一类造血模型伪概周期解的存在性*

张 玲，谢景力

(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)

脉冲微分方程最大的特点是考虑了系统中瞬时突发现象的影响,更准确地描述了事物发展的进程，其解的存在性引起了学者们的兴趣.杨飞等[1]利用临界点定理研究了脉冲分数阶微分方程解的存在性；徐苏柳[2]利用不动点定理研究了3类脉冲微分方程概周期解的存在性；陈鹏[3]研究了一类Nicholson飞蝇模型的脉冲正伪概周期解的存在性和指数稳定性；P Chen等[4]研究了一类脉冲造血模型的正渐进概周期的存在性.笔者拟讨论如下具有脉冲效应的造血模型的伪概周期解:

(1)

对每一个有界函数f:R→R,记

定义1[5]函数f:R→R是概周期的,如果满足以下条件:

(ⅱ)对于∀ε>0,存在常数δ>0(δ与ε有关),若函数f(t)在相同区间下的2点t′,t″满足|t′-t″|<δ,则|f(t′)-f(t″)|<ε;

(ⅲ)对于∀ε>0,存在ε-概周期列紧集T,若ω∈T,则对于∀t∈R+且|t-tk|>ε(k∈N)，有|f(t+ω)-f(t)|<ε.

定义3[7]设f:R→R为有界函数,称f是伪概周期的，若存在g(·)∈AP(R,R)和h(·)∈PAP0(R,R),使得

f(t)=g(t)+h(t)t∈R.

记PAP(R,R)表示所有伪概周期函数的集合.

现做以下假设:

(A2)γk是概周期序列,δk是伪概周期序列，且对于∀k∈N,有γk≥-1;

(A3)H(t,·)∈PAP(R,R),且存在常数LH>0,使得‖H(t,x)-H(t,y)‖≤LH‖x-y‖；

考虑如下线性非齐次方程组:

(2)

其中:a(t)是概周期函数;f(t)是伪概周期函数;γk是概周期序列;δk是伪概周期序列.

引理1[5]对于方程组(2)的齐次方程组的基解矩阵W(t,s),任给t,s∈R+,t≥s,则存在μ>0,使得

W(t,s)≤e-μ(t-s).

定理1若(A1)—(A4)成立,则系统(1)在Ω={φ(·)∈PAP(R,R)是一致连续的}上存在唯一的伪概周期解.

(3)

由(A1)—(A3)和文献[3]中的引理1、引理2,通过简单计算,可得

所以,由引理2可知,对于∀φ(·)∈PAP(R,R),方程(3)有唯一的伪概周期解xφ(t),xφ(t)∈PAP(R,R)且

定义Ω上的算子F,令(Fφ)(t)=xφ(t),t∈R,φ(·)∈Ω.显然,Ω是PAP(R,R)中的闭子集,故F是Ω上的自映射.

接下来证明F是压缩映射.对于∀φ(·),ψ(·)∈Ω,有

由(A4)可知F是压缩映射,从而F在Ω上有唯一的不动点,即方程(1)有唯一的伪概周期解.

证毕.