追寻本质，不为表象所感
——基于对图形面积度量的教学思考

□北京市海淀区中关村第一小学 董文彬

一、从一道评价试题的后测分析谈起

在教学完北师版三年级下册“面积”内容后，在单元评价试卷中设计了这样一道题目：

一张长方形装饰纸，如下图。

（1）如果剪成边长是1分米的正方形，可以剪成多少个？

（2）如果剪成面积是4平方分米的正方形，可以剪成多少个？

（3）如果剪成面积是9平方分米的正方形，可以剪成多少个？

学生的思维路径，总体有如下四种。

做法1：

做法2：

做法 3（以第 2、3问为例）：

学生的作答情况，以两个班（共计80人）为例，数据统计如下。

做法 4（以第 2、3问为例）：

学生思维 正确作答 错误作答人数百分比做法1 6 7.5%做法2 22 27.5%做法3 4 5%做法4 48 60%

正确作答的有14人，仅占30%。其中“做法1”的思维路径是直接在长方形中画分格子，画边长是1分米的正方形格子，正好可以画分出48个；画面积是4平方分米的正方形格子，可以正好画分出12个；画面积是9平方分米的正方形格子，可以画分出4个，还剩下12个1平方分米的格子，即还剩下长12分米宽1分米面积12平方分米的长方形纸条（实际不能再剪浪费掉了）。“做法2”的思维路径是先考虑在长方形的长的方向上能剪几个相应的正方形（也就是一行能剪几个），再考虑在宽的方向上能剪几个（也就是这样的几行），进而计算出一共可剪正方形的总个数。

错误作答的有26人，占65%。“做法3”的路径与“做法2”前半部分是重叠的，只是把正方形的“面积”当成了“边长”，导致运算结果错误，进一步导致下一步思路错乱。其中最典型的错例是“做法4”，错误人数占到了60%。思维路径是先计算出长方形的面积，再用长方形的面积去除以相应正方形的面积，学生认为长方形的面积里包含有几个正方形的面积，就可以剪几个正方形。

二、由此引发的思考及对图形度量教学的认识与启示

后测之后，学生的思维轨迹暴露出的问题引起了我的一连串的疑问：为什么会有那么多学生都出现了“做法4”那样的错误思考？这种错误的思考是怎样产生的？错误背后的原因是什么？学生这样错误的路径背后有没有他所认为的“合理”之处？如果有，这种“合理”表现在哪儿？学生为什么理所当然地认为这种错误是对的？学生的思维搁浅在哪里？

1.把握转折，从一维走向二维。

学生之所以会错误地认为“长方形的面积里包含有几个正方形的面积，就可以剪几个正方形”，是有其道理的。我们来看一个对“做法4”学生访谈的典型案例。

师：明白这样做错在哪了吗？

生：我觉得这样做是对的呀，不明白错在哪了。

师：说说你是怎么想的？

生：要在一张长方形纸上剪正方形，就是看长方形的面积里有几个正方形的面积，有几个就能剪几个，用除法解决就行了。

师：你为什么这样认为？

生：我记得以前做过类似剪铁丝的问题，比如有一根长12厘米的铁丝，如果剪成4厘米一段的铁丝，能剪几段？就是看12厘米里有几个4厘米，用除法解决就是12÷4=3（段），和这道题的意思差不多。

师：解决剪纸和剪铁丝问题的方法一样吗？

生：（支支吾吾）……应该是一样的吧……

（老师启发他从现实情况出发，思考实际操作中会怎样去剪。）

生：……一样……不一样……

（接下来他就陷入了面积与长度度量“一样”和“不一样”的纠结之中。）

看来，学生是把一维长度的度量经验迁移到了二维面积的度量当中来。学生在学习图形面积度量之前已经积累了长度度量的活动经验，这样的操作经验和思维经验很容易被迁移到面积中来，因此大部分学生错误地出现“做法4”不是没有原因的。学生将长度的度量过程类比迁移到面积的度量中，这样的经验只在一种情况下是可行的，就是“长方形的长和宽分别都能正好被正方形的边长整除”时（这种情况包含了正方形是面积单位的情形），但对学生来说想要跨越这种认识是非常困难的，而这正是图形度量从一维到二维在本质上的不同之处。长度、面积和体积是最基本的度量几何学概念，虽然测量过程其本质是一样的，但由于图形的维度不同，在实际教学中需要帮助学生把握这种从一维到二维认识的重要转折，真正区分理解不同维度图形测量的数学意义。

2.贯通关联，从数学走向现实。

在教学中，我们越来越关注贯通于生活与数学之中的数学化，一种是横向数学化，是从具体的内容创造数学的形式的数学化，另一种是纵向数学化，是从抽象的形式继续发现深刻内容的更高水平的数学化。然而，我们有时往往弱化或忽视了贯通于数学与生活之中的现实化，这是从数学形式走向现实内容的现实化。学生出现“做法4”的错误思考路径，从这个视角上看也反映出数学与现实的失联。学生认为“长方形的面积里包含有几个正方形的面积，就能从长方形里剪几个正方形”，这是知识经验的错误迁移，或者说这是学习者意识中特别数学化、理想化的想法，而现实中实际操作并不是这样，如果真要去剪（要剪得正方形数量最多），应该是“一行一行”（或“一列一列”）地剪，先看一行（或一列）能剪几个，再考虑能剪几行（或几列），因为只有这样操作才能以正方形面积为“标准”不重叠、也不留缝隙地最大化地把整个长方形剪完。学生在解决问题时不考虑从现实情况出发，没有思考实际中会怎样去操作，背离了数学与现实生活的实际关联，丧失了数学本身的意义。实际教学中，我们要帮助学生贯通这样的关联，启发学生解决问题时要从数学走向现实，让儿童的数学思考和学习变得真实而有意义。

3.回归本源，从方法走向思想。

“求”长方形的面积是在认识了面积和面积单位、已经掌握了长方形（正方形）特征的基础上展开学习的，其本质是对面积进一步的再认识，其核心思想是度量。回顾“长方形的面积”的教学（以北师版教材为例），我们一般是从两种角度启发探索长方形的面积，一种是用面积单位不重叠、也不留空隙地铺满长方形，所用面积单位的个数就是长方形面积的数量；另一种是不用密铺，只要用面积单位分别摆满长和宽，就能算出摆满长方形所需的面积单位的个数。

这两种角度都是为了帮助学生理解用面积单位测量长方形面积的方法。我们用这种（铺）数方格的办法给长和宽都是自然数的长方形指定了面积，其中数方格的过程蕴含了面积的有限可加性，帮助学生体会图形的面积就是图形所包含的面积单位的数量，深刻地体现了图形测量中的度量思想。但是这样用面积单位去测量图形面积的度量经验，也会对学生解决问题时出现“做法4”产生错误的影响。如果不是用面积单位去测量长和宽都是自然数的长方形的面积，这样的经验对学生的数学思考就形成了负迁移。

回归本源，反思教学，我们需特别关注一开始探索长方形面积时所蕴含的一维与二维之间的关系以及它们之间的一一对应思想。在选择面积单位测量长方形的面积之后，一般是填表、观察、发现长方形的面积的数学模式表达，即“长方形的面积=长×宽”（如下图）。

长和宽刻画的都是一维的几何学概念，面积刻画的是二维的几何学概念，二者维度不同，为什么能扯上联系？它们之间怎么会有这样的联系？为什么会有这样的联系？这是在教学中有必要帮助学生明晰、理解和体会的（如下图）。

长方形的“长包含的长度单位的个数”（一维）对应于 “每行摆面积单位的个数”（二维），“宽包含的长度单位的个数”（一维）对应于“行数”（二维）。 “长×宽”，即“长包含的长度单位的个数×宽包含的长度单位的个数”，即“每行摆面积单位的个数×行数”，即长方形的面积。可见，一维（长度）和二维（面积）之间存在着的这种一一对应关系，教学中需要帮助学生领悟这种一一对应关系，明晰了这种一一对应关系，才能更好更深刻地体会图形面积的度量思想以及图形度量的数学意义。