匀速步数Nc。

3.2 短线段加减速曲线

加减速曲线分为两种情况。当V1≥V2时，先以V1匀速运行，然后等到达减速点时开始减速，直到到达目标速度V2；当V1＜V2时，首先从V1加速到V2，然后以V2匀速插补完余下的长度。

3.2.1 V1≥V2

在V1≥V2时，数控系统先以V1匀速运行，等到达减速点时开始减速，一直减到V2。

（1）减速段

以V1速度开始减速，经过时间T1到达末速度V2，同理可以得到减速步数N1。

令 i∈［1，2，…，N1-1］，得到位移公式如下：

当i＝N1时，得到减速区长度S1。

（2）恒速段

由式（4）得到运行时间为Tc1，则运行步数为Nc1。

总运行步数N=Nc1+N1，数控系统首先以V1速度匀速，当剩余插补长度等于S1时，进入减速区开始减速。

3.2.2 V1＜V2

当V1＜V2时，数控系统先从V1加速到V2，然后以V2插补完剩下的路径。

（1）加速段

当最大速度为V1，末速度为V2时，它的加速段的加速速步数为N2。

同理令 i∈［1，2，…，N2-1］，则：

同理可以得到加速区长度S2。

（2）恒速段

由式（4）可以得到运行时间为Tc2，运行步数为Nc2。

总运行步数N=Nc2+N2。

4 低速定位区的减速算法

由于数控系统采用了离散化控制，插补过程通常不会刚好到达理论减速点，如图1所示。实际的减速点大于理论减速点，系统完成指定加工长度时还有较高的速度，造成冲击、失步。为了避免冲击，一般采用减速点提前，即到达位置A时就开始减速。如此一来就会使得速度减到0时还没完成预定的加工段，需要以一个较低的速度插补完剩下的长度，如图2所示。当最大速度跟Vmin的比值较大时，低速定位区就会很长，影响效率。

图1 低速定位区图Fig.1 The Diagram of Low Speed Area

为了消除低速定位段，使整个减速过程在路程走完时，速度刚好减为“0”，须要新的减速过程的起始速度。为此采用加加速度函数重新计算，使得速度减到零时也到达了终点，以消除低速定位段。

对加加速度进行二次积分、三次积分可以得到新的速度、位移函数。

5 仿真验证

5.1 三角函数加减速和构造函数加减速的仿真对比

取三角函数和构造函数的初速度和末速度都相等V1=V2=100μm/s，V1和V2分别是构造函数加减速的初速度和末速度。是三角函数加减速的初速度和末速度。jamax=jdmax=0.3μm/s3，jamax和jdmax分别是构造函数是加速和减速时，系统的最大加加速度，系统给定进给速度为：Vmax=1500μm/s，给定总位移：L=350000μm。则仿真结果，如图2所示。

图2三角函数和构造函数Fig.2 Trigonometric and Constructed Functions

图2 中，1是三角函数构造的加减速函数，2是提出的构造函数。可以看出，三角函数和构造函数的速度、加速度、加加速度函数都是连续变化的。同等条件下，构造函数加减速速度更快，效率更高。

5.2 长线段与短线段加减速仿真验证

加减速过程分为两种情况。

5.2.1 长线段加减速

当插补长度足够时，数控系统有完成完整的加减速过程。取加速度段加加速度系数ja=0.8μm/s3，减速度加加速度系数为jd=0.8μm/s3，初速度和末速度取相同的值V1=V2=100μm/s，系统进给速度为Vmax=1500μm/s，加工总位移L=350000μm。

由式（12）可得，加速区长度Sa=129570μm，减速区长度Sd=129570μm。显然，仿真结果，如图3所示。

图3 长线段的加减速Fig.3 Acceleration and Deceleration at Long Segment

由图3可以看出以上设计的加减速函数的加速区间、匀速区间和减速区间的速度、加速度、加加速度函数都连续，实现了数控系统的高柔性加工，达到了预期的效果。

5.2.2 短线段加减速

（1）V1≥V2

当V1≥V2时，直接以初速度匀速插补，当剩余插补长度等于减速点时，开始减速。加加速度系数初速度V1=100μm/s，末速度V2=10μm/s，总位移L=40000μm。仿真结果，如图4所示。

图4 短线段加减速（1）Fig.4 Acceleration and Deceleration at Short Segment（1）

由图4可见，t＜37时，系统以匀速。当t=37时，到达理论的减速点，减速段开始，一直减速到V2，以V2匀速走完剩余长度。

（2）V1＜V2

当V1＜V2时，先从初速度加速到末速度，再以末速度走完剩下的路程。加加速度系数，初速度为 V1=0μm/s，末速度为V2=500μm/s，总位移L=40000μm。仿真结果，如图5所示。

图5 短线段加减速（2）Fig.5 Acceleration and Deceleration at Short Segmen（t2）

在图5中，当t＜78时，系统从V1开始加速，当t=78时，速度到达V2，最后以V2匀速插补完剩下的路径。

5.3 消除低速定位段的仿真验证

选择的参数如下：加速段加加速度系数为ja=1μm/s3，加速时间Td=75s，减速段加加速度jd=4μm/s3，初速度和末速度V1=V2=100μm/s，系统的总位移L=120000μm，系统的进给速度Vmax=1500μm/s。仿真结果，如图6所示。

图6减速段重构Fig.6 Reconfiguration of Deceleration Segment

图6 中，曲线1是原来的速度曲线，曲线2是减速区间加加速度函数再一次计算之后的速度函数。曲线2的减速区间没有低速运行区域，曲线1有较长的低速定位区。因此经过加加速度函数重构计算后的加减速算法消除了低速定位区。

6 结语

通过对三角函数加加速度函数的逼近，构造了一种多项式加减速模型的加加速度函数。再用加加速度函数反推，得到加速度函数模型，速度函数模型，位移函数模型的解析式。构造的加减速算法的速度、加速度、加加速度连续，并且构造函数加减速算法的加工效率比三角函数加减速算法高。基于构造加减速模型，对各种情况展开了分析。最后采用减速段的加加速度函数重计算，消除了低速定位区。仿真结果表明，该算法柔性度好，加工效率高，并且具有非常大的工程应用价值。