分裂四元数矩阵方程AXAH+BYBH=C的反Hermite解

李明照，袁仕芳，田勇

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020)

本文中，Rm×n为所有m×n实矩阵集合；Cm×n为所有m×n复矩阵集合；SRn×n为所有n阶实对称矩阵集合；ASRn×n为所有n阶实反对称矩阵集合；Q为所有分裂四元数集合；S为所有n维分裂四元数列向量集合；为所有m×n分裂四元数矩阵集合；为所有m阶反Hermite分裂四元数矩阵集合；In为n阶单位矩阵；0m×n为m×n零矩阵. 对于A∈Cm×n，Re(A)，Im(A)和A+分别表示矩阵A的实部、虚部和广义逆. 对于任意和AH分别表示矩阵A的共轭矩阵、转置矩阵和共轭转置矩阵.

任意分裂四元数q可以用实数q0,q1,q2,q3唯一表示：

其中，i2=-j2=-k2=-1，ij=-ji=k ，jk=-kj=-i ，ki=-ik=j .

任意分裂四元数q还可以用复数c1,c2唯一表示：

其中，c1=q0+q1i ，c2=q2+q3i.

对于分裂四元数q=c1+c2j，c1,c2∈C，它的复表示矩阵为

其中，Re(A1)，Im(A1)，Re(A2)，Im(A2)∈Rm×n.

分裂四元数矩阵A的共轭矩阵唯一表示为：

分裂四元数矩阵A的转置矩阵唯一表示为：

分裂四元数矩阵A的共轭转置矩阵唯一表示为：

AH还可以唯一表示为：

f(A)与A是一一对应的. 若则f(AB)=f(A)f(B).

分裂四元数矩阵A=A1+A2j ，A1,A2∈Cm×n，定义算子

显然ΦA与A是一一对应的.

1）A=B当且仅当ΦA=ΦB；2）ΦA+B=ΦA+ΦB；3）ΦlA=lΦA；4）ΦAC=ΦAf(C).

本文利用分裂四元数矩阵的复表示矩阵、列拉直算子、Kronecker积来讨论分裂四元数矩阵方程的反Hermite解，其中

文献[1-10]研究了四元数矩阵、分裂四元数矩阵、四元数矩阵方程以及分裂四元数矩阵方程，其中，王茂香等[4]研究了分裂四元数线性方程组的Cramer法则；赵琨等[5]得到了分裂四元数矩阵方程的解. 本文将在文献[10]的基础上讨论方程（14）的反Hermite解.

1 几个定义、引理和定理

定义1设设定义一个列向量vecS(A)：

定义2设设b1=(b21,b31,…,bn1)，b2=(b32,b42,…,bn2),…，bn-2=(b(n-1)(n-2),bn(n-2))，bn-1=(bn(n-1)). 定义一个列向量vecA(B)：

引理1[10]3241i）设X∈Rn×n，则

其中vecS(X)定义参照式（15）定义.

其中ei是In的第i个列向量.

ii）设X∈Rn×n则

其中，ei是In的第i个列向量. 显然，有

对于A∈Cm×n，X∈Cn×s，B∈Cs×t，

在分裂四元数矩阵中不再成立. 我们现在研究vec(ΦAXB)的表示形式.

引理2[10]3240设其中A1,A2∈Cm×n，X1,X2∈Cn×s，B1,B2∈Cs×t. 则

定理1对于任意有

证明

定理2设

则有

证明对于则

定理3设则

2 矩阵方程AXAH+BYBH=C的反Hermite解

引理3[6]对于A∈Rm×n，b∈Rn矩阵方程Ax=b有解的充要条件是AA+b=b. 在有解的条件下，通解可以表示为

其中y∈Rn是一个任意的向量. 当rank(A)=n时，x=A+b是方程Ax=b的唯一解.x=A+b是Ax=b的极小范数解.

定理4对于设Mn=diag(KA,KS,KS,KS)，则方程（15）有反Hermite解的充要条件是：

在有解的条件下，记方程（15）的解集合为AHE. 则

y是有适当阶数的任意向量.

证明矩阵方程（14）可变为

由定理4有：