一道高考试题的探究与溯源

黄旭东

(湖北省黄石市第一中学 435000)

一、试题呈现(2018年新课标1中20题)

二、试题探究

(2)(官方解答)当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°;

当l与x轴时垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.

对(2)下面从不同的视角进行探究，作出几种不同解答.

视角一 考虑到若将坐标系坐标原点平移到M点，则计算kMA+kMB时，利用韦达定理可较快计算出结果，可大大简化运算.要说明的是这种方法是对方法一的改进.

故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.

视角二 要证∠OMA=∠OMB，考虑点A关于x轴对称点A′ ,则必有A′,B,M三点共线即可.

法2 (利用轴轴对称，证明三点共线)

则kMA′=kMB，故M,A′,B三点共线.由于A(x1,y1)关于x轴对称点A′(x1,-y1),则∠OMA=∠OMB

视角三 巧妙构建过定点M(2，0)的二次齐次式，处理斜率问题.

法3 当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.

视角四 考虑角平分线性质，结合极坐标工具，可化成极坐标求解.

视角五 考虑角平分线性质，结合参数方程工具，可利用参数求解

法5 设直线l倾斜角为θ，则直线l的参数方程为

三、试题溯源

本题来源于下面定理

证明过程同上面方法相似，限于篇幅，此处略.同理类似上述性质可推广到双曲线与抛物线，即有：

定理3 设抛物线：C：y2=2px(p>0),直线l过点P(t,0)与C交于A,B两点，点M的坐标为(-m，0) 则有∠OMA=∠OMB.